Što znači e x? Funkcija: domena definicije i domena vrijednosti funkcija. Proširenje niza potencija

Eksponent se označava kao , ili .

Broj e

Osnova stepena eksponenta je broj e. Ovo je iracionalan broj. Približno je jednako
e ≈ 2,718281828459045...

Broj e je određen preko limita niza. Ovo je tzv druga divna granica:
.

Broj e također se može prikazati kao niz:
.

Eksponencijalni graf

Grafikon prikazuje eksponencijal e do stupnja x.
g (x) = e x
Grafikon pokazuje da eksponent monotono raste.

Formule

Osnovne formule su iste kao za eksponencijalnu funkciju s bazom stupnja e.

;
;
;

Izraz eksponencijalne funkcije s proizvoljnom bazom stupnja a kroz eksponencijal:
.

Privatne vrijednosti

Neka y (x) = e x. Zatim
.

Svojstva eksponenta

Eksponent ima svojstva eksponencijalne funkcije s bazom potencija e > 1 .

Domena, skup vrijednosti

Eksponent y (x) = e x definiran za sve x.
Njegova domena definicije:
- ∞ < x + ∞ .
Njegova mnoga značenja:
0 < y < + ∞ .

Ekstremi, povećanje, smanjenje

Eksponencijal je monotono rastuća funkcija, pa nema ekstrema. Njegova glavna svojstva prikazana su u tablici.

Inverzna funkcija

Inverz eksponenta je prirodni logaritam.
;
.

Derivacija eksponenta

Izvedenica e do stupnja x jednak e do stupnja x :
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula >>>

Sastavni

Kompleksni brojevi

Operacije s kompleksnim brojevima izvode se pomoću Eulerove formule:
,
gdje je imaginarna jedinica:
.

Izrazi preko hiperboličkih funkcija

; ;
.

Izrazi koji koriste trigonometrijske funkcije

; ;
;
.

Proširenje niza potencija

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.

vjerojatnost- broj između 0 i 1 koji odražava šanse da će se slučajni događaj dogoditi, gdje je 0 potpuna odsutnost vjerojatnosti da će se događaj dogoditi, a 1 znači da će se dotični događaj sigurno dogoditi.

Vjerojatnost događaja E je broj od do 1.
Zbroj vjerojatnosti događaja koji se međusobno isključuju jednak je 1.

empirijska vjerojatnost- vjerojatnost, koja se izračunava kao relativna učestalost događaja u prošlosti, izdvojena iz analize povijesnih podataka.

Vjerojatnost vrlo rijetkih događaja ne može se izračunati empirijski.

subjektivna vjerojatnost- vjerojatnost koja se temelji na osobnoj subjektivnoj procjeni događaja bez obzira na povijesne podatke. Ulagači koji donose odluke o kupnji i prodaji dionica često djeluju na temelju razmatranja subjektivne vjerojatnosti.

prethodna vjerojatnost -

Šansa je 1 u... (šansa) da će se događaj dogoditi kroz koncept vjerojatnosti. Mogućnost da se događaj dogodi izražava se kroz vjerojatnost na sljedeći način: P/(1-P).

Na primjer, ako je vjerojatnost događaja 0,5, tada je vjerojatnost događaja 1 od 2 jer 0,5/(1-0,5).

Mogućnost da se događaj neće dogoditi izračunava se pomoću formule (1-P)/P

Nedosljedna vjerojatnost- npr. cijena dionica poduzeća A uzima u obzir mogući događaj E 85%, a cijena dionica poduzeća B samo 50%. To se zove nedosljedna vjerojatnost. Prema nizozemskom teoremu o klađenju, nedosljedna vjerojatnost stvara prilike za zaradu.

Bezuvjetna vjerojatnost je odgovor na pitanje "Kolika je vjerojatnost da će se događaj dogoditi?"

Uvjetna vjerojatnost- to je odgovor na pitanje: “Kolika je vjerojatnost događaja A ako se dogodi događaj B.” Uvjetna vjerojatnost se označava kao P(A|B).

Zajednička vjerojatnost- vjerojatnost da će se događaji A i B dogoditi istovremeno. Označava se kao P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Pravilo za zbrajanje vjerojatnosti:

Vjerojatnost da će se dogoditi događaj A ili događaj B je

P (A ili B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Ako se događaji A i B međusobno isključuju, tada

P (A ili B) = P(A) + P(B)

Neovisni događaji- događaji A i B su neovisni ako

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

To jest, to je slijed rezultata gdje je vrijednost vjerojatnosti konstantna od jednog događaja do drugog.
Bacanje novčića je primjer takvog događaja - rezultat svakog sljedećeg bacanja ne ovisi o rezultatu prethodnog.

Zavisni događaji- to su događaji kod kojih vjerojatnost nastanka jednog ovisi o vjerojatnosti nastanka drugog.

Pravilo za množenje vjerojatnosti neovisnih događaja:
Ako su događaji A i B neovisni, tada

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Pravilo ukupne vjerojatnosti:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S i S" su događaji koji se međusobno isključuju

očekivana vrijednost slučajna varijabla je prosjek mogućih ishoda slučajne varijable. Za događaj X, očekivanje je označeno kao E(X).

Recimo da imamo 5 vrijednosti međusobno isključivih događaja s određenom vjerojatnošću (na primjer, prihod tvrtke je bio toliki iznos s takvom vjerojatnošću). Očekivana vrijednost je zbroj svih ishoda pomnožen njihovom vjerojatnošću:

Disperzija slučajne varijable je očekivanje kvadratnih odstupanja slučajne varijable od njezinog očekivanja:

s 2 = E( 2 ) (6)

Uvjetna očekivana vrijednost je očekivana vrijednost slučajne varijable X, pod uvjetom da se događaj S već dogodio.

Opisivanje e kao "konstante približno jednake 2,71828..." je kao da pi nazivamo "iracionalnim brojem približno jednakim 3,1415...". To je nedvojbeno točno, ali poanta nam još uvijek izmiče.

Pi je omjer opsega i promjera, isti za sve krugove. To je temeljna proporcija zajednička svim krugovima i stoga je uključena u izračunavanje opsega, površine, volumena i površine za krugove, kugle, cilindre itd. Pi pokazuje da su sve kružnice povezane, a da ne spominjemo trigonometrijske funkcije izvedene iz kružnica (sinus, kosinus, tangens).

Broj e je osnovni omjer rasta za sve kontinuirano rastuće procese. Broj e omogućuje vam da uzmete jednostavnu stopu rasta (gdje je razlika vidljiva tek na kraju godine) i izračunate komponente ovog pokazatelja, normalnog rasta, u kojem sa svakom nanosekundom (ili čak brže) sve malo raste više.

Broj e uključen je iu sustave eksponencijalnog i stalnog rasta: stanovništvo, radioaktivni raspad, izračun postotaka i mnogi, mnogi drugi. Čak i sustavi stupnjeva koji ne rastu ravnomjerno mogu se aproksimirati pomoću broja e.

Baš kao što se bilo koji broj može smatrati "razmjernom" verzijom 1 (osnovne jedinice), bilo koji krug se može smatrati "razmjernom" verzijom jedinične kružnice (s radijusom 1). I bilo koji faktor rasta može se promatrati kao "skalirana" verzija e (faktor rasta "jedinica").

Dakle, broj e nije nasumično uzet broj. Broj e utjelovljuje ideju da su svi kontinuirano rastući sustavi skalirane verzije iste metrike.

Koncept eksponencijalnog rasta

Počnimo s pregledom osnovni sustav, koji dvostruki na određeno vrijeme. Na primjer:

• Bakterije se dijele i "udvostručuju" svoj broj svaka 24 sata
• Duplo više jufki dobijemo ako ih prepolovimo
• Vaš se novac udvostručuje svake godine ako ostvarite 100% profit (sretno!)

I izgleda otprilike ovako:

Dijeljenje s dva ili udvostručenje je vrlo jednostavan napredak. Naravno, možemo utrostručiti ili učetverostručiti, ali udvostručenje je zgodnije za objašnjenje.

Matematički gledano, ako imamo x podjela, završit ćemo s 2^x puta više dobra nego što smo počeli. Ako se napravi samo 1 particija, dobit ćemo 2^1 puta više. Ako postoje 4 particije, dobivamo 2^4=16 dijelova. Opća formula izgleda ovako:

visina= 2 x

Drugim riječima, udvostručenje je povećanje od 100%. Ovu formulu možemo prepisati ovako:

visina= (1+100%) x

Ovo je ista jednakost, samo smo "2" podijelili na sastavne dijelove, što je u biti ovaj broj: početna vrijednost(1) plus 100%. Pametno, zar ne?

Naravno, možemo zamijeniti bilo koji drugi broj (50%, 25%, 200%) umjesto 100% i dobiti formulu rasta za ovaj novi koeficijent. Opća formula za x razdoblja vremenske serije bit će:

visina = (1+rast) x

To jednostavno znači da koristimo stopu povrata, (1 + dobit), "x" puta zaredom.

Pogledajmo pobliže

Naša formula pretpostavlja da se rast odvija u diskretnim koracima. Naše bakterije čekaju i čekaju, a onda bam!, au zadnjem trenutku se udvostruče. Naša dobit od kamata na depozit se magično pojavljuje točno nakon 1 godine. Na temelju gore napisane formule, profit raste u koracima. Zelene točkice se pojavljuju iznenada.

Ali svijet nije uvijek takav. Ako povećamo, možemo vidjeti da se naši prijatelji bakterije neprestano dijele:

Zeleni tip ne nastaje ni iz čega: on polako izrasta iz plavog roditelja. Nakon 1 vremenskog perioda (u našem slučaju 24 sata), zeleni prijatelj je već potpuno zreo. Nakon što je sazrio, on postaje punopravni plavi član krda i može sam stvarati nove zelene stanice.

Hoće li ova informacija na bilo koji način promijeniti našu jednadžbu?

Ne. U slučaju bakterija, napola formirane zelene stanice još uvijek ne mogu ništa dok ne odrastu i potpuno se odvoje od svojih plavih roditelja. Dakle, jednadžba je točna.

Iako se ova veza na prvi pogled čini potpuno neočitom (znanstvena matematika je, čini se, jedno, a ekonomija i financije nešto sasvim drugo), ali kada proučite povijest “otkrića” ovog broja, sve postaje očito. Zapravo, bez obzira na to kako se znanosti dijele na različite naizgled nepovezane grane, opća paradigma će i dalje biti ista (osobito za potrošačko društvo - “potrošačka” matematika).

Počnimo s definicijom. e je baza prirodnog logaritma, matematička konstanta, iracionalan i transcendentan broj. Ponekad se broj e naziva Eulerov broj ili Napierov broj. Označava se malim latiničnim slovom "e".

Budući da je eksponencijalna funkcija e^x integrirana i diferencirana "u sebe", logaritmi temeljeni na bazi e prihvaćaju se kao prirodni (iako bi sam naziv "prirodnosti" trebao biti pod velikom sumnjom, jer se sva matematika u biti temelji na umjetno izmišljenim one, odvojene od prirodnih fiktivnih principa, a nikako na prirodnim).

Ovaj broj se ponekad naziva Nepier u čast škotskog znanstvenika Napiera, autora djela "Opis nevjerojatne tablice logaritama" (1614.). Međutim, ovaj naziv nije sasvim točan, jer Napier nije izravno koristio sam broj.

Konstanta se prvi put prešutno pojavljuje u dodatku engleskom prijevodu Napierovog gore spomenutog djela, objavljenog 1618. Iza kulisa, jer sadrži samo tablicu prirodnih logaritama određenih iz KINEMATIČKIH razmatranja, ali sama konstanta nije prisutna.

Samu konstantu prvi je izračunao švicarski matematičar Bernoulli (prema službena verzija 1690.) u tijeku rješavanja problema granične vrijednosti PRIHODA OD KAMATA. Otkrio je da ako je početni iznos 1 USD (valuta je potpuno nevažna) i složen 100% godišnje jednom na kraju godine, tada ukupni iznos iznosit će 2 dolara. Ali ako se ista kamata obračunava dvaput godišnje, tada se 1 USD množi s 1,5 dva puta, što rezultira 1,00 USD x 1,5² = 2,25 USD. Tromjesečni tromjesečni rezultat iznosi 1,00 USD x 1,254 = 2,44140625 USD, i tako dalje. Bernoulli je pokazao da ako se učestalost obračuna kamata BESKONAČNO POVEĆUJE, tada prihod od kamata u slučaju složenih kamata ima granicu - a ta je granica jednaka 2,71828...

1,00 USD×(1+1/12)12 = 2,613035 USD…

$1.00×(1+1/365)365 = $2.714568… - u ograničenju broj e

Dakle, broj e zapravo povijesno znači najveću moguću GODIŠNJU DOBIT od 100% godišnje i maksimalnu učestalost kapitalizacije kamata. I kakve veze imaju zakoni svemira s tim? Broj e jedan je od važnih gradivnih blokova u temelju monetarne ekonomije kreditnih kamata u potrošačkom društvu, pod kojim je od samog početka, čak i na mentalno-filozofskoj razini, sva matematika koja se danas koristi bila prilagođena i izoštrena nekoliko stoljeća. prije.

Prva poznata upotreba ove konstante, gdje je bila označena slovom b, pojavljuje se u Leibnizovim pismima Huygensu, 1690-1691.

Euler je počeo koristiti slovo e 1727. godine, ono se prvi put pojavljuje u Eulerovom pismu njemačkom matematičaru Goldbachu od 25. studenog 1731. godine, a prva objava s ovim slovom bilo je njegovo djelo “Mehanika, ili znanost o gibanju, objašnjena analitički ,” 1736. Prema tome, e se obično naziva Eulerovim brojem. Iako su neki znanstvenici kasnije koristili slovo c, slovo e se koristilo češće i danas je standardna oznaka.

Ne zna se točno zašto je odabrano slovo e. Možda je to zbog činjenice da riječ eksponencijalno ("indikativno", "eksponencijalno") počinje s njom. Drugi prijedlog je da su slova a, b, c i d već bila u prilično uobičajenoj upotrebi u druge svrhe, a e je bilo prvo "slobodno" slovo. Također je vrijedno pažnje da je slovo e prvo slovo u prezimenu Euler.

Ali u svakom slučaju, reći da je broj e na neki način povezan s univerzalnim zakonima svemira i prirode jednostavno je apsurdno. Taj je broj već samim pojmom u početku bio vezan za kreditno-financijski monetarni sustav, a posebno je kroz ovaj broj (ali ne samo) ideologija kreditno-financijskog sustava neizravno utjecala na formiranje i razvoj sve ostale matematike, te kroz nju sve druge znanosti (uostalom, bez iznimke, znanost izračunava nešto koristeći se pravilima i pristupima matematike). Broj e ima važnu ulogu u diferencijalnom i integralnom računu, koji je kroz njega zapravo i povezan s ideologijom i filozofijom maksimiziranja kamatnog prihoda (moglo bi se čak reći da je povezan podsvjesno). Kako je povezan prirodni logaritam? Uspostavljanje e kao konstante (uz sve ostalo) dovelo je do stvaranja implicitnih veza u razmišljanju, prema kojima sva postojeća matematika jednostavno ne može postojati izolirana od monetarnog sustava! I u tom svjetlu uopće ne čudi da su se stari Slaveni (i ne samo oni) savršeno dobro snalazili bez konstanti, iracionalnih i transcendentalnih brojeva, pa čak i bez brojeva i brojeva uopće (slova su u antičko doba bila brojevi), drugačija logika, drugačije razmišljanje u sustavu u nedostatku novca (pa samim time i svega što je povezano s tim) čini sve navedeno jednostavno nepotrebnim.

Svaka od funkcija E testira navedenu vrijednost i vraća TRUE ili FALSE ovisno o rezultatu. Na primjer, funkcija PRAZAN vraća Booleovu vrijednost TRUE ako je vrijednost koja se testira referenca na praznu ćeliju; inače se vraća booleova vrijednost FALSE.

Funkcije E koriste se za dobivanje informacija o vrijednosti prije izvođenja izračuna ili druge radnje na njoj. Na primjer, možete upotrijebiti ovu funkciju da biste izvršili drugu radnju kada se pojavi pogreška POGREŠKA u kombinaciji s funkcijom AKO:

= AKO( GREŠKA(A1); "Došlo je do pogreške."; A1*2)

Ova formula provjerava pogrešku u ćeliji A1. Kada se pojavi pogreška, funkcija AKO vraća poruku "Došlo je do pogreške." Ako nema grešaka, funkcija AKO izračunava umnožak A1*2.

Sintaksa

EMPTY(vrijednost)

EOS(vrijednost)

POGREŠKA(vrijednost)

ELOGIC(vrijednost)

UNM(vrijednost)

NETTEXT(vrijednost)

ETEXT(vrijednost)

argument funkcije E opisani su u nastavku.

značenje Potreban argument. Vrijednost koja se provjerava. Vrijednost ovog argumenta može biti prazna ćelija, vrijednost pogreške, Booleova vrijednost, tekst, broj, referenca na bilo koji od navedenih objekata ili naziv takvog objekta.

Bilješke

Argumenti u funkcijama E nisu pretvoreni. Svi brojevi u navodnicima tretiraju se kao tekst. Na primjer, u većini drugih funkcija koje zahtijevaju numerički argument, tekstualna vrijednost "19" pretvara se u broj 19. Međutim, u formuli ISNUMBER("19") ova vrijednost se ne pretvara iz teksta u broj, a funkcija JE BROJ vraća FALSE.

Korištenje funkcija E Prikladno je provjeriti rezultate izračuna u formulama. Kombinirajući ove značajke s funkcijom AKO, možete pronaći pogreške u formulama (pogledajte primjere u nastavku).

Primjeri

Primjer 1

Kopirajte uzorke podataka iz sljedeće tablice i zalijepite ih u ćeliju A1 nove Excel list. Za prikaz rezultata formula, odaberite ih i pritisnite F2, zatim pritisnite Enter. Ako je potrebno, promijenite širinu stupaca kako biste vidjeli sve podatke.

Kopirajte uzorke podataka iz donje tablice i zalijepite ih u ćeliju A1 novog radnog lista programa Excel. Za prikaz rezultata formula, odaberite ih i pritisnite F2, zatim pritisnite Enter. Ako je potrebno, promijenite širinu stupaca kako biste vidjeli sve podatke.