Поверхности слабых и сильных разрывов (, ч. II, гл. I, § 4). Разрывы сплошности (, §§ 18, 19).

Условия на поверхностях сильного разрыва в материальных средах и в электромагнитном поле (, гл. VII, §§ 4, 5; , § 35). Тангенциальные разрывы и ударные волны (, § 18, 19).

Гидростатика

Равновесие жидкости и газа в поле потенциальных массовых сил. Закон Архимеда. Равновесие и устойчивость плавающих тел и атмосферы (, VIII § 1; , ч. I, гл. III, §§ 1-4, 8).

Движение идеальной несжимаемой жидкости

Общая теория непрерывных потенциальных движений несжимаемой жидкости (, гл. VIII, § 12). Свойства гармонических функций (, гл. VIII, § 12). Многозначностъ потенциала в многосвязных областях (, ч. I, гл. I, § 18). Кинематическая задача о произвольном движении твердого тела в неограниченном объеме идеальной несжимаемой жидкости (, гл. VIII, § 14). Энергия, количество движения и момент количества движения жидкости при движении в ней твердого тела (, гл. VIII, § 15). Движение сферы в идеальной жидкости (, гл. VIII, § 13).

Силы воздействия идеальной жидкости на тело, движущееся в безграничной массе жидкости (, гл. VIII, § 16). Основы теории присоединенных масс (, гл. VIII, § 15). Парадокс Даламбера (, гл. VIII, §§ 8, 16).

Плоские движения идеальной жидкости. Функция тока. Применение методов теории аналитических функций комплексного переменного для решения плоских задач гидродинамики и аэродинамики (, ч. I, гл. III, §§ 11-16; , §§ 39, 40). Стационарное обтекание жидкостью цилиндра и профиля (, § 41). Формулы Чаплыгина и теорема Жуковского (, ч. I, гл. VI, §§ 5, 6; , § 44). Правило Жуковского и Чаплыгина определения циркуляции вокруг крыльев с острой задней кромкой (, ч. I, гл. VI, § 7; , § 41). Нестационарное обтекание профилей (, гл. I, §§ 1-5).

Плоские задачи о струйных течениях жидкости. Обтекание тел с отрывом струй. Схемы Кирхгофа, Эфроса и др. (, ч. I, гл. VI, § 16; , § 47; , гл. V, § 4).

Определение поля скоростей по заданным вихрям и источникам (, ч. I, гл. V, § 11; , гл. VIII, § 26). Формулы Био-Савара. Прямолинейный и кольцевой вихри (, ч. I, гл. V, §§ 12-15; , гл. VIII, § 27). Законы распределения давлений, силы, обуславливающие вынужденное движение прямолинейных вихрей в плоском потоке (, гл. VIII, § 28).

Постановка задачи и основные результаты теории крыла конечного размаха. Несущая линия и несущая поверхность (, гл. VII, § 27; , § 68).

Постановка задачи Коши-Пуассона о волнах на поверхности тяжелой несжимаемой жидкости (, ч. I, гл. VIII, §§ 2, 3; , § 24). Гармонические волны. Фазовая и групповая скорость. Дисперсия волн (, ч. I, гл. VII, § 8; , § 24; , §§ 11.1, 11.2, 11.4). Перенос энергии прогрессивными волнами (, ч. I, гл. VII, §§ 18-19; , § 11.6). Теория мелкой воды (, § 108; , § 13.10). Уравнения Буссинеска и Кортевега-де-Вриза. Нелинейные волны. Солитон (, §§ 13.11, 13.12; , § 24).

Движение вязкой жидкости. Теория пограничного слоя.

Турбулентность

Ламинарное движение несжимаемой вязкой жидкости. Течения Куэтта и Пуазейля (, ч. II, гл. II, §§ 11, 12; , гл. VIII, § 21). Течение вязкой жидкости в диффузоре (, гл. V, §§ 6, 9; гл. X, §§ 3, 4; , § 23). Диффузия вихря (, гл. VIII, § 30).

Приближения Стокса и Озеена. Задача о движении сферы в вязкой жидкости в постановке Стокса (, ч. II, гл. II, §§ 23, 25; , гл. VIII, § 20; , § 20).

Ламинарный пограничный слой (, гл. VIII, § 23; , гл. VII, § 1). Задача Блазиуса (, гл. VIII, § 24; , гл. VII, § 5). Интегральные соотношения и основанные на их использовании приближенные методы в теории ламинарного пограничного слоя (, § 89). Явление отрыва пограничного слоя (, § 86; , §§ 39, 40; , гл. VII, § 2). Устойчивость пограничного слоя (, § 41; , гл. XVI, §§ 2, 3). Теплообмен с потоком на основе теории пограничного слоя (, гл. VI, § 2; §§ 114-116; , гл. XII, §§ 1, 4).

Турбулентность (, § 95). Опыт Рейнольдса. Уравнения Рейнольдса (, гл. VIII, § 22). Турбулентный перенос тепла и вещества (, §§ 97, 98). Полуэмпирические теории турбулентности (, § 98; , гл. XIX, §§ 2-4; (, гл. III, § 4).). Профиль скорости в пограничном слое. Логарифмический закон (, § 120; , гл. XIX, § 5). Прямое численное решение уравнений гидромеханики при наличии турбулентности ().

Линии разрыва (fault). Данная операция позволяет отрисовать структурную линию, которая в каждой точке имеет две отметки. Такая структурная линия называется линией разрыва. Пример линии разрыва – подпорная стенка и бордюр (борт, для питерцев – поребрик:)). Подписать двойные отметки на бордюре можно специальной командой .

При вызове функции выводится диалоговое окно, где необходимо указать требуемые параметры.

При выборе "Брать фиксированное значение отметки" введите численное значение отметки.

При выборе "Брать по Поверхности" выберите из списка имя существующей поверхности.

Тип линии разрыва – левая или правая.

Совет. При установке флажка «Сохранять значение разности отметок» – отметка верха определяется таким образом: к отметке низа добавляется значение разности, и отметка верха становится нередактируемой. Если же необходимо ее отредактировать, то отключите флажок разностей и включите флажок этой отметки – она станет доступна для редактирования.

Значения отметок и разности можно контролировать и редактировать в диалоговом окне:

Это окно появляется после того, как на запрос программы "Введите первую точку или [оПции(P)]:" указана точка.

Запоминается, в каком из значений был ввод. При следующем вызове окна ввод начинается с запомненного поля.

Имеется возможность отключать отметку, которая неизвестна, – первый столбец флажков.

После ввода всей структурной линии неизвестные отметки рассчитываются исходя из значений известных отметок, если это возможно.

Последний столбец флажков – это базовая отметка для пересчета (имеет смысл привключенных слева флажках).

Если базовая отметка не изменяется, а изменяется одна из небазовых, то пересчитывается другая небазовая. А если базовая нижняя или верхняя и менять ее – меняется средняя; если базовая средняя и менять ее – по умолчанию меняется верхняя.

При выключении одного из флажков в первом столбце смысл базовой отметки теряется.

Имееется ряд радиокнопок, которые предлагают отметку для начального ввода. Если выбрана "Последняя", то предлагается последняя введенная отметка.

Линия разрыва – это специальный объект, геон. Смещение в плане между верхом и низом устанавливается в диалоговом окне "Установки поверхностей" в закладке "Установки структурных линий" в секции "Дополнительные параметры линий разрыва" с помощью параметра "Величина смещения линии разрыва при построении".

В конце отрисовки структурной линии сдвига появляется запрос-подтверждение такого вида:

"Укажите точкой сторону сдвига структурной линии <Линия разрыва (Правая)> или :".

Пользователь либо указывает сторону сдвига структурной линии точкой (для удобства ввода точки появляется резиновая линия от последней введенной точки структурной линии до указываемой точки), либо подтверждает тип сдвига, заданный первоначально (любой другой ввод).

При привязке (например, _Nea) привязка производится к низу структурной линии.

В структурную линию разрыва добавлены следующие возможности:

§ возможность привязки к верхней линии,

§ отображение стороны сдвига,

§ возможность задавать величину сдвига при построении поверхности (достаточно 0.01),

§ при команде _Explode она преобразовывается в две геолинии.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТАНАЛИЗУ

Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.

Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z ) называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М , если каждой паре (х,у ) из множества М z из Z .

Определение 1.2. Множество М , в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции , а сами х,у – ее аргументами .

Обозначения: z = f (x , y ), z = z (x , y ).

Примеры.

Замечание. Так как пару чисел (х,у ) можно считать координатами некоторой точки на плоскости, будем впоследствии использовать термин «точка» для пары аргументов функции двух переменных, а также для упорядоченного набора чисел
, являющихся аргументами функции нескольких переменных.

Определение 1.3. . Переменная z (с областью изменения Z ) называется функцией нескольких независимых переменных
в множествеМ , если каждому набору чисел
из множестваМ по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z . Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.

Обозначения: z = f
,z = z
.

Геометрическое изображение функции двух переменных.

Рассмотрим функцию

z = f (x , y ) , (1.1)

определенную в некоторой области М на плоскости Оху . Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x , y , z ) , где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение (1.1) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.

z = f(x,y)

M y

Замечание . Для функции трех и более переменных будем пользоваться термином «поверхность в n -мерном пространстве», хотя изобразить подобную поверхность невозможно.

Линии и поверхности уровня.

Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости Оху , для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня .

Пример.

Найдем линии уровня для поверхности z = 4 – x ² - y ². Их уравнения имеют вид x ² + y ² = 4 – c (c =const) – уравнения концентрических окружностей с центром в начале координат и с радиусами
. Например, прис =0 получаем окружность x ² + y ² = 4 .

Для функции трех переменных u = u (x , y , z ) уравнение u (x , y , z ) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называют поверхностью уровня .

Пример.

Для функции u = 3x + 5y – 7z –12 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями

3x + 5y – 7z –12 + с = 0.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Введем понятие δ-окрестности точки М 0 (х 0 , у 0 ) на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в данной точке. Аналогично можно определить δ-окрестность в трехмерном пространстве как шар радиуса δ с центром в точке М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ) . Для n -мерного пространства будем называть δ-окрестностью точки М 0 множество точек М с координатами
, удовлетворяющими условию

где
- координаты точкиМ 0 . Иногда это множество называют «шаром» в n -мерном пространстве.

Определение 1.4. Число А называется пределом функции нескольких переменных f
в точкеМ 0 , если

такое, что | f (M ) – A | < ε для любой точки М из δ-окрестности М 0 .

Обозначения:
.

Необходимо учитывать, что при этом точка М может приближаться к М 0 , условно говоря, по любой траектории внутри δ-окрестности точки М 0 . Поэтому следует отличать предел функции нескольких переменных в общем смысле от так называемых повторных пределов , получаемых последовательными предельными переходами по каждому аргументу в отдельности.

Примеры.

Замечание . Можно доказать, что из существования предела в данной точке в обычном смысле и существования в этой точке пределов по отдельным аргументам следует существование и равенство повторных пределов. Обратное утверждение неверно.

Определение 1.5. Функция f
называетсянепрерывной в точке М 0
, если
(1.2)

Если ввести обозначения

То условие (1.2) можно переписать в форме

(1.3)

Определение 1.6. Внутренняя точка М 0 области определения функции z = f (M ) называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполняются условия (1.2), (1.3).

Замечание. Множество точек разрыва может образовывать на плоскости или в пространстве линии или поверхности разрыва .

Поверхностью уровня поля называют геометрическое место точек, в которых поле принимает постоянное значение. Согласно такому определению, уравнение поверхности уровня будет иметь вид: или

Кривые безразличия - представляют собой совокупность точек на координатной плоскости, каждая из которых является потребительским набором, обеспечивающим потребителю одинаковый уровень удовлетворения его потребностей. Кривая безразличия является графическим отображением набора безразличия

ВОПРОС 36. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Последовательные пределы.

Определение 1. Число А называется пределом функции в точке (или при и ), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число такое, что для всех точек , отстоящих от точки на расстояние, меньшее чем , выполняется неравенство

Обозначается предел

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва.

На функции нескольких переменных переносятся все свойства и методы теории пределов функции одной переменной.

ВОПРОС 37. Дифференцируемость функции и дифференциал первого порядка, частные дифференциалы и частные производные первого порядка.

ВОПРОС 38.Градиент и производная по направлению.

ВОПРОС 39.Производные и дифференциалы высших порядков. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных в моделировании таможенных процессов.

Предположим, что функция f"(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй произвоьдной и обозначают f(2)(x), f""(x) или y(2), y""(x). Аналогично можно ввести понятие второй, третьей и т. д. производных. По индукции можно ввести понятие n- ой производной:

y(n) = (y(n-1))". (6)

Функцию, имеющую на некотором множестве конечную производную порядка n, называют n раз дифференцируемой на этом множестве. Методика нахождения производных высших порядков предполагает умение находить производные первого порядка, о чем говорит формула (6).

Если u(x), v(x) две дифференцируемые функции, то для нахождения производной их произведения справедлива формула Лейбница

(u(x)v(x))(n) = u(n)v+nu(n-1)v"+(n(n-1)/2)u(n-2)v""+...+ uv(n) =

Sk = 0nCnku(n-k)v(k),

Cnk = (n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/k!, u(0) = u, v(0) = v.

Данная формула Лейбница особенно эффективна в случае, когда одна из перемножаемых функций имеет конечное число отличных от нуля производных и легко вычислить производные другой функции.

Пример 9. Пусть y = ex(x2-1). Найти y(10). Положим u(x) = ex,

v(x) = (x2-1). Согласно формуле Лейбница

y(10) = (ex)(25)(x2-1)+10(ex)(9)(x2-1)"+(10· 9/2) (ex)(8)(x2-1)"",

так как следующие слагаемые равны нулю. Поэтому

y(10) = ex(x2-1)+10ex2x+(10· 9/2)ex (2) = ex(x2+20x+89)

Рассмотрим выражение для первого дифференциала

Пусть функция, стоящая в правой части, является дифференцируемой функцией в данной точке x. Для этого достаточно, чтобы y = f(x), была дифференцируема два раза в данной точке x, а аргумент либо является независимой переменной, либо представляет собой дважды дифференцируемую функцию.

Определение 6 (дифференциал второго порядка). Значение d(dy) дифференциала от первого дифференциала (4) при d x = dx, называется вторым дифференциалом функции y = f(x) и обозначается d2y.

Таким образом,

d2y = d (dy)|d x = dx.

Дифференциал dny можно ввести по индукции.

ВОПРОС 40. Локальные и условные экстремумы функций нескольких переменных. Экстремальные задачи в моделировании таможенных процессов.

Локальный экстремум .

Пусть дана функция , определенная в открытой области пространства , и пусть точка .

Определение1. Точка называется точкой минимума функции если существует окрестность точки, в которой выполняется неравенство:

Т.е.

(аналогично точка максимума)