Активные фильтры 3 порядка с расчетами. Кроссовер, порядки фильтров - на пальцах. Фильтры нижних частот

Описание

Любой фильтр, в сущности, делает со спектром сигнала то же, что Роден с мрамором. Но в отличие от творчества скульптора замысел принадлежит не фильтру, а нам с вами.

Нам с вами по понятным причинам больше всего знакома одна сфера применения фильтров - разделение спектра звуковых сигналов для последующего воспроизведения их динамическими головками (нередко мы говорим «динамиками», но сегодня материал серьёзный, поэтому к терминам будем тоже подходить со всей строгостью). Но эта область использования фильтров, наверное, всё же не основная и совершенно точно, что не первая в историческом плане. Не будем забывать, что электроника когда-то называлась радиоэлектроникой, и первоначальной её задачей было обслуживание нужд радиопередачи и радиоприёма. И даже в те детские годы радио, когда сигналы сплошного спектра не передавались, а радиовещание ещё называлось радиотелеграфией, возникла потребность повышения помехозащищённости канала, и решена эта задача была за счёт использования фильтров в приёмных устройствах. На передающей стороне фильтры применялись для ограничения спектра модулированного сигнала, чем также удалось повысить надёжность передачи. В конце концов, краеугольный камень всей радиотехники тех времён, резонансный контур - не что иное, как частный случай полосового фильтра. Поэтому можно сказать, что вся радиотехника началась с фильтра.

Конечно, первые фильтры были пассивными, состояли они из катушек и конденсаторов , а с помощью резисторов удавалось получить нормированные характеристики. Но все они обладали общим недостатком - их характеристики зависели от импеданса той цепи, которая стоит за ними, то есть цепи нагрузки. В простейших случаях импеданс нагрузки можно было поддерживать достаточно высоким, чтобы этим влиянием можно было пренебречь, в других случаях взаимодействие фильтра и нагрузки приходилось учитывать (между прочим, расчёты зачастую велись даже без логарифмической линейки, просто в столбик). Избавиться от влияния импеданса нагрузки, этого проклятия пассивных фильтров , удалось с появлением активных фильтров .

Изначально предполагалось посвятить этот материал целиком и полностью пассивным фильтрам, их в практике инсталляторов приходится рассчитывать и изготавливать своими силами несравнимо чаще, чем активные. Но логика потребовала, чтобы мы всё же начали с активных. Как ни странно, потому что они проще, что бы ни казалось при первом взгляде на приводимые иллюстрации.

Хочу быть понятым верно: сведения об активных фильтрах не призваны служить исключительно руководством по их изготовлению, такая надобность появляется далеко не всегда. Гораздо чаще возникает нужда понять, как работают уже имеющиеся фильтры (главным образом - в составе усилителей) и почему они не всегда работают так, как нам бы хотелось. И здесь, действительно, может прийти мысль о ручной работе. Принципиальные схемы активных фильтров

В простейшем случае активный фильтр представляет собой пассивный фильтр, нагруженный на элемент с единичным коэффициентом передачи и высоким входным импедансом - либо на эмиттерный повторитель, либо на операционный усилитель, работающий в режиме повторителя, то есть с единичным усилением. (Можно реализовать и катодный повторитель на лампе, но ламп я, с вашего позволения, касаться не буду, если кому интересно - обратитесь к соответствующей литературе). По идее, не возбраняется таким способом построить активный фильтр любого порядка. Поскольку токи во входных цепях повторителя очень малы, то, казалось бы, элементы фильтра могут быть выбраны очень компактными. Все ли? Представьте себе, что нагрузкой фильтра является резистор 100 Ом , вы хотите сделать фильтр НЧ первого порядка, состоящий из единственной катушки, на частоту 100Гц . Каков должен быть номинал катушки? Ответ: 159 мГн . Какая уж тут компактность. И главное, что омическое сопротивление такой катушки может оказаться вполне сравнимым с нагрузкой (100 Ом). Поэтому о катушках индуктивности в схемах активных фильтров пришлось забыть, другого выхода просто не было.

Фильтр первого порядка

Для фильтров первого порядка (рис. 1) я приведу два варианта схемной реализации активных фильтров - с ОУ и с эмиттерным повторителем на транзисторе n-p-n типа, а вы уж сами при случае выберете, с чем вам проще будет работать. Почему n-p-n? Потому, что их больше, и потому, что при прочих равных условиях в производстве они получаются несколько «лучше». Моделирование проводилось для транзистора КТ315Г - единственного, наверное, полупроводникового прибора, цена на который до последнего времени была точно такая же, как и четверть века назад - 40 копеек. Фактически вы можете использовать любой n-p-n транзистор, коэффициент усиления которого (h21э) не намного ниже 100.

Рис. 1. Фильтры ВЧ первого порядка

// Что такое порядок фильтра и крутизна среза?

Что такое порядок фильтра и крутизна среза?

Всем привет!

В этом видео отвечаем на вопрос, что такое порядок фильтра и крутизна среза. Смотрим

Для тех кто не может посмотреть видео есть текстовая версия:

Сегодня мы поговорим с вами о том что такое крутизна среза, порядок фильтра и так далее. Вы наверно много раз видели такую запись что ну допустим что в мануале от усилителя что фильтры там 12дб на октаву или 24дб на октаву или что фильтр первого порядка или второго порядка, давайте поговорим с вами о том что же это такое.

Для начала давайте, как вообще работает у нас фильтр в принципе

Т.е. на картинке вы видите ачх, по вертикальной шкале у нас амплитуда в дб по горизонтальной будет частота в гц. Допустим нам надо отрезать какой то диапазон, допустим мидбасове ачх и скажем 80гц и нам надо это дело отрезать и мы режем усилителем или пассивным кроссовером активным кроссовером, процессором, чем угодно. И у нас вот такая ачх получается. Надо понимать что фильтр не отрезает вертикально, что если мы на 80 гц отрезали то ниже ничего не играет – нет играет, каждый фильтр режет c определенной крутизной спада, графически видно что такое крутизна спада.

В цифрах это обозначается:

Есть и более высокие порядки, но они применяются реже, основное это вот это.

Теперь давайте поймем с вами что такое октава и что вообще эта запись означает.

Ну друзья мои, если мы представим с вами, вот наша шкала, изменение частоты в 2 раза это будет октава, 40гц-80гц это октава, от 80 до 160 это октава, от 160 до 320 это октава.

Теперь смотрите что означает данная запись, допустим фильтр первого порядка у нас, 6дб/октаву, допустим у нас сигнал там 120дб, то мы берем октаву вниз и получается на 40гц у нас будет на 6дб ниже, т.е. будет 114дб. Таким образом отрезал фильтр первого порядка. Если мы режем фильтром второго порядка, то здесь у нас будет – 12дб, т.е. будет 108 дб. Чтобы понять много это или мало и на сколько серьезно отрезает фильтр надо просто представить себе что 3 дб это в 2 раза, 6 дб от исходного это в 4 раза ну и так далее. Т.е. даже фильтр 6 дб на октаву делает звук на октаву ниже в 4 раза тише. Т.е. надо понимать чем выше порядок фильтра тем сильнее отрезает, тем более жестко отрезает фильтр все что лежит в пределах действия этого фильтра. Ну т.е. если это у нас хай пасс фильтр как здесь т.е. то что отрезает снизу это значит что все что ниже он отрезает с определенной крутизной среза. Если мы говорим о лоу пассе т.е. фильтр который режет сверху значит все что выше оно отрезается абсолютно по тем же законам. Какие фильтры куда применяются, как это используется, какие есть плюсы и минусы и недостатки у каждого фильтра, обо всем этом мы говорим в интенсиве «автозвук от А до Я» который у нас уже совсем скоро будет, приходите туда и там вы узнаете все на много подробнее, а для такого вот обзорного видео я думаю достаточно. На этом все, с вами был Сергей Туманов, если видео было вам полезно ставьте пальцы вверх, подписывайтесь на наш канал, делитесь этим видео с друзьями и приходите на наш интенсив, буду рад вас всех видеть. Всем пока, увидимся!

Б. Успенский

Простым приемом разделения каскадов по частотному признаку является установка разделительных конденса­торов или интегрирующих RC-цежи. Однако часто воз­никает необходимость в фильтрах с более крутыми склонами, чем у RС-цепочки. Такая потребность существует всегда, когда надо отделить полезный сигнал от близкой по частоте помехи.

Рис. 1. Идеальная частотная характе­ристика ФНЧ

Рис. 2. Структура фильтра второго по­рядка:

Возникает вопрос: можно ли, соединяя каскадно ин­тегрирующие RС-цепочки, получить, например, сложный фильтр нижних частот (ФНЧ) с характеристикой, близ­кой к идеальной прямоугольной, как на рис. 1? Существует простой ответ на такой вопрос: даже если разделить от­дельные RС-секции буферными усилителями, все равно из многих плавных перегибов частотной характеристики не сделать одного крутого. В настоящее время в диапазоне частот 0…0.1 МГц подобную задачу решают с помощью активных RС-фильтров, не содержащих индуктивностей.

Интегральный операционный усилитель (ОУ) оказался весьма полезным элементом для реализации активных RС-фильтров. Чем ниже частотный диапазон, тем резче проявляются преимущества активных фильтров с точки зрения микроминиатюризации электронной аппаратуры, так как даже при очень низких частотах (до 0,001 Гц) имеется возможность использовать резисторы и конден­саторы не слишком больших номиналов.

Таблица 1

Сравнение характеристик фильтров нижних частот (расчетная граница полосы пропускания 1 Гц)

В активных фильтрах обеспечивается реализация ча­стотных характеристик всех типов: нижних и верхних частот, полосовых с одним элементом настройки (эквива­лент одиночного LC-контура), полосовых с несколькими сопряженными элементами настройки, режекторных, фа­зовых фильтров и ряда других специальных характеристик.

Создание активных фильтров начинают с выбора по графикам или функциональным таблицам того вида ча­стотной характеристики, которая обеспечит желаемое подавление помехи относительно единичного уровня на требуемой частоте, отличающейся в заданное число раз от границы полосы пропускания или от средней частоты для резонансного фильтра. Напомним, что полоса пропу­скания ФНЧ простирается по частоте от 0 до граничной частоты f гр, фильтра высокой частоты (ФВЧ) - от f rp до бесконечности. При построении фильтров наибольшее распространение получили функции Баттерворта, Че-бышева и Бесселя. В отличие от других характеристика фильтра Чебышева в полосе пропускания колеблется (пульсирует) около заданного уровня в установленных преде­лах, выражаемых в децибелах.

Рис. 3. Структура фильтра третьего порядка:

а - нижних частот; б - верхних частот

Степень приближения характеристики того или ино­го фильтра к идеальной зависит от порядка математи­ческой функции (чем выше порядок - тем ближе). Как правило, используют фильтры не более 10-го порядка. По­вышение порядка затрудняет настройку фильтра и ухуд­шает стабильность его параметров. Максимальная до­бротность активного фильтра достигает нескольких сотен на частотах до 1 кГц.

Одной из наиболее распространенных структур кас­кадных фильтров является звено с многопетлевой обрат­ной связью, построенное на базе инвертирующего ОУ, который в расчетах принят за идеальный. Звено второго порядка показано на рис. 2. Для простоты реализации принимаем: для ФНЧ - R1 = R2 = R3 = R, R4 = 1,5R; для ФВЧ - С1 = С2 = СЗ = С, R2 = R3. Для ФНЧ определим расчетную емкость С о = 1/2пf rp R, где f гр - граничная частота. Для ФВЧ определим R o - 1/2пf гр С. Размерности в расчетах - Ом, Ф, Гц. Коэффициент пере­дачи звена равен 1.

Значение C1, C2 для ФНЧ и Rl, R2 для ФВЧ тогда определяются умножением или делением С о и R o на коэф­фициенты из табл. 2 по правилу:

С1 = т 1 С 0 , R 1 = R o / m 1 С2 = т 2 С 0 , R 2 = R Q / m 2 .

Звенья третьего порядка ФНЧ и ФВЧ показаны на рис. 3. В полосе пропускания коэффициент передачи зве­на равен 0,5. Определение элементов произведем по то­му же правилу:

С1 = т 1 С 0 , Rl = R / m 1

С2 = т 2 С 0 , R 2 = R 0 / m 2

СЗ=т 3 С 3 , R 3 = R 0 / m 3 .

Таблица коэффициентов выглядит следующим образом.

Таблица 2

Порядок фильтра надо определить расчетным путем, задавшись отношением U BU /U BX на частоте f вне полосы про­пускания при известной граничной частоте f гр. Для фильтpa Баттерворта существует зависимость

откуда можно найти n, округляя его до целого числа в большую сторону. Если порядок велик, надо перейти к фильтру Чебышева, если мал, то следует оценить воз­можность использования фильтра Бесселя, в наимень­шей степени искажающего полезный сигнал в полосе пропускания и обладающего линейной фазовой характе­ристикой.

Реализация фильтров четного порядка осуществляется путем каскадного включения нескольких звеньев второго порядка. Если требуемая сумма порядков звеньев являет­ся нечетной, то при расчете фильтров индексы т 1 , т г, т 3 относятся к одному звену третьего порядка, а остальные - к звеньям второго порядка. Для лучшего подавления шу­мов каскады включают по мере возрастания добротности Q 0 = 0,33 (C1/C2) -2 для ФНЧ - звена второго порядка, т. е. начиная с последних звеньев, если следовать табл. 2.

Укажем расчетные значения добротности Q o звеньев с наибольшими резонансными свойствами фильтров шесто­го порядка Бесселя, Баттерворта, Чебышева с нерав­номерностью 1 дБ и 2 дБ:

Q o = 1,023; 1,932; 8,004; 10,462.

Эти величины уменьшаются, если ОУ имеет конечный коэффициент усиления К:

Q = Q о /(1 + 3 Q 2 о / K ).

Следовательно, необходимо обеспечить на граничной частоте фильтра К > 3Q 2 o , иначе характеристика фильтра в полосе задерживания будет отличаться в худшую сто­рону. Нетрудно подсчитать для звена фильтра Чебышева шестого порядка с неравномерностью 2 дБ: К > 328,4. На стандартном ОУ К14ОУД7 с частотой единичного усиления до 1 МГц такое звено обеспечит десятипроцент­ную погрешность добротности на частоте 10 6 /328,4 = 304,5 Гц. Применяя скоростные ОУ, можно отодвинуть ЭТ У границу в область более высоких частот.

Для иллюстрации на рис. 4 приведено сравнение ха­рактеристик трех фильтров нижних частот шестого по-Рядка с характеристикой затухания RC-цепи. Все уст­ройства имеют одно и то же значение f гр.

Полосовой активный фильтр можно построить на од­ном ОУ по схеме рис. 5. Рассмотрим числовой пример. Пусть необходимо построить селективный фильтр с резо­нансной частотой f 0 - 10 Гц и добротностью Q ~ 100.

Рис. 4. Сравнение характеристик ФНЧ шестого порядка:

1 - фильтр Бесселя, 2 - фильтр Еаттер-ворта; 3 - фильтр Чебышева (пульса­ции 0,5 дБ)

Рис. 5. Полосовой фильтр

Его полоса находится в пределах 9,95…10,05 Гц. На рг-зонансиой частоте коэффициент передачи В о = 10. За­дадим емкость конденсатора С = 1 мкФ. Тогда по форму­лам для рассматриваемого фильтра:

Рис. 6. Полосно-пропускающий фильтр Рис. 7. Активный фильтр второго порядка

Устройство остается работоспособным, если исключить R3 и использовать ОУ с усилением, точно равным 2Q 2 . Но тогда добротность зависит от свойств ОУ и будет не­стабильна. Поэтому коэффициент усиления ОУ на резо­нансной частоте должен значительно превышать 2Q 2 = 20 000 на частоте 10 Гц. Если усиление ОУ превышает 200 000 на частоте 10 Гц, можно увеличить R3 на 10 %, чтобы добиться расчетного значения добротности. Не вся­кий ОУ имеет на частоте 10 Гц усиление 20 000, тем более 200 000. Например, ОУ К14ОУД7 не подходит для такого фильтра; потребуется КМ551УД1А (Б).

Используя ФНЧ и ФВЧ, включенные каскадно, по­лучают полосно-пропускающий фильтр (рис. 6). Крутизна склонов характеристики такого фильтра определяется по­рядком выбранных ФНЧ и ФВЧ. Осуществляя разнос граничных частот высокодобротных ФВЧ и ФНЧ, мож­но расширить полосу пропускания, но при этом ухудшает­ся равномерность коэффициента передачи в пределах по­лосы. Представляет интерес получить плоскую амплитудно-частотную характеристику в полосе пропускания.

Взаимная расстройка нескольких резонансных по­лосовых фильтров (ПФ), каждый из которых может быть построен по схеме рис. 5, дает плоскую частотную харак­теристику с одновременным увеличением избирательности. При этом выбирают одну из известных функций для реали­зации заданных требований к частотной характеристике, а затем преобразуют НЧ-функцию в полосно-пропускаю-щую для определения добротности Q p и резонансной ча­стоты f p каждого звена. Звенья включают последова­тельно, причем неравномерность характеристики в полосе пропускания и избирательность улучшаются с увеличени­ем числа каскадов резонансных ПФ.

Для упрощения методики создания каскадных ПФ в табл. 3 представлены оптимальные значения полосы частот Аf р (по уровню - 3 дБ) и средней частоты f р ре­зонансных звеньев, выраженные через общую полосу частот Аf (по уровню - 3 дБ) и среднюю частоту f 0 состав­ного фильтра.

Точные значения средней частоты и границ по уровню - 3 дБ лучше всего подбирать экспериментально, подстраи­вая добротность.

На примере ФНЧ, ФВЧ и ПФ мы видели, что требо­вания к коэффициенту усиления или широкополосности ОУ могут быть чрезмерно велики. Тогда следует перейти к звеньям второго порядка на двух или трех ОУ. На рис. 7 представлен интересный фильтр второго порядка, объе­диняющий в себе функции трех фильтров: с выхода DA1 получим сигнал ФНЧ, с выхода DA2 - сигнал ФВЧ, э с выхода DA3 - сигнал ПФ. Граничные частоты ФНЧ, ф ВЧ и центральная частота ПФ одна и та же. Добротность также одинакова для всех фильтров. При условии С1 = С2 - С, R1 - R2, R3 = R5 = Rб выбираем свобод­но f rp , Qo, С. Тогда расчет фильтров прост: R1 = R2 = = 1/2пf Г P C, R4=(2Q 0 - 1)R 3. Коэффициент передачи вход­ного сигнала

ФНЧ, ФВЧ: В о = 2 - 1 /Q o в полосе пропускания, ПФ: В o = 2Q 0 - 1 на резонансной частоте.

Все фильтры можно настраивать посредством одно­временного изменения R1, R2 или C1, C2. Добротность независимо от этого можно регулировать при помощи R4. Конечность усиления ОУ определяет истинную доброт­ность Q = Qo(1 + 2Q 0 /K).

Таблица 3 Параметры ПФ на каскадах с взаимной расстройкой

Необходимо выбрать ОУ с коэффициентом усиления K> 2Q 0 на граничной частоте. Это условие значительно менее категорично, чем для фильтров на одном ОУ. Сле­довательно, на трех ОУ сравнительно невысокого ка­чества можно собрать фильтр с лучшими характеристи­ками.

Полосно-заграждающий (режекторный) фильтр подчас необходим для вырезания узкополосной помехи, например сетевой частоты или ее гармоник. Используя, например, четырехполюсные ФНЧ и ФВЧ Баттерворта с граничными частотами 25 Гц и 100 Гц (рис. 8) и отдельный сумматор на ОУ, получим фильтр на частоту 50 Гц с добротностью Q = 5 и глубиной режекции - 24 дБ. Достоинством такого фильтра является то, что его характеристика в по­лосе пропускания - ниже 25 Гц и выше 100 Гц - ока­зывается идеально плоской.

Как и полосовой фильтр, режекторный фильтр можно собрать на одном ОУ. К сожалению, характеристики таких фильтров не отличаются стабильностью. Поэтому рекомендуем применять гираторный фильтр на двух ОУ (рис. 9). Резонансная схема на усилителе DA2 не склонна к генерации. При выборе сопротивлений следует выдер­жать соотношение R1/R2 = R3/2R4. Установив ем­кость конденсатора С2, изменением емкости конденсато­ра С1 можно настроить фильтр на требуемую частоту f 2 о (Гц) = 400/С (мкФ). В небольших пределах добротность можно регулировать подстройкой резистора R5. Используя эту схему, можно получить глубину режекции до 40 дБ, однако амплитуду входного сигнала следует уменьшать чтобы сохранить линейность гиратора на элементе DA2.

В описанных выше фильтрах коэффициент передачи и фазовый сдвиг зависели от частоты входного сигнала. Существуют схемы активных фильтров, коэффициент пе­редачи которых остается постоянным, а фазовый сдвиг зависит от частоты. Такие схемы называют фазовыми фильтрами. Они используются для фазовой коррекции и задержки сигналов без искажений.

Рис. 8. Полосно-заграждающий фильтр

Рис. 9. Режекторный гира­торный фильтр

Простейший фазовый фильтр первого порядка показан на рис. 10. На низких частотах, когда емкость конденсатора С не работает, коэффициент передачи равен +1, а на высоких - 1. Изменяется только фаза выходного сиг­нала. Эта схема с успехом может быть использована как Фазовращатель. Изменяя сопротивление резистора R, можно регулировать на выходе фазовый сдвиг входного синусоидального сигнала.

Рис. 10. Фазовый фильтр первого порядка

Существуют также фазовые звенья второго порядка. Объединяя их каскадно, строят фазовые фильтры высоких порядков. Например, для задержки входного сигнала с частотным спектром 0…1 кГц на время 2 мс требуется фазовый фильтр седьмого порядка, параметры которого определяются по таблицам.

Следует отметить, что любое отклонение номиналов использу­емых.RC-элементов от расчетных приводит к ухудшению парамет­ров фильтра. Поэтому желательно применять точные или подо­бранные резисторы, а не­стандартные номиналы образовы­вать параллельным включением нескольких конденсаторов. Электролитические конден­саторы применять не следует. Помимо требований по усилению ОУ должен обладать высоким входным сопротивлением, значительно превышающим сопротивле­ния резисторов фильтра. Если этого обеспечить нельзя, подключите перед входом инвертирующего усилителя по­вторитель на ОУ.

Отечественная промышленность выпускает гибридные интегральные схемы серии К298, которая включает RС-фильтры верхних и нижних частот шестого порядка на базе усилителей с единичным усилением (повторителей). Фильтры имеют 21 номинал граничной частоты от 100 до 10 000 Гц с отклонением не более ± 3 %. Обозначение фильтров К298ФН1…21 и К298ФВ1…21.

Принципы конструирования фильтров не ограничи­ваются приведенными примерами. Менее распространены активные R -фильтры без сосредоточенных емкостей и индуктивностей, использующие инерционные свойства ОУ. Предельно высокие значения добротности, вплоть до 1000 на частотах до 100 кГц, обеспечивают синхронные фильт­ры с коммутируемыми емкостями. Наконец, методами полупроводниковой технологии с зарядовой связью создают активные фильтры на приборах с переносом 3aj ряда. Такой фильтр Еерхних частот 528ФВ1 с граничной частотой 820…940 Гц имеется в составе серии 528; дина­мический фильтр нижних частот 1111ФН1 является од­ной из новых разработок.

Литература

Грэм Дж., Тоби Дж., Хьюлсмаи Л. Проектирование и при­менение операционных усилителей. - М. : Мир, 1974, е. 510.

Марше Ж. Операционные усилители и их применение. - Л. : Энер­гия, 1974, с. 215.

Гарет П. Аналоговые устройства для микропроцессоров и мини-ЭВМ. - М. : Мир, 1981, с. 268.

Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника. - М. : Мир, 1982, с. 512.

Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники, т. 1. - М. : Мир, 1983, с. 598.

6.5.2.1. Фильтры нижних частот.

Фильтр нижних частот является схемой, которая без изменений передает сигналы нижних частот, а на высоких частотах обеспечивает затухание сигналов и за­паздывание их по фазе относительно входных сигналов.

Пассивные фильтры нижних частот первого порядка

На рис.2.25 изображена схема простого RС-фильтра нижних ча­стот первого порядка. Коэффициент передачи в комплексном виде может быть выражен формулой:

. (2.45)
Рис. 2.25 Отсюда получим формулы для АЧХ и ФЧХ

, . (2.46)

Положив получим выражение для частоты среза ωСР

Фазовый сдвиг на этой частоте составляет – 450 .
| К | = 1 = 0 дБ на нижних частотах f << f C Р .
На высоких частотах f >> fС Р согласно формуле (2.46), | К | ≈ 1/ (ωRC),
т.е. коэффи­циент передачи обратно пропорционален частоте. При увеличении частоты в 10 раз коэффициент усиления уменьшается в 10 раз, т. е. он уменьшается на 20 дБ на дека­ду или на 6 дБ на октаву. | К | = 1/√2 = -ЗдБ при f = fСР .
Для более быстрого уменьшения коэффициента передачи можно включить n фильтров нижних частот последовательно. При последовательном соединении нескольких фильтров нижних частот частота среза приближенно определяется как

. (2.48)

Для случая n фильтров с равными частотами среза

При частоте входного сигнала f ВХ >> f СР для схемы (рис. 2.25) получим

. (2.50)

Из 2.50 видно, что ФНЧ может выступать как интегрирующее звено.
Для переменного напряжения, содержащего постоянную составляющую выходное напряжение можно представить в виде

, (2.51)

Где - среднее значение
Фильтр нижних частот может выступать в качестве детектора средних значений.
Для реализации общего подхода к описанию фильтров необходимо нормировать комплексную переменную р.

. (2.52)

Для фильтра рис. 2.25 получим Р = р RC и

Использую передаточную функцию для оценки амплитуды выходного сигнала от частоты, получим

. (2.54)

Передаточная функция ФНЧ в общем виде может быть записана в виде

, (2.55)

Где с1 , с2 ,…, с n – положительные действительные коэффициенты.
Порядок фильтра определяется максимальной степенью переменной Р. Для реализации фильтра необходимо разложить полином знаменателя на множители. Если среди корней полинома есть комплексные, в этом случае следует записать полином в виде произведения сомножителей второго порядка

Где а i и bi – положительные действительные коэффициенты. Для нечетных порядков полинома коэффициент b 1 равен нулю.

Активные фильтры нижних частот первого порядка

Простой фильтр, изображенный на рис. 2.26, обладает недостатком: свойства фильтра зависят от нагрузки. Для устранения этого недостатка фильтр необходимо дополнить преобразователем полного сопротивления. Схема фильтра с преобразователем полного сопротивления показана на рис. 2.27. Коэффициент передачи постоянного сигнала может быть задан выбором значений резисторов R2 и R3.

Для упрощения схемы ФНЧ можно использовать RC- цепь для обратной связи операционного усилителя. Подобный фильтр показан на рис. 2.27.

Рис. 2.26 Рис. 2.27

Передаточная функция фильтра (рис. 2.27) имеет вид

. (2.58)

Для расчета фильтра необходимо задать частоту среза f СР (ω СР ), коэффициент передачи постоянного сигнала К0 (для схемы на рис. 2.27 он должен быть задан со знаком минус) и емкость конденсатора С1. Приравняв коэффициенты полученной передаточной функции коэффициентам выражения 2.56 для фильтра первого порядка, получим

и . (2.59)

Пассивный фильтр нижних частот второго порядка

. (2.60)

Такая передаточная функция не может быть реализована с помощью пассивных RC-цепей. Подобный фильтр может быть реализован с применением индуктивностей. На рис. 2.28 показана схема пассивного ФНЧ второго порядка.
Передаточная функция фильтра имеет вид
. (2.61)
Рассчитать фильтр можно, воспользовавшись формулами
Рис. 2.28
и . (2.62)
Например, для ФНЧ второго порядка типа Баттерворта с коэффициентами а1 = 1,414 и b 1 = 1,000, задав частоту среза f СР = 10 Гц и емкость С = 10мкФ, из (2.62) получим R = 2,25 кОм и L = 25,3 Гн.
Подобные фильтры неудобны для реализации из-за слишком большой индуктивности. Заданную передаточную функцию можно реализовать с помогщью операционного усилителя с соответствующими RC – цепями, что позволяет исключить индуктивности.

Активные ФНЧ второго порядка

Примером активного ФНЧ второго порядка является фильтр со сложной отрицательной обратной связью, схема которого показана на рис. 2.29.
Передаточная функция данного фильтра имеет вид

Рис. 2.29
Для расчета фильтра можно записать

,
, (2.63)

При расчете схемы лучше задавать значения емкостей конденсаторов и вычислять необходимые значения сопротивлений.

.
, (2.64)
.

Для того чтобы значение сопротивления R2 было действительным, должно выполняться условие