Pronalaženje jezgre slike linearnog operatora. Formiranje matrice cjelovite slike s odvojenom percepcijom elemenata složenog objekta. Opća teorija sustava linearnih jednadžbi. Heterogeni sustavi

Promjena koordinata vektora i matrice operatora tijekom prijelaza na novu bazu

Neka linearni operator djeluje iz prostora u sebe i neka su odabrane dvije baze u linearnom prostoru: i Rastavimo “nove” bazične vektore na linearne kombinacije “starih” bazičnih vektora:

Matrix stoji ovdje čiji je stupac koordinatni stupac vektora baze u “staroj” bazi naziva se matrica prijelaza iz “stare” baze u “novu”“. Ako su sada koordinate vektora u “staroj” bazi, a koordinate istog vektora u “novoj” bazi, tada vrijedi jednakost

Kako je proširenje u smislu baze jedinstveno, slijedi da

Dobije se sljedeći rezultat.

Teorem 1.Koordinate vektora u bazi i koordinate istog vektora u bazi povezane su relacijama (2), gdje je matrica prijelaza iz “stare” baze u “novu”.

Pogledajmo sada kako su matrice i isti operator međusobno povezani u različitim bazama i prostorima Matrice i definirane su jednakostima. Neka je ova jednakost u bazi ekvivalentna jednakosti matrica

a u bazi na matričnu jednakost (ovdje se koristi ista oznaka kao u (1)). Koristeći teorem (1), imat ćemo

budući da je stupac proizvoljan, odavde dobivamo jednakost

Sljedeći rezultat je dokazan.

Teorem 2.Ako je matrica operatora u bazi i matrica istog operatora u bazi zatim

Napomena 1. Dvije proizvoljne matrice i povezane time gdje je neka nesingularna matrica nazivaju se sličnim matricama. Dakle, dvije matrice istog operatora u različitim bazama su slične.

Primjer 1 Operatorska matrica u bazi ima oblik

Nađi matricu ovog operatora u bazi. Izračunaj koordinate vektora u bazi

Odluka. Matrica prijelaza sa stare baze na novu i njena inverzna matrica imaju oblik

stoga će prema teoremu 2 matrica operatora i nove baze biti sljedeća:

Napomena 2. Ovaj se rezultat može generalizirati na operatore koji djeluju iz jednog linearnog prostora u drugi. Neka operator djeluje iz linearnog prostora u drugi linearni prostor i neka su u prostoru odabrane dvije baze: i i u prostoru - dvije baze i Tada možemo sastaviti dvije matrice i od linearnog operatora

i dvije matrice i prijelazi sa “starih” baza na “nove”:

Lako je pokazati da je u ovom slučaju jednakost

Neka je dan linearni operator koji djeluje iz linearnog prostora u linearni prostor. Sljedeći koncepti korisni su u rješavanju linearnih jednadžbi.

Definicija 1. operatorska jezgra naziva se skup

Operatorski način naziva se skup

Lako je dokazati sljedeću tvrdnju.

Teorem 3.Jezgra i slika linearnog operatora su linearni podprostori prostora i, respektivno, i jednakosti

Za izračun jezgre operatora potrebno je jednadžbu napisati u matričnom obliku (odabirom baza u razmacima i redom) i riješiti odgovarajući algebarski sustav jednadžbi. Objasnimo sada kako se može izračunati slika operatora.

Neka matrica operatora bude u bazama i Označimo s -ti stupac matrice. je element prostora linearnih kombinacija stupaca matrice. Nakon što smo odabrali bazu u tom prostoru (na primjer, maksimalni skup linearno neovisnih stupaca matrice), prvo izračunamo sliku matrični operator: i zatim izgradite sliku operatora:

Navedimo primjer izračuna jezgre i slike operatora koji djeluje iz prostora u sebe. U ovom slučaju, baze i podudaraju se.

Primjer 2 Pronađite matricu, jezgru i sliku operatora projekcije na ravninu (trodimenzionalni prostor geometrijskih vektora).

Odluka. Odaberemo neku bazu u prostoru (npr. standardnu ​​bazu). U ovoj bazi se matrica operatora projekcije nalazi iz jednakosti Nađi slike baznih vektora. Budući da ravnina prolazi kroz os, tada

Tako,

Dakle, matrica operatora ima oblik

Jezgra matričnog operatora izračunava se iz jednadžbe

Tako,

(proizvoljna konstanta).

Slika matričnog operatora prevučena je preko svih linearno nezavisnih stupaca matrice, tj.

(proizvoljne konstante).

1

Pojašnjenje principa integracije diskretnih informacija s odvojenom percepcijom elemenata složeni objekt je važan interdisciplinarni problem. U članku se govori o procesu izgradnje slike objekta, koji je kompleks blokova, od kojih svaki kombinira skup malih elemenata. Kao predmet proučavanja odabrana je konfliktna situacija, budući da je dosljedno bila u polju pozornosti s nepromijenjenom strategijom analize informacija. Okolnosti situacije bile su sastavni dijelovi objekta i zasebno su percipirane kao prototipovi sukoba. Zadatak ovog rada bio je matematički izraziti matricu koja odražava sliku problematične situacije ponašanja. Rješenje problema temeljilo se na podacima vizualne analize dizajna grafičke kompozicije čiji su elementi odgovarali situacijskim okolnostima. Veličina i grafičke značajke odabrani elementi, kao i njihov raspored u kompoziciji, poslužili su kao smjernica za isticanje redaka i stupaca u slikovnoj matrici. Studija je pokazala da je dizajn matrice određen, prvo, motivacijom ponašanja, drugo, uzročno-posljedičnim odnosima situacijskih elemenata i slijedom dobivanja informacija, i, treće, raspodjelom fragmenata informacija. u skladu s njihovim težinskim parametrima. Može se pretpostaviti da su navedeni matrični vektorski principi oblikovanja slike situacije ponašanja tipični za konstrukciju slika i drugih objekata na koje se usmjerava pozornost.

vizualizacija

percepcija

diskretnost informacija

1. Anohin P.K. Ogledi o fiziologiji funkcionalnih sustava. – M.: Medicina, 1985. – 444 str.

2. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Linearna algebra: udžbenik za sveučilišta. – 6. izd. – M.: Fizmatlit, 2004. -280 str.

3. Lavrov V.V. Mozak i psiha. - St. Petersburg: RGPU, 1996. - 156 str.

4. Lavrov V.V., Lavrova N.M. Utjecaj agresije na cjelovitost, cjelovitost, vrijednost i subjektivnost slike konfliktne situacije // Kognitivna psihologija: interdisciplinarna istraživanja i integrativne prakse. - St. Petersburg: VVM, 2015. - S. 342-347.

5. Lavrov V.V., Rudinski A.V. Trijada strategija obrade informacija u prepoznavanju nepotpunih vizualnih slika // Fundamentalna istraživanja. - 2014 - broj 6 (2). - S. 375-380.

6. Lavrova N.M., Lavrov V.V., Lavrov N.V. Medijacija: donošenje odgovornih odluka. - M: OPPL, 2013. - 224 str.

7. Shelepin Yu.E., Chikhman V.N., Foreman N. Analiza istraživanja percepcije fragmentiranih slika - integralna percepcija i percepcija informativnim značajkama // Russian Journal of Physiology. 2008. - T. 94. br. 7. - S. 758-776.

Rezultati istraživanja o percepciji nepotpunih slika proširili su perspektivu proučavanja principa koji određuju integraciju diskretnih informacija i montažu cjelovitih slika. Analiza značajki prepoznavanja fragmentiranih slika nakon prezentacije promjenjivog broja fragmenata omogućila je uočavanje triju strategija za izgradnju cjelovite slike u uvjetima nedostatka informacija. Strategije su se razlikovale u procjeni značaja raspoloživih dijelova informacija za formiranje cjelovite slike. Drugim riječima, svaku strategiju karakterizirala je manipulacija težinskim parametrima dostupnih informacija. Prva strategija predviđala je ekvivalentnost fragmenata slike - njihova identifikacija je provedena nakon akumulacije informacija do razine dovoljne za potpuni prikaz prezentiranog objekta. Druga se strategija temeljila na diferenciranom pristupu ocjenjivanju težine dostupnih informacija. Ocjena je dana u skladu s postavljenom hipotezom o biti predmeta. Treća strategija određena je motivacijom za maksimalnim korištenjem dostupnih informacija, kojima se pridavala velika težina i smatrala se znakom ili prototipom stvarnog objekta. Važna točka u prethodno obavljenom radu bilo je razmatranje moždanih mehanizama koji osiguravaju promjenu strategija ovisno o dominantnoj emociji i motivaciji ponašanja. To se odnosi na nespecifične sustave mozga i heterogenost neuronskih modula koji djeluju pod kontrolom središnje kontrole. Provedena istraživanja, kao i ona koja su poznata iz literarnih izvora, ostavila su otvorenim pitanje principa distribucije informacija u cjelini slike. Za odgovor na postavljeno pitanje bilo je potrebno promatrati formiranje slike predmeta na koji je pažnja usmjerena dulje vrijeme, a odabrana strategija konstruiranja slike ostaje nepromijenjena. Kao takav objekt mogla bi poslužiti konfliktna situacija, koja je dosljedno bila u polju pozornosti uz nepromijenjenu drugu strategiju analize okolnosti. Zavađene strane su odbacile prvu strategiju zbog produljenja trajanja sukoba, a nisu primijenile treću strategiju, izbjegavajući pogrešne odluke.

Cilj Ovaj se rad sastojao u razjašnjavanju principa izgradnje matrice slike na temelju elemenata informacija dobivenih tijekom odvojene percepcije komponenti složenog objekta, na koji je bila usmjerena pozornost. Odlučio sljedeće zadatke: prvo, odabrali smo objekt na koji je pažnja bila stabilno usredotočena dulje vrijeme, drugo, upotrijebili smo metodu vizualizacije slike kako bismo pratili fragmentaciju informacija dobivenih tijekom percepcije objekta, a zatim, treće, formulirali principe cijela raspodjela fragmenata u matrici .

Materijali i metode istraživanja

Problematična bihevioralna situacija poslužila je kao višekomponentni objekt koji je postojano u polju pažnje s nepromijenjenom strategijom analize dostupnih informacija. Problem je nastao zbog sukoba u odnosima članova obitelji, ali i zaposlenika u proizvodnji i obrazovne ustanove. Eksperimenti u kojima je provedena analiza slike situacije prethodili su medijaciji s ciljem rješavanja proturječja između spornih strana. Prije početka medijacijskih pregovora, predstavnici spornih strana dobili su ponudu da kao subjekti sudjeluju u eksperimentima koristeći tehniku ​​koja olakšava analizu situacije. Tehnika vizualizacije omogućila je konstrukciju grafičke kompozicije koja odražava konstrukciju slike koja je nastala tijekom zasebne percepcije komponenti složenog objekta. Tehnika je služila kao alat za proučavanje procesa oblikovanja cjelovite slike iz skupa elemenata koji odgovaraju detaljima predmeta. Skupinu ispitanika činilo je 19 žena i 8 muškaraca u dobi od 28 do 65 godina. Da bi se dobila cjelovita vizualna slika situacije, od ispitanika se tražilo da izvrše sljedeće radnje: 1) obnoviti u sjećanju okolnosti konfliktne situacije - događaje, odnose s ljudima, motive vlastitog ponašanja i onih oko njih; 2) procijeniti okolnosti prema njihovom značaju za razumijevanje suštine situacije; 3) podijeliti okolnosti na povoljne i nepovoljne za rješavanje sukoba i pokušati pratiti njihov odnos; 4) odaberite prikladan, po vašem mišljenju, grafički element (krug, kvadrat, trokut, crta ili točka) za svaku od okolnosti koje karakteriziraju situaciju; 5) oblikovati kompoziciju od grafičkih elemenata, vodeći računa o značaju i međuodnosu okolnosti koje ti elementi prenose, te tako dobivenu kompoziciju nacrtati na papiru. Analizirane su grafičke kompozicije – ocjenjivan je poredak i omjer veličina elemenata slike. Nasumične nesređene kompozicije su odbijene, a ispitanici su zamoljeni da preispitaju odnos situacijskih okolnosti. Rezultati generalizirane analize kompozicije poslužili su kao smjernica za formuliranje matematičkog izraza matrice slike.

Rezultati istraživanja i rasprava

Svaka grafička kompozicija, kojom je ispitanik prikazao konstrukciju slike situacije ponašanja, bila je originalna. Primjeri sastava ilustrirani su na slici.

Grafički sastavi koji odražavaju slike problematičnih situacija ponašanja u kojima su se nalazili subjekti (svaki element sastava odgovara situacijskim okolnostima)

Jedinstvenost kompozicija svjedoči o odgovornom pristupu ispitanika analizi situacija, uzimajući u obzir njihove posebnosti. Broj elemenata u kompoziciji i dimenzija elemenata, kao i dizajn kompozicije, odražavali su procjenu spleta okolnosti.

Nakon što je uočena originalnost kompozicija, studija se okrenula identificiranju temeljnih značajki dizajna slike. U nastojanju da se izgradi cjelovita kompozicija koja odražava sliku situacije, ispitanici su rasporedili elemente u skladu sa svojim individualnim preferencijama, kao i uzimajući u obzir uzročno-posljedične veze okolnosti i splet okolnosti tijekom vremena. . Sedam ispitanika preferiralo je sastaviti kompoziciju u obliku slike, čija je konstrukcija određena unaprijed sastavljenim figurativnim planom. Na sl. 1 (a, b, d) navedeni su primjeri takvih sastava. Prije sastavljanja kompozicije, dva su subjekta svjesno odabrala ideju na kojoj se temelji plan, a pet intuitivno, bez davanja logičnog objašnjenja zašto su se zaustavili na odabranoj opciji. Preostalih dvadeset ispitanika izradilo je shematski sastav, obraćajući pozornost samo na uzročno-posljedične odnose okolnosti i splet okolnosti tijekom vremena (slika 1, c, e, f). U sastavu su spojene okolnosti povezane i vremenski podudarne. U eksperimentima, interpretacija suštine sukoba nije provedena pomoću podataka grafičke kompozicije. Takvo tumačenje naknadno je provedeno u okviru medijacije, kada je utvrđena spremnost stranaka na pregovore.

Analiza kompozicija omogućila je praćenje ne samo razlike, već i univerzalnosti načela formiranja slike situacije. Prvo, kompozicije su se sastojale od grafičkih elemenata, od kojih je svaki odražavao okolnosti koje su imale zajedništvo. Općenitost okolnosti nastala je zbog uzročno-posljedičnih i vremenskih odnosa. Drugo, okolnosti su bile od nejednakog značaja za razumijevanje suštine problemske situacije. Odnosno, okolnosti su se razlikovale u parametrima težine. Visoko značajne okolnosti prikazane su grafičkim elementima u uvećanoj veličini u odnosu na manje značajne. Uočene značajke slike uzete su u obzir prilikom sastavljanja matrice slike. To znači da su veličina i grafička obilježja odabranih elemenata, kao i njihov prostorni položaj u grafičkoj kompoziciji, poslužili kao smjernica za izgradnju informacijske matrice koja je odražavala sliku situacije i bila njezin matematički model. Pravokutna matrica predstavljena kao tablica podijeljena je na retke i stupce. U odnosu na formiranu sliku problemske situacije u matrici su se razlikovali redovi u kojima su se nalazili težinski elementi predslika, objedinjeni kauzalnim i vremenskim vezama, te stupci koji su sadržavali elementarne podatke koji su se razlikovali težinskim parametrima.

(1)

Svaka zasebna linija odražavala je formiranje dijela slike ili, drugim riječima, prototipa objekta. Što je više linija i više m, to je objekt bio cjelovitije percipiran, budući da su strukturalna i funkcionalna svojstva koja su mu služila kao prototipovi bila potpunije uzeta u obzir. Broj stupova n određen je brojem detalja zabilježenih tijekom izrade prototipa. Može se pretpostaviti da što je više fragmenata informacija velike i male težine akumulirano, to je prototip potpunije odgovarao stvarnosti. Matricu (1) karakterizirala je dinamičnost, jer se njezina dimenzija mijenjala u skladu s cjelovitošću slike opažanog objekta.

Ovdje je prikladno napomenuti da cjelovitost nije jedini pokazatelj kvalitete slike. Slike predstavljene na platnima umjetnika često gube fotografije u detaljima iu skladu sa stvarnošću, ali u isto vrijeme mogu nadmašiti u povezivanju s drugim slikama, u pobuđivanju mašte i izazivanju emocija. Ova napomena pomaže razumjeti značaj amn parametara, koji označavaju težinu fragmenata informacija. Povećanje težine nadoknadilo je nedostatak dostupnih podataka. Kako je pokazalo istraživanje strategija prevladavanja neizvjesnosti, prepoznavanje velike važnosti dostupnih informacija ubrzalo je donošenje odluka u problemskoj situaciji.

Dakle, proces formiranja cjelovite slike možemo protumačiti ako ga povežemo s manipulacijom informacijama u okviru matrice. Manipulacija se izražava proizvoljnom ili nevoljnom (svjesnom svrhovitom ili intuitivno nesvjesnom) promjenom težinskih parametara fragmenata informacija, odnosno promjenom vrijednosti amn. U tom se slučaju povećava ili smanjuje vrijednost bm, koja karakterizira značaj prototipa, a rezultirajuća slika br istodobno se mijenja. Ako se okrenemo matričnom modelu formiranja slike koja pokriva skup podataka o objektu, tada se organizacija slike opisuje na sljedeći način. Označimo vektor praslika koji sadrži m komponenti sa

gdje je T znak transpozicije, a svaki element vektora praslika ima oblik:

Tada se izbor rezultirajuće slike može izvesti prema Laplaceovom pravilu:

gdje je br konačni rezultat formiranja integralne slike, koja ima vrijednosti bm kao svoje komponente, amn je skup vrijednosti koje određuju položaj i parametre težine varijable u retku koji odgovara predslici . U uvjetima ograničene informacije krajnji rezultat se može povećati povećanjem težine dostupnih podataka.

Na kraju razmatranja izloženog materijala o principima oblikovanja slike, skreće se pozornost na potrebu preciziranja pojma „slika“, budući da u literaturi ne postoji općeprihvaćeno tumačenje. Pojam, prije svega, označava formiranje cjelovitog sustava fragmenata informacija koji odgovaraju detaljima objekta u polju pažnje. Štoviše, veliki detalji objekta odražavaju se podsustavima fragmenata informacija koji čine prototipove. Objekt, pojava, proces, kao i situacija ponašanja mogu djelovati kao objekt. Formiranje slike osiguravaju asocijacije primljenih informacija i onih koje su sadržane u sjećanju i povezane su s percipiranim objektom. Konsolidacija fragmenata informacija i asocijacija pri stvaranju slike provodi se unutar matrice, čiji se dizajn i vektor biraju svjesno ili intuitivno. Izbor ovisi o preferencijama koje daju motivacije ponašanja. Ovdje se posebna pozornost privlači temeljnoj točki - diskretnosti informacija koje se koriste za montiranje cijele matrice slike. Cjelovitost, kao što je prikazano, osiguravaju nespecifični moždani sustavi koji kontroliraju procese analize primljenih informacija i njihove integracije u pamćenje. Cjelovitost se može pojaviti pri minimalnim vrijednostima n i m jednakim jedan. Slika dobiva visoku vrijednost zbog povećanja parametara težine dostupnih informacija, a cjelovitost slike se povećava kako se povećavaju vrijednosti n i m (1).

Zaključak

Vizualizacija elemenata slike omogućila je praćenje principa njezine izgradnje u uvjetima odvojene percepcije okolnosti problematične situacije ponašanja. Kao rezultat provedenog rada pokazalo se da se konstrukcija cjelovite slike može smatrati distribucijom fragmenata informacija u strukturi matrice. Njegov dizajn i vektor određeni su, prvo, motivacijom ponašanja, drugo, uzročno-posljedičnim odnosima okolnosti i vremenskim slijedom dobivanja informacija, i, treće, dodjelom fragmenata informacija u skladu s njihovim težinskim parametrima. Cjelovitost matrice slike osigurana je integracijom diskretnih informacija koje odražavaju percipirani objekt. Nespecifični sustavi mozga čine mehanizam odgovoran za integraciju informacija u koherentnu sliku. Razjašnjavanje matričnih principa formiranja slike složenog objekta proširuje perspektivu razumijevanja prirode ne samo cjelovitosti, već i drugih svojstava slike. To se odnosi na cjelovitost i očuvanje figurativnog sustava, kao i na vrijednost i subjektivnost zbog nedostatka potpuna informacija u vezi objekta.

Bibliografska poveznica

Lavrov V.V., Rudinski A.V. FORMIRANJE MATRICE CJELOVITE SLIKE S ODVOJENIM PERCEPCIJAMA ELEMENATA KOMPLEKSNOG OBJEKTA // International Journal of Applied and Fundamental Research. - 2016. - br. 7-1. – Str. 91-95;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=9764 (datum pristupa: 15.01.2020.). Predstavljamo vam časopise koje izdaje izdavačka kuća "Academy of Natural History"

Definicija 1. Slika linearnog operatora A je skup svih elemenata koji se mogu prikazati kao , gdje je .

Slika linearnog operatora A je linearni podprostor prostora . Njegova dimenzija se zove rang operatera I.

Definicija 2. Jezgra linearnog operatora A je skup svih vektora za koje .

Jezgra je linearni podprostor prostora X. Njegova dimenzija se zove kvar operatera I.

Ako operator A djeluje u -dimenzionalnom prostoru X, tada vrijedi sljedeća relacija + = .

Poziva se operator A nedegeneriran ako je njegova jezgra . Rang nedegeneriranog operatora jednak je dimenziji prostora X.

Neka je - matrica linearne transformacije A prostora X u nekoj bazi, tada su koordinate slike i praslike povezane relacijom

Dakle, koordinate bilo kojeg vektora zadovoljavaju sustav jednadžbi

Iz toga slijedi da je jezgra linearnog operatora linearna ovojnica temeljnog sustava rješenja tog sustava.

Zadaci

1. Dokažite da je rang operatora jednak rangu njegove matrice u proizvoljnoj bazi.

Izračunajte jezgre linearnih operatora danih u nekoj bazi prostora X pomoću sljedećih matrica:

5. Dokažite da .

Izračunajte rang i defekt operatora danih sljedećim matricama:

6. . 7. . 8. .

3. SVOJI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI LINEARNOG OPERATORA

Razmotrimo linearni operator A koji djeluje u dimenzionalnom prostoru X.

Definicija. Broj l se naziva svojstvena vrijednost operatora A if , takva da je . U tom slučaju vektor se naziva svojstvenim vektorom operatora A.

Najvažnije svojstvo svojstvenih vektora linearnog operatora je da svojstveni vektori koji odgovaraju parovima različitih svojstvenih vrijednosti su linearno neovisni.

Ako je matrica linearnog operatora A u bazi prostora X, tada su svojstvene vrijednosti l i svojstveni vektori operatora A definirani na sljedeći način:

1. Svojstvene vrijednosti nalaze se kao korijeni karakteristične jednadžbe (algebarska jednadžba th stupnja):

2. Koordinate svih linearno neovisnih svojstvenih vektora koji odgovaraju svakoj pojedinačnoj svojstvenoj vrijednosti dobivaju se rješavanjem sustava homogenih linearnih jednadžbi:

čija matrica ima rang . Temeljna rješenja ovog sustava su vektor-stupci vlastitih vektorskih koordinata.

Korijeni karakteristične jednadžbe također se nazivaju svojstvenim vrijednostima matrice, a rješenja sustava nazivaju se svojstvenim vektorima matrice.

Primjer. Pronađite svojstvene vektore i svojstvene vrijednosti operatora A zadane u nekoj bazi matricom

1. Za određivanje svojstvenih vrijednosti sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednadžbu:

Otuda svojstvena vrijednost, njezina višestrukost.

2. Za određivanje svojstvenih vektora sastavljamo i rješavamo sustav jednadžbi:

Ekvivalentni sustav osnovnih jednadžbi ima oblik

Stoga je svaki svojstveni vektor vektor stupac, gdje je c proizvoljna konstanta.

3.1 Operator jednostavne strukture.

Definicija. Linearni operator A koji djeluje u n-dimenzionalnom prostoru naziva se operatorom jednostavne strukture ako odgovara točno n linearno neovisnih svojstvenih vektora. U ovom slučaju moguće je konstruirati prostornu bazu od svojstvenih vektora operatora u kojoj matrica operatora ima najjednostavniji dijagonalni oblik

gdje su svojstvene vrijednosti operatora. Očito vrijedi i obrnuto: ako u nekoj bazi prostora X matrica operatora ima dijagonalni oblik, tada se baza sastoji od svojstvenih vektora operatora.

Linearni operator A je operator jednostavne strukture ako i samo ako svaka svojstvena vrijednost višestrukosti odgovara točno linearno neovisnim svojstvenim vektorima. Budući da su svojstveni vektori rješenja sustava jednadžbi, svaki korijen karakteristične jednadžbe višestrukosti mora odgovarati matrici ranga.

Svaka matrica veličine koja odgovara jednostavnom strukturnom operatoru slična je dijagonalnoj matrici

gdje matrica prijelaza T iz izvorne baze u bazu svojstvenih vektora ima svoje stupce vektora stupaca iz koordinata svojstvenih vektora matrice (operator A).

Primjer. Reducirajte matricu linearnog operatora na dijagonalni oblik

Sastavljamo karakterističnu jednadžbu i nalazimo joj korijene.

Odakle vlastite vrijednosti mnogostrukosti i mnogostrukosti.

Prva svojstvena vrijednost. Odgovara vlastitim vektorima čije su koordinate

sustavno rješenje

Rang ovog sustava je 3, tako da postoji samo jedno neovisno rješenje, na primjer, vektor .

Svojstveni vektori koji odgovaraju određeni su sustavom jednadžbi

čiji je rang 1 i stoga postoje tri linearno neovisna rješenja, npr.

Dakle, svaka svojstvena vrijednost mnogostrukosti odgovara točno linearno neovisnim svojstvenim vektorima i stoga je operator operator jednostavne strukture. Prijelazna matrica T ima oblik

a veza između sličnih matrica i određena je relacijom

Zadaci

Pronađite svojstvene vektore i svojstvene vrijednosti

linearni operatori definirani u nekoj bazi matricama:

Odredite koji se od sljedećih linearnih operatora može svesti na dijagonalni oblik prelaskom na novu bazu. Pronađite ovu bazu i njezinu odgovarajuću matricu:

10. Dokažite da su svojstveni vektori linearnog operatora koji odgovaraju različitim svojstvenim vrijednostima linearno neovisni.

11. Dokažite da ako linearni operator A koji djeluje u ima n različitih vrijednosti, tada svaki linearni operator B koji komutira s A ima bazu svojstvenih vektora, a svaki svojstveni vektor A također će biti svojstveni vektor za B.

INVARIJANTNI PODPROSTORI

Definicija 1.. Potprostor L linearnog prostora X naziva se invarijantnim u odnosu na operator A koji djeluje u X ako za svaki vektor njegova slika također pripada .

Glavna svojstva invarijantnih potprostora određena su sljedećim relacijama:

1. Ako su i invarijantni podprostori prema operatoru A, tada su njihov zbroj i presjek također invarijantni prema operatoru A.

2. Ako se prostor X rastavlja u izravni zbroj podprostora i () i invarijantan je pod A, tada je matrica operatora u bazi, koja je unija baza, blok matrica

gdje su kvadratne matrice, 0 je nula matrica.

3. U svakom potprostoru invarijantnom u odnosu na operator A, operator ima barem jedan svojstveni vektor.

Primjer 1 Razmotrimo jezgru nekog operatora A koji djeluje u X. Po definiciji, . Neka bude. Tada , budući da je nulti vektor sadržan u bilo kojem linearnom podprostoru. Stoga je kernel potprostor invarijantan u odnosu na A.

Primjer 2 Neka je u nekoj bazi prostora X operator A zadan matricom definiranom jednadžbom i

5. Dokažite da će svaki potprostor , koji je invarijantan u odnosu na nedegenerirani operator A, također biti invarijantan u odnosu na inverzni operator .

6. Neka linearna transformacija A-dimenzionalnog prostora u bazi ima dijagonalnu matricu s različitim elementima na dijagonali. Pronađite sve potprostore invarijantne pod A i odredite njihov broj.

NA vektorski prostor V preko prilagođenog polja P linearni operator .

Definicija 9.8. jezgra linearni operator  je skup prostornih vektora V, čija je slika nulti vektor. Prihvaćeno oznaka za ovaj skup: Ker, tj.

Ker = {x | (x) = o}.

Teorem 9.7. Jezgra linearnog operatora je potprostor prostora V.

Definicija 9.9. Dimenzija naziva se jezgra linearnog operatora mana linearni operator. dim Ker = d.

Definicija 9.10.put linearni operator  naziva se skup slika prostorni vektori V. Notacija za ovaj skup im, tj. im = {(x) | x V}.

Teorem 9.8. Slika linearni operator je podprostor prostora V.

Definicija 9.11. Dimenzija slika linearnog operatora naziva se rang linearni operator. dim im = r.

Teorem 9.9. Prostor V je izravni zbroj jezgre i slike linearnog operatora definiranog u njoj. Zbroj ranga i defekta linearnog operatora jednak je dimenziji prostora V.

Primjer 9.3. 1) U svemiru R[x] ( 3) pronaći rang i nedostatak operater diferencijacija. Nađite one polinome čija je derivacija jednaka nuli. To su polinomi nultog stupnja, dakle Ker = {f | f = c) i d= 1. Izvodnice polinoma čiji stupanj nije veći od tri čine skup polinoma čiji stupanj nije veći od dva, dakle, im =R[x] ( 2) i r = 3.

2) Ako je linearna operator zadan matricom M(), tada je za pronalazak njegove jezgre potrebno riješiti jednadžba ( x) = oko, koji u obliku matrice izgleda ovako: M()[x] = [oko]. Iz To implicira da je osnova jezgre linearnog operatora temeljni skup rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi s glavnom matricom M(). Sustav generatora slike linearnog operatora čine vektore ( e 1), (e 2), …, (e n). Osnova ovog sustava vektora daje osnovu slike linearnog operatora.

9.6. Reverzibilni linearni operatori

Definicija9.12. Linearno poziva se operator  reverzibilan, ako postoji linearni operater ψ takav što se radi jednakost ψ = ψ = , gdje je  operator identiteta.

Teorem 9.10. Ako je linearna operater  okrenuti, zatim operater ψ jedinstveno definiran i pozvan obrnuti za operator .

U ovom slučaju, operator je inverzan operatoru , označeno  –1.

Teorem 9.11. Linearni operator  je invertibilan ako i samo ako je njegova matrica invertibilna M(), dok M( –1) = (M()) –1 .

Iz ovog teorema slijedi da je rang invertibilnog linearnog operatora jednak dimenzije prostora, a defekt je nula.

Primjer 9.4 1) Utvrdite je li linearna operator  if ( x) = (2x 1 – x 2 , –4x 1 + 2x 2).

Odluka. Sastavimo matricu ovog linearnog operatora: M() = . Jer
= 0 zatim matrica M() je ireverzibilna, što znači da je linearna operater .

2) Pronaći linearni operater, leđa operator  ako (x) = (2x 1 + x 2 , 3x 1 + 2x 2).

Odluka. Matrica ovog linearnog operator jednako M() =
, je reverzibilan, jer | M()| ≠ 0. (M()) –1 =
, pa je  –1 = (2x 1 – x 2 , –3x 1 + 2x 2).