Резонансные режимы работы электрических цепей. Резонанс напряжений, условие возникновения Резонанс напряжений определение

Резонансом напряжений называется режим электрической цепи синусоидального тока с последовательным соединенением резистивного R, индуктивноо L и емкостного С элементов , при котором угол сдвига фаз между общим напряжением (напряжением сети ) и током в цепи равен нулю .

Условием наступления резонанса напряженийявляется равенство индуктивного и емкостного сопротивлений цепи :

X L = X C . (3.27)

Электрическая цепь, питаемая синусоидальным переменным током, в которую входит конденсатор и катушка индуктивности называется колебательным контуром .

Резонанс напряжений можно получить тремя способами:

1. Изменением частоты w синусоидального тока;

2. Изменением величин индуктивности или емкости колебательного контура, при котором меняются индуктивное X L или емкостное X C сопротивление;

3. При одновременном изменении параметров w, L , C цепи колебательного контура.

Из условия резонанса напряжения (3.27) следует, что так как

X L = wL и X C = 1/wC ,

то при резонансе напряжений

где w рез, рад/сек – резонансная частота.

Резонанс напряжений характеризуется рядом существенных особенностей :

1. Так как при резонансе напряжений угол сдвига фаз между напряжением и током равен нулю (j = y u – y i = 0), то коэффициент мощности при резонансе принимает наибольшее значение, равноеединице :

cos j = cos 0° = 1. (3.29)

В этом случае, как видно из векторной диаграммы на рис. 3.22,а, вектор тока и вектор общего напряжения совпадают по направлению, так как они имеют равные начальные фазы y u = y i .

2. При резонансе напряжений векторы напряжения на индуктивном и емкостном элементах оказываются равными по величине и противоположными по фазе :

U L рез = U C рез (3.30)

так как X L I = X C I , а в комплексной форме (см. рис. 3.22,а).

3. Напряжение на активном сопротивлении при резонансе напряжений оказывается равным напряжению сети (рис. 4.22,а) так как

. (3.31)

В комплексной форме .

4. Отношение индуктивного или емкостного сопротивлений к активному сопротивлению цепи с R,L,C -элементами при резонансе называется добротностью колебательного контура Q

. (3.32)

Умножив числитель и знаменатель этих дробей на ток I , получим выражения для добротности колебательного контура через отношения напряжений

. (3.33)

При больших значениях индуктивного X L и емкостного X C сопротивлений и малых значениях активного сопротивления R цепи (R << X L = X C ), т.е. при высоких значениях добротности Q колебательного контура напряжения
U L рез = U C рез >> U :

U L рез /U = X L рез /R = Q >> 1; U C рез /U = X C рез /R = Q >> 1, (3.34)

то есть напряжение на индуктивности и конденсаторе последовательного колебательного контура при его высокой добротности в режиме резонанса напряжений могут во много раз превысить напряжение питания .

Например, если у колебательного контура последовательной цепи с
R,L,C -элементами, питаемым синусоидальным напряжением U = 220 В, R = 1 Ом, X L рез = X C рез = 1000 Ом, то напряжение на индуктивности и конденсаторе, как следует из (3.34) равно:

U L рез = U C рез = U·Q =220·1000 = 220000 В = 220 кВ.

Поэтому при работе электротехнического оборудования, питаемого сетевым напряжением 220/380 вольт резонанс напряжений никогда не используется .

Однако в разнообразных устройствах радиотехники и электроники, где напряжение питания колебательного контура составляет микровольты
(1мкВ = 10 -6 В), резонанс напряжений широко используется, позволяя многократно усилить входной сигнал в виде синусоидального напряжения.

Рис. 3.22. Резонанс напряжений в цепи с последовательным соединением R,L,C-элементов

а) – векторная диаграмма ; б) – вырожденный треугольник сопротивлений (Х = 0);

в) – вырожденный треугольник мощностей (Q = 0)

5. Так как при резонансе напряжений X L = X C (3.27), то полное сопротивление цепи принимает минимальное значение , равное активному сопротивлению :

а общее реактивное сопротивление цепи становится равным нулю :

X рез = |X L – X C | = 0. (3.36)

Поэтому треугольник сопротивлений при резонансе напряжений имеет вырожденный характер , как показано на рис. 3.22,б.

6. На основании закона Ома и из формулы (3.35) следует, что ток I в цепи при резонансе напряжений достигает наибольшего значения :

I рез = U /Z рез = U /R . (3.37)

Отсюда следует, что ток в цепи при резонансе напряжений может оказаться значительно больше тока, который мог бы быть при отсутствии резонанса .

Это свойство позволяет обнаружить резонанс напряжений при изменении частоты w, изменении индуктивности L или емкости С . Однако резонансный ток при определенных условиях опасен – он может, достигнув чрезмерно большой величины, привести к перегреву элементов цепи и выходу их из строя.

7. Активная мощность при резонансе напряжений имеет наибольшее значение , так как связана с квадратом тока

P = (I рез) 2 R , (3.38)

а ток I рез – максимален.

8. Общая реактивная мощность Q при резонансе напряжений равна нулю :

Q =½Q L – Q C ½ = ½U L I – U C I ½ = 0, (3.39)

так как U L = U C . Поэтому треугольник мощностей при резонансе имеет вырожденный характер , как показано на рис. 3.22,в.

9. При условии R << X L = X C (т.е. при высокой добротности колебательного контура) реактивнаяиндуктивная и емкостная мощности

Q L = Q C >> S = P , (3.40)

то есть эти мощности могут во много раз превысить потребляемую полную мощность S . При этом полная мощность S при резонансе целиком выделяется на резистивном элементе R , в виде активной мощности Р .

Физически это объясняется тем, что при резонансе напряжений происходит периодический обмен энергии магнитного поля в индуктивном элементе и энергии электрического поля в конденсаторе. При этом интенсивность этого обмена, как величины реактивных мощностей Q L и Q C , в сравнении с потребляемой активной мощностью Р

Q L /P = X L /R = Q ; Q C /P = X C /R = Q (3.41)

определяется соотношениями реактивных и активного сопротивления цепи, как и для напряжений U L , U C и U , то есть добротностью Q колебательного контура цепи (см. п.4).

Кривые, выражающие зависимость полного тока I , сопротивления цепи Z , напряжения на индуктивности U L и конденсаторе U С , коэффициента мощности cos j от емкости батареи конденсатора С , называются резонансными кривыми .

На рис. 3.23 приведены резонансные кривые (U L , U С , I , Z , cos j) = f (C ), построенные в общем виде при U = const и w = 2pf = const .

Рис. 3.23. Резонансные кривые U L , U С , I , Z , cos j в зависимости от емкости С
при последовательном соединении катушки индуктивности и батареи конденсаторов

Анализ этих зависимостей показывает, что при увеличении емкости С батареи конденсаторов полное сопротивление цепи Z сначала уменьшается, достигает минимума в режиме резонанса и становится равным активному сопротивлению R , а затем снова возрастает с увеличением емкости. Соответственно изменению Z меняется полный ток цепи (по закону Ома I обратно пропорционален Z ): с ростом емкости конденсаторов ток I вначале увеличивается, достигает максимума в режиме резонанса, а затем вновь уменьшается.

Коэффициент мощности cos j изменяется с изменением емкости С в том же порядке: сначала с увеличением емкости С коэффициент мощности возрастает, достигая максимума равного единице в режиме резонанса, а затем уменьшается, в пределе стремясь к нулю.

Напряжения на индуктивности и конденсаторах имеют максимумы вблизи режима резонанса и становятся равными друг другу в этом режиме. Следует отметить, что достигаемые величины напряжений на конденсаторах и катушке индуктивности в режиме резонанса напряжений и вблизи него могут во много раз превышать входное напряжение приложенное ко всей цепи (см. п. 4).

С точки зрения электробезопасности и безаварийного режима работы, это следует учитывать при проведении исследования резонанса напряжения на стенде, задавая величину напряжения питания цепи U в достаточно низких пределах (U = 20 ¸ 25 В).

Таким образом, резонансные кривые позволяют установить минимальное полное сопротивление и наибольший ток в цепи при максимуме коэффициента мощности, равном единице, когда в цепи с последовательным соединением катушки индуктивности и батареи конденсаторов возникает резонанс напряжений.

Выводы :

1. Резонанс напряжений в промышленных электротехнических установках , питаемых синусоидальным сетевым напряжением 220/380 В – нежелательное и опасное явление , так как может вызвать аварийную ситуацию при возможном перенапряжении на отдельных участках цепи, привести к пробою изоляции обмоток электрических машин и аппаратов, изоляции кабелей и конденсаторов и опасно для обслуживающего персонала.

2. В то же время, резонанс напряжений широко используется в радиотехнике, в автоматике и электронике для настройки колебательных контуров в резонанс на определенную частоту, а также в различного рода приборах и устройствах, основанных на резонансном явлении.

Лабораторная работа 2б делится на четыре части:

1. Подготовительная часть.

2. Измерительная часть (проведение опытов и снятие показаний приборов).

3. Расчетная часть (определение расчетных величин по формулам).

4. Оформительская часть (построение векторных диаграмм).

Примечание

Электромонтажные работы по исследованию резонанса напряжений в цепи с последовательным соединением R,L,C -элементов на модернизированном лабораторном стенде ЭВ-4 не проводятся , в отличие от работ на старых стендах (см. в – Работа 2б, п.2. Электромонтажная часть).

1. Подготовительная часть

Подготовка к проведению лабораторной работы включает:

1. Изучение теоретической части настоящего пособия и литературы , относящихся к теме данной работы.

2. Предварительное оформление лабораторной работы в соответствии с существующими требованиями .

В результате предварительного оформления лабораторной работы №2б в рабочей тетради или журнале (на листах формата А4 с компьютерной распечаткой) студентом должен быть заполнен титульный лист, в работе должны быть указаны название работы и ее цель, приведены основные сведения по работе, взятые из раздела выше и формулы, необходимые для вычисления расчетных величин, представлены принципиальные и эквивалентные схемы замещения, заготовлены таблицы, соответственно числу опытов в работе.

Кроме этого, должно быть оставлено свободное место для построения векторных диаграмм.

2. Измерительная часть

Необходимые измерения параметров исследуемой цепи однофазного тока с последовательным соединением электроприемников при резонансе напряжений проводятся с помощью принципиальной схемы (рис. 3.24). Данная схема соответствует панели модернизированног стенда ЭВ-4 с аналогичной мнемосхемой и цифровыми измерительными приборами (см. фото на рис. 3.26).

Для более заметного вида резонансных кривых в последовательной цепи электроприемников резистор R отсутствует (на принципиальной схеме рис. 3.23 он зашунтирован).

Этой схеме соответствует схема замещения с последовательно соединенными , показанная на рис. 3.25.

3.24 Принципиальная схема цепи с последовательно соединенными
катушкой индуктивности и батареей конденсаторов

3.25 Схема замещения цепи с последовательно соединенными
катушкой индуктивности и батареей конденсаторов
для исследования резонанса напряжений

1. Перед подачей питания к исследуемой цепи на панели стенда с мнемосхемой и цифровыми измерительными приборами (рис. 3.26) перевести все выключатели (S 1 ÷ S 6 , S" 1 ÷ S" 6), расположенные на этой панели, в нижнее положение (состояние – «откл»).

Рис. 3.26. Паналь стенда с цифровыми измерительными приборами и
мнемосхемой для проведения лабораторой работы 2б «Резонанс напряжений
в однофазной цепи с активно-реактивными элементами»

2. На панели стенда из последовательной цепи R,L,C -элементов исключить резистор R , зашунтировав его с помощью электромонтажного провода (красный провод-шунт на принципиальной схеме рис. 3.24) вставив его концы в гнезда по бокам вольтметра V R .

3. Установить начальную общую емкость конденсаторов С = 40 мкФ нажатием соответствующих черных кнопок выключателей рядом с подключаемыми конденсаторами на панели №4 стенда с мнемосхемой батареи конденсаторов (см. рис. 3.28).

4. Подключить лабораторный автотрансформатор (ЛАТР), установленный на горизонтальной панели блока питания (рис. 3.27) к сетевому напряжению (~220 В), нажав черные кнопки «вкл» выключателей. При этом загораются две сигнальные лампы «сеть». После этого нужнообязательноповернуть ручку регулятора ЛАТРАа против часовой стрелки до упора , тем самым, снизив напряжение на его выходе до нуля.

Рис. 3.27. Панель блока питания лабораторного стенда

Рис. 3.28. Панель №4 стенда с мнемосхемами батареи конденсаторов
и катушки индуктивности

5. Подать регулируемое напряжение от ЛАТРа ко входу исследуемой цепи и подключить цифровые измерительные приборы, установив на панели стенда с мнемосхемой кнопки всех выключателей (S 1 ÷ S 6 , S" 1 ÷ S" 6) в положение «вкл». При этом должны засветиться зеленые цифры на электроизмерительных приборах.

6. Плавным поворотом по часовой стрелке ручки регулятора ЛАТРа (рис. 3.27) установить напряжение U на входе цепи порядка 20 ÷ 25 В, контролируя его цифровым вольтметром V (прибор ЩП02М, установленный слева на панели стенда – рис. 4.26). Следует поддерживать установленное напряжение постоянным во всех опытах с помощью ЛАТРа.

7. В процессе исследования цепи с последовательно соединенными катушкой индуктивности и батареей конденсаторов провести 9 опытов с различной емкостью батареи конденсаторов (величины емкостей для каждого опыта указаны в табл. 3.5) нажатием соответствующих кнопок выключателей на панели №4 стенда (рис. 3.28), постепенно увеличивая емкость с 40 мкФ до 200 мкФ. Перед подключением дополнительных конденсаторов в каждом опыте нужно обязательно отключить исследуемую цепь от источника питания (выхода ЛАТРа), переведя выключатели (S 1 , S" 1) в нижнее положение «откл», а перед проведением замеров вновь подключить к напряжению питания цепь с помощью тех же выключателей.

8. Во всех опытах измерить входное напряжение U , потребляемую активную мощность Р и протекающий по цепи ток I , соответственно цифровыми измерительными приборами: вольтметром V , ваттметром W и амперметром А (см. принципиальную схему на рис. 3.24 и панель стенда на рис. 3.26).

9. Напряжение на батарее конденсаторов U С и напряжение на катушке индуктивности U К с параметрами R K , L K измерить цифровыми вольтметрами, соответственно V C и V K , установленными на панели стенда (см. рис. 3.26).

10. Полученные результаты измерений каждого опыта занести в таблицу 3.5.

11. В конце измерительной части данной работы нужно отключить исследуемую цепь от источника питания и сам блок питания от силового щитка с помощью выключателей S 1 и S 1 " на панели с мнемосхемой (рис. 3.26) и красной кнопки «выкл» выключателя на панели блока питания (рис. 3.27). Сообщить преподавателю об окончании измерений и приступить к вычислениям параметров цепи.

В физике резонансом называется явление, при котором в колебательном контуре частота свободных колебаний совпадает с частотой вынужденных колебаний. В электричестве аналогом колебательного контура служит цепь, состоящая из сопротивления, ёмкости и индуктивности. В зависимости от того как они соединены различают резонанс напряжений и резонанс токов .

Резонанс напряжений возникает в последовательной RLC-цепи .

Условием возникновения резонанса является равенство частоты источника питания резонансной частоте w=w р, а следовательно и индуктивного и емкостного сопротивлений x L =x C . Так как они противоположны по знаку, то в результате реактивное сопротивление будет равно нулю. Напряжения на катушке U L и на конденсаторе U C будет противоположны по фазе и компенсировать друг друга. Полное сопротивление цепи при этом будет равно активному сопротивлению R, что в свою очередь вызывает увеличение тока в цепи, а следовательно и напряжение на элементах.

При резонансе напряжения U C и U L могут быть намного больше, чем напряжение , что опасно для цепи.

С увеличением частоты сопротивление катушки увеличивается, а конденсатора уменьшается. В момент времени, когда частота источника будет равна резонансной, они будут равны, а полное сопротивление цепи Z будет наименьшим. Следовательно, ток в цепи будет максимальным.

Из условия равенства индуктивного и емкостного сопротивлений найдем резонансную частоту

Исходя из записанного уравнения, можно сделать вывод, что резонанса в колебательном контуре можно добиться изменением частоты тока источника (частота вынужденных колебаний) или изменением параметров катушки L и конденсатора C.

Следует знать, что в последовательной RLC-цепи, обмен энергией между катушкой и конденсатором осуществляется через источник питания.

Резонанс токов возникает в цепи с параллельно соединёнными катушкой резистором и конденсатором.

Условием возникновения резонанса токов является равенство частоты источника резонансной частоте w=w р, следовательно проводимости B L =B C . То есть при резонансе токов, ёмкостная и индуктивная проводимости равны.

Для наглядности графика, на время отвлечёмся от проводимости и перейдём к сопротивлению. При увеличении частоты полное сопротивление цепи растёт, а ток уменьшается. В момент, когда частота равна резонансной, сопротивление Z максимально, следовательно, ток в цепи принимает наименьшее значение и равен активной составляющей.

Выразим резонансную частоту

Как видно из выражения, резонансная частота определяется, как и в случае с резонансом напряжений.

В цепях переменного тока при последовательном соединении активного элемента r, емкостного С и индуктивного L может возникнуть такое явление как резонанс напряжений. Это явление можно использовать с пользой (например, в радиотехнике), но также оно может и нанести серьезный вред (в электрических установках большой мощности резонанс напряжений может вызвать серьезные последствия).

Принципиальная схема и векторная диаграмма при резонансе напряжений показаны ниже:

При последовательном включении всех трех элементов данной электрической цепи будет справедливо следующее:

Также нужно помнить, что резонанс возможен только при φ = 0, что при последовательном соединении равносильно вот такому соотношению х = ωL – 1/(ωC) = 0, то есть должно выполняться условие ωL = 1/(ωC) или ω 2 LC = 1. Резонанса напряжений можно достичь тремя способами:

• Подобрать индуктивность катушки;
• Подобрать емкость конденсатора;
• Подобрать угловую частоту ω 0 ;

Причем все эти значения частоты, емкости и индуктивности можно определить используя формулы:

Частота ω 0 носит название резонансной частоты. Если в цепи не изменяется ни напряжение, ни активное сопротивление r, то при резонансе напряжения ток в этой цепи будет максимален, и равен U/r. Это значит, что ток будет полностью не зависим от реактивного сопротивления цепи. В случае же, когда реактивные сопротивления X C = X L будут превосходить по своему значению активное сопротивление r, то на зажимах катушки и конденсатора начнет появляться напряжение, значительно превосходящее напряжение на зажимах цепи. Условие, при котором напряжение на зажимах цепи будет меньше напряжения реактивных элементов будет иметь вид:

Величина , имеющая размерность сопротивления и для удобства расчетов обозначена нами как ρ, называется волновым сопротивлением контура.

Кратность превышения напряжения на зажимах емкостного и индуктивного элемента по отношению к сети можно определить из выражения:

Величина Q определяет резонансные свойства контура и носит названия добротность контура. Также еще резонансные свойства могут характеризовать величиной 1/Q – затухание контура.

Мгновенная мощность для индуктивности и емкости будет равна p L = U L Isin2ωt и p С = -U С Isin2ωt. При резонансе напряжения, когда U L = U С, эти мощности будут равны в любой момент времени и противоположны по знаку. А это означает, что в данной цепи будет происходит обмен энергией между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора, при этом обмена энергией между энергией полей и энергией источника электрической энергии (источника питания) и не происходит. Это вызвано тем, что p L + p С = dW м /dt + dW э /dt и W м + W э = const, то есть суммарная энергия полей в цепи постоянна. При работе такой системы энергия от конденсатора будет переходить в катушку в течении четверти периода, когда ток на катушке возрастает, а напряжение на конденсатора снижается. В течении следующей четверти периода картина противоположна – ток катушки будет снижаться, а напряжения конденсатора расти, то есть энергия от индуктивности будет переходить емкости. При этом источник электрической энергии, питающий данную цепь, будет покрывать только расход энергии, связанный с наличием в цепи активного сопротивления r.

§ 59. Понятие о резонансе напряжений

В цепи переменного тока с активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями, соединенными последовательно (рис. 62, а), может возникнуть резонанс напряжений.

При резонансе напряжения на зажимах индуктивного и емкостного сопротивлений могут стать значительно больше, чем напряжение на зажимах цепи.
Резонанс напряжений наступает в том случае, если индуктивное сопротивление X L и емкостное сопротивление X c равны между собой, т. е.

Допустим, что подбором индуктивиости и емкости или изменением частоты создано условие, при котором X L = X c Когда цепь не настроена в резонанс, то ее полное сопротивление

а в рассматриваемой цепи при резонансе (когда X L = X c ) ее полное сопротивление

Таким образом, полное сопротивление цепи при резонансе оказывается равным активному сопротивлению.
Уменьшение полного сопротивления цепи приводит к тому, что сила тока в ней возрастает. Напряжение генератора переменного тока, включенного в цепь, расходуется на активном сопротивлении

U a = I r .

Напряжение на индуктивности определяется, согласно закону Ома, произведением силы тока на величину индуктивного сопротивления. Так как в цепи увеличилась сила тока, то напряжение U L = I X L возросло.
Напряжение на емкости также определяется произведением тока на величину емкостного сопротивления. Поэтому напряжение на емкости U c = I X c .
В связи с тем, что в последовательно соединенных сопротивлениях протекает одинаковый ток и при резонансе индуктивное сопротивление X L равно емкостному сопротивлению Х с , напряжение на индуктивности и напряжение на емкости равны:

U L = U c или I X L = I X c

Если одновременно увеличить оба реактивных сопротивления Х L и Х c , не нарушая при этом условия резонанса Х L = Х c , то соответственно возрастут оба частичных напряжения U L и X c , а сила тока в цепи при этом не изменится. Таким путем можно получить U L и U c во много раз большие, чем напряжение U на зажимах цепи.
Построим векторную диаграмму (рис. 62, б) для рассматриваемой цепи при резонансе напряжения. Отложим по горизонтали в выбранном масштабе вектор тока . В активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе. Поэтому вектор напряжения отложим по вектору тока. Так как напряжение на индуктивности опережает ток на 90°, то вектор отложим вверх под углом 90°.
Напряжение на емкости отстает от тока на 90°, поэтому вектор , равный вектору , отложим вниз под углом 90° к вектору тока. На векторной диаграмме видно, что напряжение на индуктивности и напряжение на емкости равны и сдвинуты по фазе друг относительно друга на 180° и взаимно компенсируются.
Угол сдвига фаз между током и напряжением при резонансе равен нулю. Это значит, что ток и напряжение совпадают по фазе (как в цепи с активным сопротивлением).

Пример. В цепь переменного тока включены последовательно активное сопротивление r = 5 ом , индуктивность L = 0,005 гн и емкость 63,5 мкф . Генератор, включенный в цепь, вырабатывает переменное напряжение U = 2,5 в с резонансной частотой f = 285 гц . Определить индуктивное и емкостное сопротивления, полное сопротивление цепи, ток, протекающий в цепи, напряжение на емкости и на индуктивности.
Решение . Индуктивное сопротивление

Переменная ЭДС. Она изменяется по закону:

Рисунок 1.

В цепи течет ток вида:

Амплитуда силы тока${\ (I}_m)$ связана с амплитудой ${{\mathcal E}}_m$ «законом Ома» для переменного тока:

Выражение:

полное электросопротивление. Угол ($\varphi $) на который колебания тока отстают от колебаний напряжения определен выражением:

Если изменить частоту колебаний ($\omega $). Как следует из формул (3) , (5) произойдёт изменение амплитуды силы тока ($I_m$) и сдвига фаз ($\varphi $).

Если $\omega =0$, то выражение $\frac{1}{\omega C}\to \infty $. Импеданс ($Z$) становится бесконечным, следовательно, $I_m=0.$ При $\omega =0$ мы имеем дело с постоянным током, который не проходит через конденсатор. Если начать увеличивать частоту, то величина реактивного сопротивления (${\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}^2$) сначала уменьшается, следовательно, уменьшается импеданс, увеличивается $I_m.$ Когда частота ($\omega $) становится равной резонансной частоте контура (${\omega }_0$):

полное сопротивление цепи ($Z$) становится минимальным и равным активному сопротивлению цепи ($R$). Сила тока при этом достигает максимума. При $\omega >{\omega }_0$ выражение ${\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}^2\ne 0$ и растет при росте частоты. Импеданс вновь увеличивается, амплитуда силы тока уменьшается, приближаясь к нулю асимптотически.

Графически вышеописанный процесс изображен на рис.2.

Рисунок 2.

Амплитуда силы тока при резонансной частоте ($\omega ={\omega }_0$) равна:

при этом разность фаз равна нулю ($\varphi =0$). В цепи как бы нет емкости и индуктивности. При этой частоте напряжения на емкости и индуктивности полностью взаимно компенсируются, становясь равными по модулю, так как они по фазе противоположны всегда. Такой резонанс называют резонансом напряжений. Векторная схема резонанса напряжений изображена на рис.3. При резонансе контур ведет себя как активное сопротивление.

Рисунок 3.

Замечание

Итак, случай вынужденных колебаний, когда частота генератора ЭДС (или приложенного внешнего напряжения) равна резонансной частоте, представляет особый интерес. При этом амплитуда тока достигает максимума, а сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю. Контур действует как активное сопротивление.

Применение резонанса напряжений

Явление резонанса напряжений используют в радиотехнике, если необходимо усилить колебания напряжения какой либо частоты, например в устройствах входной части радиоприемника. В этой части есть колебательный контур ($LC$). Добротность этого контура высока, напряжение с конденсатора контура подается на вход усилителя. Входные сигналы вызывают в антенне переменный ток довольно высокой частоты, который вызывает в катушке $L$ ЭДС взаимной индукции, амплитуда которой ${{\mathcal E}}_m\ \ $. Из-за резонанса на конденсаторе (значит и на входе) появляется напряжение с амплитудой ${{\mathcal E}}_mO>{{\mathcal E}}_m.$ Это усиление работает только в узком интервале частот, около резонансной частоты, что позволит выделить из большого количества сигналов разных радиостанций только колебания нужной частоты.

Пример 1

Задание: Чему равна амплитуда напряжения на конденсаторе ($U_{mC}$) при резонансе напряжений, если колебания затухают слабо? Добротность контура равна$\ O$. Внешняя ЭДС изменяется в соответствии с законом: ${\mathcal E}={{\mathcal E}}_m{sin \left(\omega t\right)\ }.$

Решение:

Амплитуда тока при резонансе достигает максимума, она равна:

где ${\omega }_0$ -- резонансная частота.

Следовательно, амплитуда напряжения на конденсаторе будет равна:

где емкостное сопротивление равно:

Подставим в формулу (1.2) $X_C$ из (1.3) и $I_{m\ }$ из (1.1) получим амплитуду напряжения на конденсаторе при резонансе:

Учтем, что:

\[{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}(1.5)\]

подставим выражение для резонансной частоты в формулу (1.4), получим:

где $O=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ -- добротность контура.

Ответ: $U_{mC}={{\mathcal E}}_mO.$

Пример 2

Задание: Чему равна амплитуда напряжения на индуктивности ($U_{mL}$) при резонансе напряжений, если колебания затухают слабо? Добротность контура равна$\ O$. Внешняя ЭДС изменяется в соответствии с законом: ${\mathcal E}={{\mathcal E}}_m{sin \left(\omega t\right)\ }.$

Решение:

Выражение для напряжения на индуктивности можно записать как:

где выражение для амплитуды тока ($I_m(\omega_0)$) при резонансе напряжений:

Проведем замену:

\[{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\left(2.4\right).\]

Получим, что амплитуда напряжения на индуктивности равна:

Ответ: $U_{mL}{={\mathcal E}}_mO.$

Колебания напряжения на конденсаторе и индуктивности имеют равные амплитуды, но их разность фаз равна $\pi $.