التبعية الخطية والاستقلال الخطي لصفوف وأعمدة المصفوفة. §4.8. الاعتماد الخطي لصفوف وأعمدة مصفوفة كيفية إثبات أن أعمدة المصفوفة تعتمد خطيًا

الصفوف والأعمدة المصفوفاتيمكن اعتباره صفوف المصفوفةوفي المقابل ، مصفوفات الأعمدة. لذلك ، يمكنك القيام بها ، وكذلك في أي مصفوفات أخرى العمليات الخطية. القيد على عملية الإضافة هو أن الصفوف (الأعمدة) يجب أن تكون بنفس الطول (الارتفاع) ، ولكن هذا الشرط يتم استيفائه دائمًا للصفوف (الأعمدة) من نفس المصفوفة.

تتيح العمليات الخطية على الصفوف (الأعمدة) تكوين صفوف (أعمدة) في شكل تعبيرات α 1 a 1 + ... + α s a s ، حيث a 1 ، ... ، a s هي مجموعة عشوائية من الصفوف (الأعمدة ) بنفس الطول (الارتفاع) ، و α 1 ، ... ، α s هي أرقام حقيقية. تسمى هذه التعبيرات مجموعات خطية من الصفوف (الأعمدة).

التعريف 12.3. صفوف الأعمدة)أ 1 ، ... ، أ مستقل خطيا،إذا كانت المساواة

α 1 a 1 + ... + α s a s = 0 ، (12.1)

حيث 0 على الجانب الأيمن عبارة عن صف صفري (عمود) ، يكون ذلك ممكنًا فقط عندما تكون α 1 = ... = a s = 0. خلاف ذلك ، عندما يكون هناك مثل هذه الأرقام الحقيقية α 1 ، ... ، α s التي ليست كذلك تساوي الصفر في نفس الوقت ، تلك المساواة (12.1) مثبتة ، تسمى هذه الصفوف (الأعمدة) تعتمد خطيا.

يُعرف البيان التالي باسم اختبار التبعية الخطية.

نظرية 12.3.الصفوف (الأعمدة) a 1 ، ... ، a s ، s> 1 ، تعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كان واحدًا (واحدًا) على الأقل هو مزيج خطي من الآخرين.

◄ سنقوم بإجراء الإثبات للصفوف ، وهو مماثل للأعمدة.

بحاجة إلى. إذا كانت الصفوف a 1 ، ... ، a s تعتمد خطيًا ، إذن ، وفقًا للتعريف 12.3 ، هناك أرقام حقيقية α 1 ، ... ، α s لا تساوي صفرًا في نفس الوقت بحيث تكون α 1 a 1 + ... + α s a s = 0. نختار معاملًا غير صفري αα i. من أجل الوضوح فليكن α 1. ثم α 1 a 1 = (-α 2) a 2 + ... + (-α s) a s وبالتالي ، a 1 = (-α 2 / α 1) a 2 + ... + (-α s / α 1) a s ، أي يتم تمثيل الصف 1 كمجموعة خطية من الصفوف المتبقية.

قدرة. دعنا ، على سبيل المثال ، 1 = λ 2 a 2 + ... + λ s a s. ثم 1a 1 + (-2) a 2 + ... + (- λ s) a s = 0. المعامل الأول للمجموعة الخطية يساوي واحدًا ، أي إنه غير صفري. وفقًا للتعريف 12.3 ، فإن السلاسل a 1 ، ... ، a s تعتمد خطيًا.

نظرية 12.4.اجعل الصفوف (الأعمدة) a 1 ، ... ، a s مستقلة خطيًا ، وعلى الأقل يكون أحد الصفوف (الأعمدة) b 1 ، ... ، b l تركيبة خطية. ثم جميع الصفوف (الأعمدة) أ 1 ، ... ، أ ق ، ب 1 ، ... ، ب ل تعتمد خطيًا.

◄ لنفترض ، على سبيل المثال ، أن b 1 عبارة عن تركيبة خطية من 1 ، ... ، a s ، أي ب 1 = α 1 a 1 + ... + α s a s، α i ∈R، i = 1، s. نضيف صفوفًا (أعمدة) ب 2 ، ... ، ب ل (ل> 1) مع معاملات صفرية لهذه المجموعة الخطية: ب 1 = α 1 أ 1 + ... + α s a s + 0b 2 + ... + 0 ب ل وفقًا للنظرية 12.3 ، الصفوف (الأعمدة) أ 1 ، ... ، أ ق ، ب 1 ، ... ، ب أنا تعتمد خطيًا.

ضع في اعتبارك مصفوفة عشوائية ، وليست مربعة بالضرورة ، بحجم mxn.

رتبة المصفوفة.

يرتبط مفهوم رتبة المصفوفة بمفهوم الاعتماد الخطي (استقلالية) الصفوف (الأعمدة) في المصفوفة. ضع في اعتبارك هذا المفهوم للسلاسل. بالنسبة للأعمدة ، نفس الشيء.

دلالة على مغاسل المصفوفة أ:

ه 1 \ u003d (أ 11 ، أ 12 ، ... ، أ 1 ن) ؛ ه 2 \ u003d (أ 21 ، أ 22 ، ... ، أ 2 ن) ؛ ... ، م 1 \ u003d (أ م 1 ، أ م 2 ، ... ، مليون)

e k = e s إذا كان a kj = a sj ، j = 1،2 ، ... ، n

يتم تقديم العمليات الحسابية على صفوف المصفوفة (بالإضافة إلى الضرب برقم) كعمليات يتم تنفيذها عنصرًا بعنصر: λе k = (λа k1، λа k2، ...، λа kn)؛

e k + e s = [(а k1 + a s1) ، (a k2 + a s2) ، ... ، (а kn + a sn)].

الخط e يسمى تركيبة خطيةالصفوف e 1 ، e 2 ، ... ، e k ، إذا كانت تساوي مجموع حاصل ضرب هذه الصفوف بأرقام حقيقية عشوائية:

e = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 +… + k e k

يتم استدعاء الأسطر e 1 ، e 2 ، ... ، e m تعتمد خطيا، إذا كانت هناك أرقام حقيقية λ 1 ، λ 2 ، ... ، م ، ليست كلها مساوية للصفر ، فإن التركيبة الخطية لهذه الصفوف تساوي صف الصفر: λ 1 ه 1 + 2 ه 2 + ... + λ م البريد م = 0 ،أين 0 =(0,0,…,0) (1)

إذا كانت التركيبة الخطية تساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت جميع المعاملات λ i تساوي صفرًا (λ 1 = λ 2 = ... = λ m = 0) ، عندئذٍ يتم استدعاء الصفوف e 1 ، e 2 ، ... ، e m مستقل خطيا.

نظرية 1. بالنسبة للسلاسل e 1 ، e 2 ، ... ، لكي تكون مرتبطة خطيًا ، من الضروري والكافي أن تكون إحدى هذه السلاسل مزيجًا خطيًا من الأوتار الأخرى.

دليل - إثبات. بحاجة إلى. دع السلاسل e 1، e 2،…، e m تعتمد خطيًا. دعنا ، من أجل التحديد ، (1) λm ≠ 0 ، إذن

الذي - التي. السلسلة e m هي مزيج خطي من بقية الأوتار. ch.t.d.

قدرة. اجعل أحد الصفوف ، على سبيل المثال e m ، عبارة عن مجموعة خطية من الصفوف الأخرى. ثم هناك أرقام مثل تلك التي تحملها المساواة ، والتي يمكن إعادة كتابتها كـ ،

حيث 1 على الأقل من المعاملات ، (-1) ، غير صفري. أولئك. الصفوف تعتمد خطيًا. ch.t.d.

تعريف. ترتيب ثانوي من k-thتسمى المصفوفة A بحجم mxn محدد الترتيب k مع العناصر التي تقع عند تقاطع أي صفوف k وأي عمود k من المصفوفة A. (k≤min (m، n)). .

مثال.، القصر من الدرجة الأولى: = ، = ؛

القصر من الدرجة الثانية: من الدرجة الثالثة

مصفوفة الرتبة الثالثة بها 9 قاصرين من الرتبة الأولى و 9 قاصرين من الرتبة الثانية و 1 قاصر من الرتبة الثالثة (محدد هذه المصفوفة).

تعريف. رتبة مصفوفة أهي أعلى ترتيب للقاصرين غير الصفريين في هذه المصفوفة. التعيين - rgA أو r (A).

خصائص رتبة المصفوفة.

1) لا تتجاوز رتبة المصفوفة A nxm أصغر أبعادها ، أي

ص (أ) ≤ دقيقة (م ، ن).

2) r (A) = 0 عندما تكون جميع عناصر المصفوفة تساوي 0 ، أي أ = 0.

3) بالنسبة للمصفوفة المربعة A بالترتيب n ، r (A) = n عندما يكون A غير متولد.

(رتبة المصفوفة القطرية تساوي عدد العناصر القطرية غير الصفرية).

4) إذا كانت رتبة المصفوفة r ، فإن المصفوفة تحتوي على الأقل على واحد ثانوي من الرتبة r لا يساوي صفرًا ، وكل العناصر الثانوية من الرتب الأعلى تساوي صفرًا.

بالنسبة إلى رتب المصفوفة ، العلاقات التالية صحيحة:

2) ص (أ + ب) ≤ ص (أ) + ص (ب) ؛ 3) ص (أب) ≤ دقيقة (ص (أ) ، ص (ب)) ؛

3) ص (A + B) ≥│r (A) -r (B) │ ؛ 4) ص (أ ت أ) = ص (أ) ؛

5) r (AB) = r (A) إذا كانت B مصفوفة مربعة غير مفردة.

6) r (AB) ≥r (A) + r (B) -n ، حيث n هو عدد أعمدة المصفوفة A أو صفوف المصفوفة B.

تعريف.يتم استدعاء قاصر غير صفري من الأمر r (A) ثانوي أساسي. (يمكن أن تحتوي المصفوفة أ على عدة قاصرين أساسيين). يتم استدعاء الصفوف والأعمدة عند التقاطع التي يوجد بها أساس ثانوي على التوالي خطوط الأساسو الأعمدة الأساسية.

النظرية 2 (على الصغرى الأساسية).الصفوف الأساسية (الأعمدة) مستقلة خطيًا. أي صف (أي عمود) من المصفوفة A هو تركيبة خطية من الصفوف الأساسية (الأعمدة).

دليل - إثبات. (للسلاسل). إذا كانت الصفوف الأساسية تابعة خطيًا ، فبواسطة النظرية (1) سيكون أحد هذه الصفوف مزيجًا خطيًا من الصفوف الأساسية الأخرى ، ثم بدون تغيير قيمة الثانوية الأساسية ، يمكنك طرح المجموعة الخطية المحددة من هذا الصف و الحصول على صف صفري ، وهذا يناقض ذلك لأن الأساس الصغرى يختلف عن الصفر. الذي - التي. الصفوف الأساسية مستقلة خطيًا.

دعنا نثبت أن أي صف من المصفوفة A هو تركيبة خطية من الصفوف الأساسية. لان مع التغييرات التعسفية في الصفوف (الأعمدة) ، يحتفظ المحدد بخاصية كونه مساويًا للصفر ، ثم ، دون فقدان العمومية ، يمكننا أن نفترض أن الأساس الثانوي في الزاوية اليسرى العليا من المصفوفة

أ = ،أولئك. تقع في الصفوف الأولى والأعمدة ص. لنفترض أن 1 £ j £ n و 1 £ i £ m. دعنا نظهر أن محدد الترتيب (r + 1)

إذا كانت j £ r أو i £ r ، فإن هذا المحدد يساوي صفرًا ، لأن سيكون له عمودين متطابقين أو صفين متطابقين.

إذا كانت j> r و i> r ، فإن هذا المحدد يكون ثانويًا من الترتيب (r + 1) للمصفوفة A. منذ رتبة المصفوفة هي r ، لذا فإن أي ثانٍ من رتبة أعلى يساوي 0.

توسيعه بواسطة عناصر العمود الأخير (المضاف) ، نحصل عليه

a 1j A 1j + a 2j A 2j + ... + a rj A rj + a ij A ij = 0 ، حيث تتطابق آخر إضافة جبرية A ij مع القاصر الأساسي r وبالتالي A ij = М r ≠ 0.

بقسمة آخر مساواة بواسطة A ij ، يمكننا التعبير عن العنصر a كمجموعة خطية: أين.

نصلح القيمة i (i> r) ونحصل على ذلك لأي j (j = 1،2 ، ... 2،…، e r، ie e. الصف الأول هو مجموعة خطية من الصفوف الأساسية:. ch.t.d.

النظرية 3. (شرط ضروري وكافٍ للمُحدد ليكون مساوياً للصفر).من أجل أن يكون محدد الترتيب D مساويًا للصفر ، من الضروري والكافي أن تكون صفوفه (أعمدته) مرتبطة خطيًا.

إثبات (ص 40). بحاجة إلى. إذا كان المحدد n من الرتبة D يساوي صفرًا ، فإن الأساس الثانوي لمصفوفته يكون من الرتبة r

وبالتالي ، فإن أحد الصفوف هو مزيج خطي من الصفوف الأخرى. ثم ، من خلال النظرية 1 ، صفوف المحدد تعتمد خطيًا.

قدرة. إذا كانت الصفوف D تابعة خطيًا ، فبواسطة النظرية 1 ، يكون الصف الأول A i عبارة عن مجموعة خطية من الصفوف الأخرى. بطرح المجموعة الخطية المشار إليها من السطر A i ، دون تغيير قيمة D ، نحصل على خط صفري. لذلك ، من خلال خصائص المحددات ، D = 0. ح.

نظرية 4.في ظل التحولات الأولية ، لا تتغير رتبة المصفوفة.

دليل - إثبات. كما تم توضيحه عند النظر في خصائص المحددات ، عند تحويل المصفوفات المربعة ، فإن محدداتها إما لا تتغير ، أو تتضاعف بعدد غير صفري ، أو تتغير بعلامة. في هذه الحالة ، يتم الاحتفاظ بأعلى ترتيب للقصر غير الصفري للمصفوفة الأصلية ، أي رتبة المصفوفة لا تتغير. ch.t.d.

إذا كانت r (A) = r (B) ، فإن A و B تكونان مكافئ: A ~ B.

نظرية 5.باستخدام التحويلات الأولية ، يمكن للمرء تقليل المصفوفة إلى عرض صعدت.تسمى المصفوفة صعد إذا كان لديه الشكل:

А = ، حيث a ii 0 ، i = 1،2 ، ... ، r ؛ روك.

يمكن دائمًا تحقيق الشروط r≤k عن طريق التحويل.

نظرية 6.رتبة مصفوفة الخطوة تساوي عدد صفوفها غير الصفرية .

أولئك. رتبة مصفوفة الخطوة هي r ، لأن هناك أمر ثانوي غير صفري r:

يتم تعريف مفاهيم الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي للصفوف والأعمدة بنفس الطريقة. لذلك ، فإن الخصائص المرتبطة بهذه المفاهيم ، المصاغة للأعمدة ، صالحة بالطبع أيضًا للصفوف.

1. إذا كان نظام العمود يتضمن عمودًا صفريًا ، فإنه يعتمد خطيًا.

2. إذا كان نظام العمود يحتوي على عمودين متساويين ، فإنه يعتمد خطيًا.

3. إذا كان نظام العمود يحتوي على عمودين متناسبين ، فإنه يعتمد خطيًا.

4. يعتمد نظام الأعمدة خطيًا إذا وفقط إذا كان أحد الأعمدة على الأقل عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة الأخرى.

5. تشكل أي أعمدة مدرجة في نظام مستقل خطيًا نظامًا فرعيًا مستقلًا خطيًا.

6. نظام العمود الذي يحتوي على نظام فرعي تابع خطيًا يعتمد خطيًا.

7. إذا كان نظام الأعمدة مستقلاً خطيًا ، وبعد إضافة عمود إليه ، اتضح أنه يعتمد بشكل خطي ، فيمكن أن يتحلل العمود إلى أعمدة ، وعلاوة على ذلك ، بطريقة فريدة ، أي تم العثور على معاملات التمدد بشكل فريد.

دعونا نثبت ، على سبيل المثال ، الممتلكات الأخيرة. نظرًا لأن نظام الأعمدة يعتمد خطيًا ، فهناك أرقام لا تساوي جميعها 0 ، والتي

في هذه المساواة. في الواقع ، إذا ، إذن

ومن ثم ، فإن التركيبة الخطية غير التافهة من الأعمدة تساوي عمود الصفر ، مما يتعارض مع الاستقلال الخطي للنظام. لذلك ثم أي. العمود عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة. يبقى إظهار تفرد مثل هذا التمثيل. لنفترض العكس. يجب أن يكون هناك توسعتان ، وليست كل معاملات التوسع متساوية مع بعضها البعض على التوالي (على سبيل المثال ،). ثم من المساواة

نحصل على (\ alpha_1- \ beta_1) A_1 + \ ldots + (\ alpha_k- \ beta_k) A_k = o

بالتتابع ، فإن التركيبة الخطية من الأعمدة تساوي العمود الفارغ. نظرًا لأن جميع معاملاتها لا تساوي الصفر (على الأقل) ، فإن هذا المزيج غير تافه ، مما يتعارض مع حالة الاستقلال الخطي للأعمدة. يؤكد التناقض الناتج تفرد التحلل.

مثال 3.2.إثبات وجود عمودين غير صفريين ويعتمدان خطيًا إذا وفقط إذا كانا متناسبين ، أي .

المحلول.في الواقع ، إذا كانت الأعمدة مرتبطة خطيًا ، فهناك أرقام لا تساوي الصفر في نفس الوقت ، مثل هذا. وفي هذه المساواة. في الواقع ، بافتراض ذلك ، نحصل على تناقض ، لأن العمود أيضًا غير صفري. وسائل، . لذلك ، هناك عدد من هذا القبيل. تم إثبات الحاجة.

على العكس من ذلك ، إذا ، إذن. حصلنا على مجموعة خطية غير تافهة من الأعمدة تساوي عمود الصفر. إذن الأعمدة مرتبطة خطيًا.

مثال 3.3.ضع في اعتبارك جميع الأنظمة الممكنة المكونة من الأعمدة

افحص كل نظام لمعرفة العلاقة الخطية.
المحلول. ضع في اعتبارك خمسة أنظمة تحتوي على عمود واحد لكل منها. وفقًا للفقرة 1 من الملاحظات 3.1: الأنظمة ، مستقلة خطيًا ، والنظام الذي يتكون من عمود صفري واحد ، يعتمد خطيًا.

ضع في اعتبارك الأنظمة التي تحتوي على عمودين لكل منهما:

- كل نظام من الأنظمة الأربعة يعتمد خطيًا ، لأنه يحتوي على عمود صفري (الخاصية 1) ؛

- النظام يعتمد خطيًا ، لأن الأعمدة متناسبة (الخاصية 3):

- كل من الأنظمة الخمسة مستقل خطيًا ، لأن الأعمدة غير متناسبة (انظر بيان المثال 3.2).

ضع في اعتبارك الأنظمة التي تحتوي على ثلاثة أعمدة:

- كل من الأنظمة الستة يعتمد خطيًا ، لأنه يحتوي على عمود صفري (الخاصية 1) ؛

- الأنظمة تعتمد خطيًا ، لأنها تحتوي على نظام فرعي تابع خطيًا (الخاصية 6) ؛

هي أنظمة وتعتمد خطيًا ، حيث يتم التعبير عن العمود الأخير خطيًا من حيث الباقي (الخاصية 4): وعلى التوالي.

أخيرًا ، تعتمد الأنظمة المكونة من أربعة أو خمسة أعمدة خطيًا (حسب الخاصية 6).

رتبة المصفوفة

في هذا القسم ، نعتبر خاصية عددية مهمة أخرى للمصفوفة ، تتعلق بمدى اعتماد صفوفها (أعمدتها) على بعضها البعض.

التعريف 14.10يجب أن تكون هناك مصفوفة من الأحجام وعدد لا يتجاوز أصغر الأرقام و: . دعنا نختار بشكل تعسفي صفوف وأعمدة المصفوفة (قد تختلف أرقام الصفوف عن أرقام الأعمدة). يُطلق على محدد المصفوفة المكونة من عناصر عند تقاطع الصفوف والأعمدة المختارة اسم المصفوفة الثانوية.

مثال 14.9يترك .

القاصر من الدرجة الأولى هو أي عنصر من عناصر المصفوفة. 2 ، من الدرجة الأولى القصر.

القاصرون من الدرجة الثانية:

1. خذ الصفوف 1 ، 2 ، الأعمدة 1 ، 2 ، نحصل على قاصر ;

2. خذ الصفوف 1 ، 3 ، الأعمدة 2 ، 4 ، نحصل على قاصر ;

3. خذ الصفوف 2 ، 3 ، الأعمدة 1 ، 4 ، نحصل على قاصر

القاصرون من الرتبة الثالثة:

الصفوف هنا يمكن تحديدها بطريقة واحدة فقط ،

1. خذ الأعمدة 1 ، 3 ، 4 ، احصل على قاصر ;

2. خذ الأعمدة 1 ، 2 ، 3 ، احصل على قاصر .

العرض 14.23 إذا كانت كل العناصر الثانوية في المصفوفة تساوي صفرًا ، فإن كل العناصر الثانوية في الترتيب ، إن وجدت ، تساوي صفرًا أيضًا.

دليل - إثبات. خذ قاصرًا تعسفيًا. هذا هو محدد مصفوفة الترتيب. دعنا نوسعها بالسطر الأول. بعد ذلك ، في كل مصطلح من فترات التوسع ، سيكون أحد العوامل ثانويًا في ترتيب المصفوفة الأصلية. من خلال الافتراض ، فإن ترتيب القاصرين يساوي صفرًا. لذلك ، سيكون الترتيب الثانوي أيضًا مساويًا للصفر.

التعريف 14.11رتبة المصفوفة هي الأكبر بين الرتب غير الصفرية للقاصرين في المصفوفة. تعتبر رتبة المصفوفة الصفرية صفراً.

لا يوجد تدوين معياري واحد لرتبة المصفوفة. بعد البرنامج التعليمي ، سنشير إليه على أنه.

مثال 14.10مصفوفة المثال 14.9 لها المرتبة 3 لأن هناك قاصرًا من الدرجة الثالثة لا يساوي الصفر ، لكن لا يوجد قاصر من الدرجة الرابعة.

رتبة المصفوفة يساوي 1 ، نظرًا لوجود قاصر من الدرجة الأولى غير صفري (عنصر من عناصر المصفوفة) ، وكل العناصر الثانوية من الدرجة الثانية تساوي صفرًا.

إن رتبة مصفوفة مربعة غير متحللة متساوية ، لأن محددها ثانوي من الترتيب والمصفوفة غير المتحللة ليست صفرية.

العرض 14.24 عند نقل المصفوفة ، لا يتغير ترتيبها ، أي ، .

دليل - إثبات. سيكون الصغرى المنقولة للمصفوفة الأصلية هي الصغرى للمصفوفة المنقولة ، والعكس بالعكس ، أي قاصر هو المحول الصغير للمصفوفة الأصلية. عند التحويل ، لا يتغير المحدد (الثانوي) (الاقتراح 14.6). لذلك ، إذا كانت كل العناصر الثانوية في المصفوفة الأصلية تساوي صفرًا ، فإن كل الأطفال الصغار من نفس الترتيب يساوي صفرًا أيضًا. إذا كان الترتيب الثانوي في المصفوفة الأصلية غير صفري ، فيكون هناك عنصر ثانوي غير صفري من نفس الترتيب. بالتالي، .

التعريف 14.12دع رتبة المصفوفة تكون. ثم يسمى أي قاصر غير صفري باسم ثانوي أساسي.

مثال 14.11يترك . محدد المصفوفة هو صفر ، لأن الصف الثالث يساوي مجموع أول اثنين. الدرجة الثانية الثانوية ، الموجودة في أول صفين وأول عمودين ، هي . لذلك ، فإن رتبة المصفوفة تساوي اثنين ، والمُعتبَر ثانويًا أساسي.

القاصر الأساسي هو أيضًا قاصر يقع ، على سبيل المثال ، في الصفين الأول والثالث ، العمودين الأول والثالث: . ستكون القاعدة هي الصغرى في الصفين الثاني والثالث ، العمودين الأول والثالث: .

العدد الصغير في الصفين الأول والثاني ، العمودين الثاني والثالث يساوي صفرًا وبالتالي لن يكون أساسيًا. يمكن للقارئ أن يتحقق بشكل مستقل من القاصرين الآخرين من الدرجة الثانية الأساسيين وأيهم ليسوا كذلك.

نظرًا لأنه يمكن إضافة أعمدة (صفوف) المصفوفة ، مضروبة في الأرقام ، وتشكيل مجموعات خطية ، فمن الممكن تقديم تعريفات للاعتماد الخطي والاستقلال الخطي لنظام الأعمدة (الصفوف) في المصفوفة. تشبه هذه التعريفات نفس التعريفات 10.14 و 10.15 للمتجهات.

التعريف 14.13يُطلق على نظام الأعمدة (الصفوف) اسم يعتمد خطيًا إذا كانت هناك مجموعة من المعاملات ، يكون أحدها على الأقل غير صفري ، بحيث تكون التركيبة الخطية للأعمدة (الصفوف) مع هذه المعاملات مساوية للصفر.

التعريف 14.14يكون نظام الأعمدة (الصفوف) مستقلاً خطيًا إذا كان يتبع من المساواة إلى الصفر لمجموعة خطية من هذه الأعمدة (الصفوف) أن جميع معاملات هذه المجموعة الخطية تساوي الصفر.

الاقتراح التالي ، على غرار الاقتراح 10.6 ، صحيح أيضًا.

العرض 14.25 يعتمد نظام الأعمدة (الصفوف) خطيًا إذا وفقط إذا كان أحد الأعمدة (أحد الصفوف) عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة (الصفوف) الأخرى لهذا النظام.

نصوغ نظرية تسمى النظرية البسيطة الأساسية.

نظرية 14.2 أي عمود في المصفوفة هو مزيج خطي من الأعمدة التي تمر عبر الأساس الثانوي.

يمكن العثور على الدليل في الكتب المدرسية حول الجبر الخطي ، على سبيل المثال ، في ،.

العرض 14.26 ترتيب المصفوفة يساوي الحد الأقصى لعدد أعمدتها التي تشكل نظامًا مستقلًا خطيًا.

دليل - إثبات. دع رتبة المصفوفة تكون. لنأخذ الأعمدة التي تمر عبر الأساس الثانوي. افترض أن هذه الأعمدة تشكل نظامًا تابعًا خطيًا. ثم أحد الأعمدة عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة الأخرى. لذلك ، في الأساس الثانوي ، سيكون أحد الأعمدة مزيجًا خطيًا من الأعمدة الأخرى. من خلال الاقتراحين 14.15 و 14.18 ، يجب أن يكون هذا القاصر الأساسي مساويًا للصفر ، وهو ما يتعارض مع تعريف القاصر الأساسي. لذلك ، فإن الافتراض بأن الأعمدة التي تمر عبر الأساس الثانوي تعتمد خطيًا ليس صحيحًا. لذلك ، فإن الحد الأقصى لعدد الأعمدة التي تشكل نظامًا مستقلًا خطيًا أكبر من أو يساوي.

افترض أن الأعمدة تشكل نظامًا مستقلًا خطيًا. لنصنع منها مصفوفة. جميع القاصرين المصفوفات هم قاصرون في المصفوفة. لذلك ، فإن القاعدة الثانوية للمصفوفة لها ترتيب على الأكثر. وفقًا لنظرية الأساس الثانوية ، فإن العمود الذي لا يمر عبر الأساس الثانوي للمصفوفة هو مزيج خطي من الأعمدة التي تمر عبر الأساس الثانوي ، أي أن أعمدة المصفوفة تشكل نظامًا تابعًا خطيًا. هذا يتعارض مع اختيار الأعمدة التي تشكل المصفوفة. لذلك ، لا يمكن أن يكون الحد الأقصى لعدد الأعمدة التي تشكل نظامًا مستقلًا خطيًا أكبر من. ومن ثم فهو يساوي ، كما ذكر.

العرض 14.27 رتبة المصفوفة تساوي الحد الأقصى لعدد صفوفها التي تشكل نظامًا مستقلًا خطيًا.

دليل - إثبات. حسب الاقتراح 14.24 ، لا تتغير رتبة المصفوفة عند التبديل. تصبح صفوف المصفوفة أعمدتها. الحد الأقصى لعدد الأعمدة الجديدة للمصفوفة المنقولة (الصفوف السابقة للصفوف الأصلية) التي تشكل نظامًا مستقلًا خطيًا يساوي رتبة المصفوفة.

العرض 14.28 إذا كان محدد المصفوفة يساوي صفرًا ، فإن أحد أعمدتها (أحد الصفوف) هو مزيج خطي من الأعمدة المتبقية (الصفوف).

دليل - إثبات. دع ترتيب المصفوفة يكون. المحدد هو الصغرى الوحيد للمصفوفة المربعة التي لها ترتيب. بما أنه يساوي صفرًا ، إذن. لذلك ، فإن نظام الأعمدة (الصفوف) يعتمد خطيًا ، أي أن أحد الأعمدة (أحد الصفوف) عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة الأخرى.

نتائج الاقتراحات 14.15 و 14.18 و 14.28 تعطي النظرية التالية.

نظرية 14.3 محدد المصفوفة هو صفر إذا وفقط إذا كان أحد أعمدتها (أحد الصفوف) عبارة عن تركيبة خطية من الأعمدة الأخرى (الصفوف).

يتطلب العثور على مرتبة المصفوفة عن طريق حساب جميع صغارها الكثير من العمل الحسابي. (يمكن للقارئ التحقق من وجود 36 قاصرًا من الدرجة الثانية في مصفوفة مربعة من الدرجة الرابعة.) لذلك ، يتم استخدام خوارزمية مختلفة للعثور على الرتبة. لوصف ذلك ، مطلوب بعض المعلومات الإضافية.

التعريف 14.15نسمي العمليات التالية عليها تحولات أولية للمصفوفات:

1) تبديل الصفوف أو الأعمدة ؛
2) ضرب صف أو عمود بعدد غير صفري ؛
3) إضافة صف آخر إلى أحد الصفوف ، مضروبًا في رقم ، أو إضافة إلى أحد أعمدة عمود آخر ، مضروبًا في رقم.

العرض 14.29 في ظل التحولات الأولية ، لا تتغير رتبة المصفوفة.

دليل - إثبات. دع رتبة المصفوفة تساوي ، - المصفوفة الناتجة عن التحويل الأولي.

ضع في اعتبارك تبديل السلاسل. لنكن قاصرًا في المصفوفة ، عندها تحتوي المصفوفة على قاصر ، والذي إما يتطابق معها أو يختلف عنها بتبديل الصفوف. والعكس صحيح ، يمكن ربط أي مصفوفة ثانوية بمصفوفة ثانوية تتطابق معها أو تختلف عنها في ترتيب الصفوف. لذلك ، انطلاقا من حقيقة أن جميع الأطفال الصغار في المصفوفة يساوي صفرًا ، فإن هذا يعني أن جميع الأطفال الصغار من هذا الترتيب في المصفوفة يساويون صفرًا أيضًا. ونظرًا لأن المصفوفة بها ترتيب ثانوي غير صفري ، فإن المصفوفة لها أيضًا ترتيب ثانوي غير صفري ، أي.

ضع في اعتبارك ضرب سلسلة في عدد غير صفري. يقابل القاصر من المصفوفة قاصرًا من المصفوفة التي تتطابق معها أو تختلف عنها بصف واحد فقط ، والذي يتم الحصول عليه من الصف الثانوي بضربه في رقم غير صفري. في الحالة الأخيرة. في جميع الحالات ، أو تساوي الصفر في نفس الوقت ، أو تختلف في نفس الوقت عن الصفر. بالتالي، .

يترك

أعمدة مصفوفة الأبعاد. تركيبة خطية من أعمدة المصفوفةيسمى مصفوفة العمود ، بينما - تسمى بعض الأرقام الحقيقية أو المركبة معاملات التركيبة الخطية. إذا أخذنا جميع المعاملات في تركيبة خطية تساوي صفرًا ، فإن التركيبة الخطية تساوي مصفوفة العمود الصفري.

تسمى أعمدة المصفوفة مستقل خطيا ، إذا كانت مجموعتهم الخطية تساوي صفرًا فقط عندما تكون جميع معاملات التركيبة الخطية مساوية للصفر. تسمى أعمدة المصفوفة تعتمد خطيا ، إذا كانت هناك مجموعة من الأرقام ، من بينها واحد على الأقل غير صفري ، والمجموعة الخطية من الأعمدة التي تحتوي على هذه المعاملات تساوي الصفر

وبالمثل ، يمكن إعطاء تعريفات الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي لصفوف المصفوفة. فيما يلي ، تمت صياغة جميع النظريات لأعمدة المصفوفة.

نظرية 5

إذا كان هناك صفر بين أعمدة المصفوفة ، فإن أعمدة المصفوفة تعتمد خطيًا.

دليل - إثبات. ضع في اعتبارك تركيبة خطية تكون فيها جميع المعاملات مساوية للصفر لجميع الأعمدة غير الصفرية وواحدة لعمود صفر. إنه يساوي صفرًا ، ومن بين معاملات التركيبة الخطية هناك واحد غير صفري. لذلك ، فإن أعمدة المصفوفة تعتمد خطيًا.

نظرية 6

اذا كان أعمدة المصفوفة خطيًا ، ثم كل شيء تعتمد أعمدة المصفوفة خطيًا.

دليل - إثبات. من أجل التحديد ، سنفترض أن الأعمدة الأولى من المصفوفة تعتمد خطيا. بعد ذلك ، من خلال تعريف التبعية الخطية ، توجد مجموعة من الأرقام ، من بينها واحد على الأقل غير صفري ، والمجموعة الخطية من الأعمدة التي تحتوي على هذه المعاملات تساوي الصفر

قم بتكوين مجموعة خطية من جميع أعمدة المصفوفة ، بما في ذلك الأعمدة المتبقية ذات المعاملات الصفرية

ولكن . لذلك ، فإن جميع أعمدة المصفوفة تعتمد خطيًا.

عاقبة. من بين الأعمدة المستقلة خطيًا في المصفوفة ، تكون أي منها مستقلة خطيًا. (يمكن إثبات هذا التأكيد بسهولة من خلال التناقض).

نظرية 7

لكي تكون أعمدة المصفوفة تابعة خطيًا ، من الضروري والكافي أن يكون عمود مصفوفة واحد على الأقل مزيجًا خطيًا من الأعمدة الأخرى.

دليل - إثبات.

بحاجة إلى.اجعل أعمدة المصفوفة مرتبطة خطيًا ، أي أن هناك مجموعة من الأرقام ، من بينها واحد على الأقل يختلف عن الصفر ، والمجموعة الخطية من الأعمدة التي تحتوي على هذه المعاملات تساوي الصفر

لنفترض ذلك من أجل التحديد. هذا يعني أن العمود الأول عبارة عن مجموعة خطية من الباقي.

قدرة. اجعل عمودًا واحدًا على الأقل من المصفوفة مزيجًا خطيًا من الأعمدة الأخرى ، على سبيل المثال ، أين توجد بعض الأرقام.

بعد ذلك ، فإن التركيبة الخطية للأعمدة تساوي الصفر ، ومن بين أرقام المجموعة الخطية ، واحد على الأقل (لـ) غير صفري.

دع رتبة المصفوفة تكون. يتم استدعاء أي أمر ثانوي غير صفري أساسي . يتم استدعاء الصفوف والأعمدة عند التقاطع التي يوجد بها ثانوي أساسي أساسي .