Konstruirajte tablicu istinitosti za funkciju f. Savršeni disjunktivni normalni oblik

Algebra logike

Algebra logike

Algebra logike(Engleski) algebra logike) je jedna od glavnih grana matematičke logike, u kojoj se algebarske metode koriste u logičkim transformacijama.

Utemeljitelj algebre logike je engleski matematičar i logičar J. Boole (1815-1864), koji je svoje logičko učenje temeljio na analogiji između algebre i logike. Zapisivao je svaku tvrdnju koristeći se simbolima jezika koji je razvio i dobivao “jednadžbe”, čija se istinitost ili netočnost mogla dokazati na temelju određenih logičkih zakona, kao što su zakoni komutativnosti, distributivnosti, asocijativnosti itd.

Moderno algebra logike je grana matematičke logike i proučava logičke operacije nad izjavama sa stajališta njihove istinitosne vrijednosti (točno, netočno). Izjave mogu biti istinite, lažne ili sadržavati istinu i laž u različitim omjerima.

Logična izjava je svaka izjavna rečenica za čiji se sadržaj nedvosmisleno može utvrditi da je istinit ili lažan.

Na primjer, "3 puta 3 jednako je 9", "Arkhangelsk je sjeverno od Vologde" su točne izjave, ali "Pet je manje od tri", "Mars je zvijezda" su lažne.

Očito, ne može svaka rečenica biti logična tvrdnja, jer nema uvijek smisla govoriti o njezinoj lažnosti ili istinitosti. Na primjer, izjava "Informatika je zanimljiv predmet" nejasna je i zahtijeva dodatne informacije, a izjava "Za učenika 10-A razreda Ivanova A.A. informatika je zanimljiv predmet", ovisno o interesima Ivanova A.A. , može poprimiti značenje "istinito" ili "laž".

Osim dvovrijedna iskazna algebra, u kojem su prihvaćene samo dvije vrijednosti - "true" i "false", postoji višeznačna iskazna algebra. U takvoj algebri, osim vrijednosti "istinito" i "netočno", koriste se takve vrijednosti istine kao što su "vjerojatno", "moguće", "nemoguće" itd.

U algebri se logika razlikuje jednostavan(osnovno) izjave, označen latiničnim slovima (A, B, C, D, ...), i kompleks(složeni), sastavljen od nekoliko jednostavnih pomoću logičkih veznika, na primjer, kao što je “ne”, “i”, “ili”, “ako i samo tada”, “ako... onda”. Istinitost ili neistinitost složenih iskaza dobivenih na ovaj način određena je značenjem jednostavnih iskaza.

Označimo to kao A tvrdnju "Algebra logike uspješno se primjenjuje u teoriji električnih krugova", i kroz U— “Logička algebra koristi se u sintezi relejnih krugova.”

Zatim se složeni iskaz “Algebra logike uspješno primjenjuje u teoriji električni krugovi i u sintezi relejnih kontaktnih krugova" može se ukratko napisati kao A i B; ovdje je “i” logičan veznik. Očito je da budući da elementarne izjave A i B istinite, tada je složena izjava istinita A i B.

Svaki logički veznik smatra se operacijom nad logičkim iskazima i ima svoje ime i oznaku.

Postoje samo dvije logične vrijednosti: istina istina) I lažno (FALSE). Ovo odgovara digitalnom prikazu − 1 I 0 . Rezultati svake logičke operacije mogu se napisati u obliku tablice. Takve se tablice nazivaju tablicama istine.

Osnovne operacije algebarske logike

1. Logička negacija, inverzija(lat. inverzija- inverzija) je logička operacija, uslijed koje se iz zadane izjave dobiva novi iskaz (npr. A) ne A), koji se zove negacija izvornog iskaza, simbolički je označen crtom iznad ($A↖(-)$) ili konvencijama kao što su ¬, "ne", a glasi: “nije A”, “A je lažno”, “nije istina da je A”, “negacija A”. Na primjer, “Mars je planet Sunčev sustav"(izjava A); “Mars nije planet Sunčevog sustava” ($A↖(-)$); izjava "10 je prost broj" (tvrdnja B) je lažna; Tvrdnja "10 nije prost broj" (tvrdnja B) je istinita.

Operacija koja se koristi na jednoj količini naziva se unarni. Tablica vrijednosti za ovu operaciju izgleda ovako

Izjava $A↖(-)$ je lažna kada je A istinita, i istinita kada je A lažna.

Geometrijski, negacija se može prikazati na sljedeći način: ako je A određeni skup točaka, onda je $A↖(-)$ komplement skupa A, tj. sve točke koje ne pripadaju skupu A.

2.Konjunkcija(lat. conjunctio- veza) - logičko množenje, operacija koja zahtijeva najmanje dvije logičke veličine (operanda) i povezuje dva ili više iskaza veznikom. "I"(Na primjer, "A i B"), što je simbolično označeno znakom ∧ (A ∧ B) i glasi: “A i B.” Sljedeći znakovi također se koriste za označavanje konjunkcije: A ∙ B; A & B, A i B, a ponekad nema znaka između izjava: AB. Primjer logičkog množenja: "Ovaj trokut je jednakokračan i pravokutan." Zadani iskaz može biti istinit samo ako su ispunjena oba uvjeta, inače je iskaz netočan.

Izjava A ∧ U istinita samo ako su obje tvrdnje A I U su istiniti.

Geometrijski se konjunkcija može prikazati na sljedeći način: ako A, B A ∧ U postoji presjek skupova A I U.

3. Disjunkcija(lat. disjunkcija- division) - logično zbrajanje, operacija povezivanja dva ili više iskaza veznikom "ili"(Na primjer, "A ili B"), što je simbolično označeno znakom ∨ (A∨ U) i glasi: "A ili B". Sljedeći znakovi također se koriste za označavanje disjunkcije: A + B; A ili B; A | B. Primjer logičkog zbrajanja: “Broj x je djeljiv s 3 ili 5.” Ova izjava će biti točna ako su ispunjena oba uvjeta ili barem jedan od uvjeta.

Tablica istinitosti operacije ima oblik

Izjava A∨ U je lažna samo kada su obje izjave lažne A I U lažno.

Geometrijski se logično zbrajanje može prikazati na sljedeći način: ako A, B su neki skupovi točaka, dakle A ∨ U je unija skupova A I U, tj. lik koji kombinira i kvadrat i krug.

4. Strogo separativna disjunkcija, zbrajanje po modulu dva- logička operacija koja povezuje dva iskaza veznikom "ili", koji se koristi u isključivom smislu, što se simbolično označava znakovima ∨ ∨ ili ⊕ ( A ∨ ∨ B, A ⊕ U) i glasi: "ili A ili B". Primjer zbrajanja po modulu dva je izjava "Ovaj trokut je tupokutan ili šiljast." Izjava je istinita ako je ispunjen bilo koji od uvjeta.

Tablica istinitosti operacije ima oblik

Tvrdnja A ⊕ B je istinita samo ako tvrdnje A i B imaju različita značenja.

5. implikacija(lat. implisito- closely connect) - logička operacija koja povezuje dva iskaza veznikom "ako tada" u složeni iskaz, što je simbolično označeno znakom → ( A → U) i glasi: “ako A, onda B”, “A implicira B”, “iz A slijedi B”, “A implicira B”. Znak ⊃ (A ⊃ B) također se koristi za označavanje implikacije. Primjer implikacije: "Ako je rezultirajući četverokut kvadrat, tada se oko njega može opisati krug." Ova operacija povezuje dva jednostavna logička izraza od kojih je prvi uvjet, a drugi posljedica. Rezultat operacije je lažan samo kada je premisa istinita, a posljedica lažna. Na primjer, "Ako je 3 * 3 = 9 (A), tada je Sunce planet (B)", rezultat implikacije A → B je pogrešan.

Tablica istinitosti operacije ima oblik

Za operaciju implikacije istinita je izjava da sve može proizaći iz laži, ali samo istina može proizaći iz istine.

6. Ekvivalencija, dvostruka implikacija, ekvivalencija(lat. aequalis- jednaka i valentis- imajući snagu) - logička operacija koja dopušta iz dva iskaza A I U dobiti novi izraz A ≡ B koji glasi: "A je ekvivalentno B". Sljedeći znakovi također se koriste za označavanje jednakosti: ⇔, ∼. Ova se operacija može izraziti veznicima “tada i samo tada”, “potrebno i dovoljno”, “ekvivalentno”. Primjer ekvivalencije je izjava: "Trokut je pravokutan ako i samo ako je jedan od kutova 90 stupnjeva."

Tablica istinitosti operacije ekvivalencije ima oblik

Operacija ekvivalencije je suprotna od zbrajanja po modulu dva i procjenjuje se kao istinita ako i samo ako su vrijednosti varijabli iste.

Poznavajući značenja jednostavnih iskaza, moguće je na temelju tablica istinitosti odrediti značenja složenih iskaza. Važno je znati da su za predstavljanje bilo koje funkcije u logičkoj algebri dovoljne tri operacije: konjunkcija, disjunkcija i negacija.

Prioritet logičkih operacija je sljedeći: negacija ( "Ne") ima najveći prioritet, zatim konjunkcija ( "I"), iza konjunkcije - disjunkcije ( "ili").

Uz pomoć logičkih varijabli i logičkih operacija svaki se logički iskaz može formalizirati, odnosno zamijeniti logičkom formulom. U ovom slučaju, elementarne izjave koje tvore složenu izjavu mogu biti apsolutno nepovezane u značenju, ali to ne ometa određivanje istinitosti ili lažnosti složene izjave. Na primjer, izjava "Ako je pet veće od dva ( A), onda utorak uvijek dolazi nakon ponedjeljka ( U)" - implikacija A→ U, a rezultat operacije u ovom slučaju je "true". U logičkim operacijama ne uzima se u obzir značenje iskaza, već se razmatra samo njihova istinitost ili netočnost.

Razmotrimo, na primjer, konstrukciju složenog iskaza od iskaza A I U, što bi bilo lažno ako i samo ako su obje tvrdnje istinite. U tablici istine za operaciju zbrajanja po modulu dva nalazimo: 1 ⊕ 1 = 0. A izjava bi mogla biti, na primjer, ovakva: "Ova lopta je potpuno crvena ili potpuno plava." Stoga, ako izjava A"Ova lopta je potpuno crvena" je istina i izjava U“Ova lopta je potpuno plava” je istina, onda je složena izjava netočna, jer lopta ne može biti i crvena i plava u isto vrijeme.

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1. Za navedene vrijednosti X odredite vrijednost logičkog iskaza ((X > 3) ∨ (X< 3)) → (X < 4) :

1) X = 1; 2) X = 12; 3) X = 3.

Riješenje. Redoslijed operacija je sljedeći: prvo se izvode operacije usporedbe u zagradama, potom disjunkcija i na kraju operacija implikacije. Operacija disjunkcije ∨ je lažna ako i samo ako su oba operanda lažna. Tablica istine za implikaciju izgleda ovako

Odavde dobivamo:

1) za X = 1:

((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;

2) za X = 12:

((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;

3) za X = 3:

((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.

Primjer 2. Označite skup cjelobrojnih vrijednosti X za koje je izraz ¬((X > 2) → (X > 5)) istinit.

Riješenje. Operacija negacije primjenjuje se na cijeli izraz ((X > 2) → (X > 5)), dakle, kada je izraz ¬((X > 2) → (X > 5)) istinit, izraz ((X > 2) →(X > 5)) je lažno. Stoga je potrebno utvrditi za koje je vrijednosti X izraz ((X > 2) → (X > 5)) lažan. Operacija implikacije poprima vrijednost “lažno” samo u jednom slučaju: kada laž proizlazi iz istine. I to vrijedi samo za X = 3; X = 4; X = 5.

Primjer 3. Za koju je od sljedećih riječi izjava ¬(prvo slovo samoglasnik ∧ treće slovo samoglasnik) ⇔ niz od 4 znaka netočna? 1) assa; 2) kuku; 3) kukuruz; 4) pogreška; 5) snagator.

Riješenje. Razmotrimo redom sve predložene riječi:

1) za riječ assa dobivamo: ¬(1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - tvrdnja je točna;

2) za riječ kuku dobivamo: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - tvrdnja je točna;

3) za riječ kukuruz dobivamo: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 - tvrdnja je netočna;

4) za pogrešku riječi dobivamo: ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 - tvrdnja je točna;

5) za riječ strongman dobivamo: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 - tvrdnja je netočna.

Logički izrazi i njihova transformacija

Pod, ispod logički izraz treba shvatiti kao zapis koji može imati logičku vrijednost "true" ili "false". Uz ovu definiciju, među logičkim izrazima potrebno je razlikovati:

• izrazi koji koriste operacije usporedbe ("veće od", "manje od", "jednako", "nije jednako" itd.) i uzimaju logičke vrijednosti (na primjer, izraz a > b, gdje je a = 5 i b = 7, jednako je vrijednosti "false");
• izravni logički izrazi povezani s logičkim veličinama i logičkim operacijama (na primjer, A ∨ B ∧ C, gdje je A = točno, B = netočno i C = točno).

Booleovi izrazi mogu uključivati ​​funkcije, algebarske operacije, operacije usporedbe i logičke operacije. U ovom slučaju, prioritet radnji je sljedeći:

1. proračun postojećih funkcionalnih ovisnosti;
2. izvođenje algebarskih operacija (prvo množenje i dijeljenje, zatim oduzimanje i zbrajanje);
3. izvođenje operacija usporedbe (nasumičnim redoslijedom);
4. izvođenje logičkih operacija (prvo se izvode operacije negacije, zatim operacije logičkog množenja, logičkog zbrajanja, a na kraju se izvode operacije implikacije i ekvivalencije).

Booleov izraz može koristiti zagrade koje mijenjaju redoslijed u kojem se operacije izvode.

Primjer. Pronađite značenje izraza:

$1 ≤ a ∨ A ∨ sin(π/a - π/b)< 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b >a + b ∨ A ∧ B)$ za a = 2, b = 3, A = točno, B = netočno.

Riješenje. Redoslijed brojanja vrijednosti:

1) b a + a b > a + b, nakon zamjene dobivamo: 3 2 + 2 3 > 2 + 3, tj. 17 > 2 + 3 = točno;

2) A ∧ B = točno ∧ netočno = netočno.

Stoga je izraz u zagradi (b a + a b > a + b ∨ A ∧ B) = istina ∨ laž = istina;

3) 1≤ a = 1 ≤ 2 = točno;

4) sin(π/a - π/b)< 1 = sin(π/2 - π/3) < 1 = истина.

Nakon ovih izračuna konačno dobivamo: true ∨ A ∧ true ∧ ¬B ∧ ¬ true.

Sada se moraju izvršiti operacije negacije, zatim logičkog množenja i zbrajanja:

5) ¬B = ¬false = true; ¬istinito = lažno;

6) A ∧ true ∧ true ∧ false = true ∧ true ∧ true ∧ false = false;

7) istinito ∨ lažno = istinito.

Dakle, rezultat logičkog izraza za zadane vrijednosti je "istina".

Bilješka. Uzimajući u obzir da je izvorni izraz, u konačnici, zbroj dva člana, a vrijednost jednog od njih je 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = istinito, bez daljnjih izračuna možemo reći da je rezultat za cijeli izraz također “točan ”.

Identične transformacije logičkih izraza

U algebri logike slijede se osnovni zakoni koji dopuštaju identične transformacije logičkih izraza.

Dokazi ovih izjava izrađuju se na temelju konstrukcije tablica istinitosti za odgovarajuće zapise.

Ekvivalentne transformacije logičkih formula imaju istu svrhu kao i transformacije formula u običnoj algebri. Služe za pojednostavljenje formula ili njihovo svođenje na određeni oblik korištenjem osnovnih zakona logičke algebre. Pod, ispod pojednostavljivanje formule, koji ne sadrži operacije implikacije i ekvivalencije, shvaća se kao ekvivalentna transformacija koja vodi do formule koja sadrži ili manji broj operacija ili manji broj varijabli u odnosu na izvornu.

Neke transformacije logičkih formula slične su transformacijama formula u običnoj algebri (izvlačenje zajedničkog faktora iz zagrada, korištenje komutativnih i kombinacijskih zakona itd.), dok se druge transformacije temelje na svojstvima koja operacije obične algebre nemaju ( koristeći distributivni zakon za konjunkciju, zakone apsorpcije, lijepljenja, de Morgana itd.).

Pogledajmo neke primjere tehnika i metoda koje se koriste za pojednostavljenje logičkih formula:

1) X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 ∪ ¬X1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ ¬X1 ∧ X2 = (X1 ∨ ¬X1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2 .

Za transformaciju ovdje, možete primijeniti zakon idempotencije, zakon distribucije; operacija varijable s inverzijom i operacija s konstantom.

2) X1 ∨ X1 ∧ X2 = X1 ∨ (1 ∨ 1 ∧ X2) = X1 ∨ (1 ∨ X2) = X1.

Ovdje se radi jednostavnosti primjenjuje zakon apsorpcije.

3) ¬(X1 ∧ X2) ∨ X2 = (¬X1 ∨ ¬X2) ∨ X2 = ¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X2 = ¬X1 ∨ 1 = 1 .

Pri transformaciji se primjenjuje de Morganovo pravilo, operacija varijable s njezinom inverzijom i operacija s konstantom

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1. Pronađite logički izraz ekvivalentan izrazu A ∧ ¬(¬B ∨ C) .

Riješenje. Primijenimo de Morganovo pravilo za B i C: ¬(¬B ∨ C) = B ∧ ¬C.

Dobivamo izraz ekvivalentan izvornom: A ∧ ¬(¬B ∨ C) = A ∧ B ∧ ¬C .

Odgovor: A ∧ B ∧ ¬C.

Primjer 2. Navedite vrijednost logičkih varijabli A, B, C za koje je vrijednost logičkog izraza (A ∨ B) → (B ∨ ¬C ∨ B) lažna.

Riješenje. Operacija implikacije je lažna samo ako lažna izjava slijedi iz istinite premise. Stoga, za dani izraz, premisa A ∨ B mora biti “istinita”, a posljedica, tj. izraz B ∨ ¬C ∨ B, mora biti “lažna”.

1) A ∨ B — rezultat disjunkcije je "točan" ako je barem jedan od operanda "istinit";

2) B ∨ ¬C ∨ B - izraz je lažan ako svi članovi imaju vrijednost “false”, tj. B je “false”; ¬C je “false” i stoga varijabla C ima vrijednost “true”;

3) ako uzmemo u obzir premisu i uzmemo u obzir da je B "lažan", dobivamo da je vrijednost A "istinita".

Odgovor: A je istina, B je laž, C je istina.

Primjer 3. Koji je najveći cijeli broj X za koji iskaz (35

Riješenje. Zapišimo tablicu istine za operaciju implikacije:

Izraz X< (X - 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.

Odgovor: X = 5.

Korištenje Booleovih izraza za opisivanje geometrijskih područja

Logički izrazi mogu se koristiti za opisivanje geometrijskih regija. U ovom slučaju, zadatak je formuliran na sljedeći način: zapišite za dano geometrijsko područje logički izraz koji uzima vrijednost "true" za vrijednosti x, y ako i samo ako bilo koja točka s koordinatama (x; y) pripada na geometrijsku regiju.

Razmotrimo opis geometrijskog područja pomoću logičkog izraza koristeći primjere.

Primjer 1. Specificirana je slika geometrijskog područja. Napiši logički izraz koji opisuje skup točaka koje mu pripadaju.

1) .

Riješenje. Dano geometrijsko područje može se predstaviti kao skup sljedećih područja: prvo područje - D1 - poluravnina $(x)/(-1) +(y)/(1) ≤ 1$, drugo - D2 - krug sa središtem u ishodištu $x ^2 + y^2 ≤ 1$. Njihovo sjecište D1 $∩$ D2 predstavlja željeno područje.

Proizlaziti: logički izraz $(x)/(-1)+(y)/(1) ≤ 1 ∧ x^2 + y^2 ≤ 1$.

2)

Ovo područje se može napisati na sljedeći način: |x| ≤ 1 ∧ y ≤ 0 ∧ y ≥ -1 .

Bilješka. Pri konstruiranju logičkog izraza koriste se labave nejednakosti, što znači da granice likova također pripadaju osjenčanom području. Ako koristite stroge nejednakosti, tada se granice neće uzeti u obzir. Granice koje ne pripadaju području obično su prikazane isprekidanim linijama.

Možete riješiti obrnuti problem, naime: nacrtati područje za dati logički izraz.

Primjer 2. Nacrtajte i osjenčajte područje za koje je zadovoljen logički uvjet y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y< 2 .

Riješenje. Tražena površina je presjek triju poluravnina. Konstruiramo prave na ravnini (x, y) y = x; y = -x; y = 2. To su granice regije, a posljednja granica y = 2 ne pripada regiji pa je nacrtamo točkasta linija. Da bi bila zadovoljena nejednakost y ≥ x, točke moraju biti lijevo od pravca y = x, a nejednakost y = -x je zadovoljena za točke koje su desno od pravca y = -x. Stanje y< 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:

Korištenje logičkih funkcija za opisivanje električnih krugova

Logičke funkcije vrlo su korisne za opisivanje rada električnih krugova. Dakle, za krug prikazan na slici, gdje je vrijednost varijable X stanje prekidača (ako je uključeno, vrijednost X je "točno", a ako je isključeno, vrijednost je "neistinito" ), ova vrijednost Y je stanje žarulje (ako je uključeno - vrijednost je "točno", a ako nije - "netočno"), logička funkcija bit će napisana ovako: Y = X. Poziva se funkcija Y funkcija vodljivosti.

Za sklop prikazan na sl., logička funkcija Y ima oblik: Y = X1 ∪ X2, jer je dovoljno jedno paljenje da žarulja zasvijetli. U krugu na sl., da bi žarulja zasvijetlila, oba prekidača moraju biti uključena, stoga funkcija vodljivosti ima oblik: Y = X1 ∧ X2.

Za složeniji krug, funkcija vodljivosti će imati oblik: Y = (X11 ∨ (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).

Krug također može sadržavati kontakte kratkog spoja. U ovom slučaju, otvoreni kontakt djeluje kao prekidač koji osigurava da žarulja svijetli kada se tipka otpusti, a ne pritisne. Za takve sklopove rastavljač se opisuje negacijom.

Dvije sheme su tzv ekvivalent, ako struja prolazi kroz jednu od njih onda prolazi i kroz drugu. Od dva ekvivalentna strujna kruga jednostavniji je onaj krug čija funkcija vodljivosti sadrži manji broj elemenata. Zadatak pronalaženja najviše jednostavni sklopovi među jednakima je vrlo važno.

Korištenje aparata logičke algebre u projektiranju logičkih sklopova

Matematika logičke algebre vrlo je korisna za opisivanje funkcioniranja računalnog hardvera. Sve informacije koje se obrađuju na računalu prikazuju se u binarni oblik, tj. kodiran je određenim nizom 0 i 1. Obrada binarnih signala koji odgovaraju 0 i 1 izvodi se u računalu logičkim elementima. Logička vrata koja izvode osnovne logičke operacije I, ILI, NE, prikazani su na sl.

Simboli za logičke elemente su standardni i koriste se pri izradi logičkih sklopova računala. Pomoću ovih sklopova možete implementirati bilo koju logičku funkciju koja opisuje rad računala.

Tehnički, računalni logički element implementiran je u obrazac električni dijagram, što je veza raznih dijelova: dioda, tranzistori, otpornici, kondenzatori. Ulaz logičkog elementa, koji se također naziva i vrata, prima električne signale visoke i niske razine napona, a jedan izlazni signal također se izdaje na visokoj ili niskoj razini. Ove razine odgovaraju jednom od stanja binarnog sustava: 1 - 0; ISTINA JE LAŽ. Svaki logički element ima svoj simbol, koji izražava njegovu logičku funkciju, ali ne označava koju elektronički sklop implementiran u njemu. To olakšava pisanje i razumijevanje složenih logičkih sklopova. Rad logičkih sklopova opisan je pomoću tablica istinitosti. Simbol u dijagramu ILI je znak “1” - od zastarjele oznake disjunkcije kao “>=1” (vrijednost disjunkcije je 1 ako je zbroj dvaju operanda veći ili jednak 1). Znak “&” u AND dijagramu je skraćenica za englesku riječ and.

Elektronički logički sklopovi sastoje se od logičkih elemenata koji izvode složenije logičke operacije. Skup logičkih elemenata koji se sastoji od elemenata NE, ILI, I, uz pomoć kojih možete izgraditi logičku strukturu bilo koje složenosti, naziva se funkcionalno kompletan.

Konstrukcija tablica istinitosti logičkih izraza

Za logičku formulu uvijek možete napisati tablica istine, tj. prikazati zadanu logičku funkciju u tabličnom obliku. U tom slučaju tablica treba sadržavati sve moguće kombinacije argumenata funkcije (formule) i odgovarajuće vrijednosti funkcije (rezultate formule na zadanom skupu vrijednosti).

Prikladan oblik snimanja pri pronalaženju vrijednosti funkcije je tablica koja sadrži, osim vrijednosti varijabli i vrijednosti funkcije, i vrijednosti međuizračunavanja. Razmotrimo primjer konstruiranja tablice istinitosti za formulu $(X1)↖(-) ∧ X2 ∨ (X1 ∨ X2)↖(-) ∨ X1$.

Ako funkcija uzima vrijednost 1 za sve skupove vrijednosti varijable, ona je identično istinito; ako za sve skupove ulaznih vrijednosti funkcija uzima vrijednost 0, jest identično lažna; ako skup izlaznih vrijednosti sadrži i 0 i 1, funkcija se poziva izvedivo. Gornji primjer je primjer identično istinite funkcije.

Poznavajući analitički oblik logičke funkcije, uvijek možete prijeći na tablični oblik logičkih funkcija. Pomoću zadane tablice istine možete riješiti inverzni problem, naime: za zadanu tablicu konstruirati analitičku formulu za logičku funkciju. Postoje dva oblika konstruiranja analitičke ovisnosti logičke funkcije na temelju funkcije određene tablicom.

1. Disjunktivni normalni oblik (DNF)- zbroj umnožaka formiranih od varijabli i njihovih negacija za lažne vrijednosti.

Algoritam za konstrukciju DNF je sljedeći:

1. u tablici istinitosti, funkcije odabiru skupove argumenata za koje su logički oblici jednaki 1 (“točno”);
2. svi odabrani logički skupovi zapisuju se kao logički produkti argumenata, sekvencijalno ih međusobno povezujući operacijom logičkog zbroja (disjunkcije);
3. za argumente koji su lažni, operacija negacije se unosi u konstruirani zapis.

Primjer. Konstruirajte funkciju koja određuje da je prvi broj jednak drugom koristeći DNF metodu. Tablica istinitosti funkcije izgleda ovako

Riješenje. Odabiremo skupove vrijednosti argumenata u kojima je funkcija jednaka 1. To su prvi i četvrti redak tablice (pri numeriranju ne uzimamo u obzir redak zaglavlja).

Zapisujemo logičke produkte argumenata tih skupova, kombinirajući ih s logičkim zbrojem: X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2.

Zapisujemo negaciju argumenata odabranih skupova koji imaju lažnu vrijednost (četvrti redak tablice; drugi skup u formuli; prvi i drugi element): X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(- )$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Odgovor: F(X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

2. Konjunktivni normalni oblik (CNF)- umnožak zbrojeva formiranih od varijabli i njihovih negacija za prave vrijednosti.

Algoritam za konstrukciju CNF je sljedeći:

1. u tablici istinitosti biraju se skupovi argumenata za koje su logički oblici jednaki 0 ​​(“false”);
2. svi odabrani logički skupovi kao logičke sume argumenata ispisuju se sekvencijalno, povezujući ih međusobno operacijom logičkog produkta (konjunkcije);
3. za argumente koji su istiniti, operacija negacije se unosi u konstruirani zapis.

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1. Razmotrimo prethodni primjer, tj. konstruirajmo funkciju koja određuje da je prvi broj jednak drugom, koristeći CNF metodu. Za zadanu funkciju, njezina tablica istinitosti ima oblik

Riješenje. Odabiremo skupove vrijednosti argumenata u kojima je funkcija jednaka 0. To su drugi i treći redak (ne uzimamo u obzir redak zaglavlja prilikom numeriranja).

Zapisujemo logičke zbrojeve argumenata tih skupova, kombinirajući ih s logičkim produktom: X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2.

Zapisujemo negaciju argumenata odabranih skupova koji imaju pravu vrijednost (drugi red tablice, prvi skup formule, drugi element; za treći red, a to je drugi skup formule , prvi element): X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $( X1)↖(-)$ ∨ X2.

Tako je dobiven zapis logičke funkcije u CNF.

Odgovor: X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2.

Vrijednosti funkcije dobivene dvjema metodama su ekvivalentne. Da bismo dokazali ovu tvrdnju, koristimo se logičkim pravilima: F(X1, X2) = X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2 = X1 ∧ $(X1)↖ (-)$ ∨ X1 ∧ X2 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ $(X2 )↖(- )$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Primjer 2. Konstruirajte logičku funkciju za zadanu tablicu istinitosti:

Tražena formula: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 .

Može se pojednostaviti: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) = X2 ∧ 1 = X2.

Primjer 3. Za zadanu tablicu istine konstruirajte logičku funkciju koristeći DNF metodu.

Potrebna formula: X1 ∧ X2 ∧ X ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∪ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $ (X3) ↖ (-) $.

Formula je prilično glomazna i treba je pojednostaviti:

X1 ∧ X2 ∧ X3 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∨ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X3) ↖(-)$ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$ ∧ (X2 ∨ $(X2)↖(-)$) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$.

Tablice istinitosti za rješavanje logičkih problema

Sastavljanje tablica istinitosti jedan je od načina rješavanja logičkih problema. Pri korištenju ove metode rješenja uvjeti koje sadrži problem bilježe se pomoću posebno sastavljenih tablica.

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1. Napravite tablicu istinitosti za sigurnosni uređaj koji koristi tri senzora i aktivira se kada su samo dva od njih u kratkom spoju.

Riješenje. Očito je da će rezultat rješenja biti tablica u kojoj će željena funkcija Y(X1, X2, X3) imati vrijednost "true" ako bilo koje dvije varijable imaju vrijednost "true".

Primjer 2. Napravite raspored sati za taj dan, vodeći računa da lekcija informatike može biti samo prva ili druga, lekcija matematike - prva ili treća, a lekcija fizike - druga ili treća. Je li moguće napraviti raspored koji ispunjava sve zahtjeve? Koliko opcija zakazivanja postoji?

Riješenje. Problem se lako može riješiti ako napravite odgovarajuću tablicu:

Tablica pokazuje da postoje dvije opcije za željeni raspored:

1. matematika, informatika, fizika;
2. informatika, fizika, matematika.

Primjer 3. U sportski kamp došla su tri prijatelja - Peter, Boris i Alexey. Svaki od njih voli dva sporta. Poznato je da postoji šest takvih sportova: nogomet, hokej, skijanje, plivanje, tenis, badminton. Također je poznato da:

1. Boris je najstariji;
2. nogometaš mlađi od hokejaša;
3. igraju nogomet i hokej i Peter žive u istoj kući;
4. kad dođe do svađe između skijaša i tenisača, Boris ih pomiri;
5. Peter ne zna igrati tenis ni badminton.

U kojim sportovima svaki dječak uživa?

Riješenje. Napravimo tablicu i odrazimo uvjete problema u njoj, popunjavajući odgovarajuće ćelije brojevima 0 i 1, ovisno o tome je li odgovarajuća izjava lažna ili istinita.

Budući da postoji šest vrsta sportova, pokazalo se da sve dečke zanimaju različiti tipovi sportski

Iz uvjeta 4 proizlazi da Borisa ne zanima skijanje ni tenis, a iz uvjeta 3 i 5 da Petar ne zna igrati nogomet, hokej, tenis i badminton. Shodno tome, Peterovi omiljeni sportovi su skijanje i plivanje. Stavimo ovo u tablicu i ispunimo preostale ćelije stupaca "Skijanje" i "Plivanje" nulama.

Tablica pokazuje da samo Alexey može igrati tenis.

Iz uvjeta 1. i 2. proizlazi da Boris nije nogometaš. Dakle, Alexey igra nogomet. Nastavljamo s popunjavanjem tablice. Unesite nule u prazne ćelije retka "Alexey".

Napokon saznajemo da Borisa zanimaju hokej i badminton. Konačni stol će izgledati ovako:

Odgovor: Peter uživa u skijanju i plivanju, Boris igra hokej i badminton, a Alexey nogomet i tenis.

U digitalnim sklopovima digitalni signal je signal koji može imati dvije vrijednosti, koje se smatraju logičkom "1" i logičkom "0".

Logički sklopovi mogu sadržavati do 100 milijuna ulaza, a takvi gigantski sklopovi postoje. Zamislite da je Booleova funkcija (jednadžba) takvog sklopa izgubljena. Kako ga vratiti uz najmanji gubitak vremena i bez grešaka? Najproduktivniji način je podijeliti dijagram na razine. Ovom se metodom izlazna funkcija svakog elementa u prethodnom sloju bilježi i zamjenjuje za odgovarajući ulaz u sljedećem sloju. Danas ćemo razmotriti ovu metodu analize logičkih sklopova sa svim njezinim nijansama.

Logički sklopovi implementirani su pomoću logičkih elemenata: “NE”, “I”, “ILI”, “I-NE”, “ILI-NE”, “XOR” i “Ekvivalencija”. Prva tri logička elementa omogućuju implementaciju bilo koje, bez obzira koliko složene, logičke funkcije u Booleovoj bazi. Rješavat ćemo probleme na logičkim sklopovima implementiranim upravo u Booleovoj bazi.

Za označavanje logičkih elemenata koristi se nekoliko standarda. Najčešći su američki (ANSI), europski (DIN), međunarodni (IEC) i ruski (GOST). Na donjoj slici prikazane su oznake logičkih elemenata u ovim standardima (za povećanje možete kliknuti na sliku lijevom tipkom miša).

U ovoj lekciji ćemo riješiti probleme na logičkim krugovima, u kojima su logički elementi označeni u GOST standardu.

Postoje dvije vrste problema s logičkim sklopovima: zadatak sinteze logičkih sklopova i zadatak analize logičkih sklopova. Počet ćemo s drugom vrstom zadataka, budući da ovim redoslijedom možemo brzo naučiti čitati logičke sklopove.

Najčešće se u vezi s konstrukcijom logičkih sklopova razmatraju funkcije logičke algebre:

• tri varijable (razmatrat će se u problemima analize iu jednom problemu sinteze);
• četiri varijable (u zadacima sinteze, odnosno u posljednja dva odlomka).

Razmotrimo konstrukciju (sintezu) logičkih sklopova

• u Booleovoj bazi "I", "ILI", "NE" (u pretposljednjem paragrafu);
• u također uobičajenim osnovama “I-NE” i “ILI-NE” (u zadnjem odlomku).

Problem analize logičkog sklopa

Zadatak analize je odrediti funkciju f, implementirano danim logičkim sklopom. Prilikom rješavanja takvog problema prikladno je pridržavati se sljedećeg slijeda radnji.

1. Logički dijagram je podijeljen u slojeve. Razinama su dodijeljeni redni brojevi.
2. Izlazi svakog logičkog elementa označeni su imenom željene funkcije, opremljeni digitalnim indeksom, gdje je prva znamenka broj razine, a preostale znamenke su serijski broj elementa u razini.
3. Za svaki element napisan je analitički izraz koji povezuje njegovu izlaznu funkciju s ulaznim varijablama. Izraz je određen logičkom funkcijom implementiranom danim logičkim elementom.
4. Zamjena jednih izlaznih funkcija drugima provodi se sve dok se ne dobije Booleova funkcija izražena kroz ulazne varijable.

Primjer 1.

Riješenje. Logički sklop dijelimo na razine, što je već prikazano na slici. Zapišimo sve funkcije, počevši od 1. razine:

x, g, z :

Primjer 2. Pronađite Booleovu funkciju logičkog sklopa i konstruirajte tablicu istine za logički sklop.

Primjer 3. Pronađite Booleovu funkciju logičkog sklopa i konstruirajte tablicu istine za logički sklop.

Nastavljamo zajedno tražiti Booleovu funkciju logičkog sklopa

Primjer 4. Pronađite Booleovu funkciju logičkog sklopa i konstruirajte tablicu istine za logički sklop.

Riješenje. Logički dijagram dijelimo na razine. Zapišimo sve funkcije, počevši od 1. razine:

Sada zapišimo sve funkcije, zamijenivši ulazne varijable x, g, z :

Kao rezultat toga, dobivamo funkciju koju logički sklop implementira na izlazu:

.

Tablica istinitosti za ovaj logički sklop:

Primjer 5. Pronađite Booleovu funkciju logičkog sklopa i konstruirajte tablicu istine za logički sklop.

Riješenje. Logički dijagram dijelimo na razine. Struktura ovog logičkog sklopa, za razliku od prethodnih primjera, ima 5 razina, a ne 4. Ali jedna ulazna varijabla - najniža - prolazi kroz sve razine i izravno ulazi u logički element u prvoj razini. Zapišimo sve funkcije, počevši od 1. razine:

Sada zapišimo sve funkcije, zamijenivši ulazne varijable x, g, z :

Kao rezultat toga, dobivamo funkciju koju logički sklop implementira na izlazu:

.

Tablica istinitosti za ovaj logički sklop:

Problem sinteze logičkih sklopova u Booleovoj bazi

Razvoj logičkog sklopa prema njegovom analitičkom opisu naziva se problem sinteze logičkog sklopa.

Svaka disjunkcija (logička suma) odgovara elementu "ILI", čiji je broj ulaza određen brojem varijabli u disjunkciji. Svaka konjunkcija (logički produkt) odgovara elementu “I”, čiji je broj ulaza određen brojem varijabli u konjunkciji. Svaka negacija (inverzija) odgovara elementu "NE".

Logički dizajn često počinje definiranjem logičke funkcije koju logički sklop mora implementirati. U ovom slučaju dana je samo tablica istinitosti logičkog sklopa. Analizirat ćemo upravo takav primjer, odnosno riješit ćemo problem koji je potpuno suprotan problemu analize logičkih sklopova o kojem smo govorili gore.

Primjer 6. Konstruirajte logički sklop koji implementira funkciju sa zadanom tablicom istinitosti.

Izrada tablica istine za složene izjave.

Prioritet logičkih operacija

1) inverzija 2) konjunkcija 3) disjunkcija 4) implikacija i ekvivalencija

Kako napraviti tablicu istine?

Prema definiciji, tablica istinitosti logičke formule izražava korespondenciju između svih mogućih skupova vrijednosti varijabli i vrijednosti formule.

Za formulu koja sadrži dvije varijable, postoje samo četiri takva skupa vrijednosti varijable:

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Ako formula sadrži tri varijable, tada mogući skupovi osam varijabilnih vrijednosti (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1).

Broj skupova za formulu s četiri varijable je šesnaest, itd.

Prikladan oblik snimanja pri pronalaženju vrijednosti formule je tablica koja sadrži, osim vrijednosti varijabli i vrijednosti formule, i vrijednosti međuformula.

Primjeri.

1. Napravimo tablicu istinitosti za formulu 96%" style="width:96.0%">

Iz tablice je jasno da za sve skupove vrijednosti varijabli x i y, formula uzima vrijednost 1, odnosno jest identično istinitom.

2. Tablica istinitosti za formulu 96%" style="width:96.0%">

Iz tablice je jasno da za sve skupove vrijednosti varijabli x i y, formula uzima vrijednost 0, odnosno jest identično lažna .

3. Tablica istinitosti za formulu 96%" style="width:96.0%">

Iz tablice je jasno da formula 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Zaključak: dobili smo sve jedinice u zadnjem stupcu. To znači da je značenje složene tvrdnje istinito za bilo koje značenje jednostavnih tvrdnji K i S. Prema tome, nastavnik je logički ispravno zaključio.

Tablica istinitosti je tablica koja opisuje logičku funkciju. Logička funkcija ovdje je funkcija u kojoj vrijednosti varijabli i vrijednost same funkcije izražavaju istinu. Na primjer, uzimaju vrijednosti "točno" ili "netočno" (istinito ili netočno, 1 ili 0).

Tablice istinitosti koriste se za određivanje značenja iskaza za sve moguće slučajeve istinitosti iskaza koji ga čine. Broj svih postojećih kombinacija u tablici nalazi se formulom N=2*n; gdje je N ukupan broj mogućih kombinacija, n je broj ulaznih varijabli. Tablice istinitosti često se koriste u digitalnom inženjerstvu i Booleovoj algebri za opisivanje rada logičkih sklopova.

Tablice istinitosti za osnovne funkcije

Primjeri: konjunkcija - 1&0=0, implikacija - 1→0=0.

Redoslijed logičkih operacija

Inverzija; veznik; Disjunkcija; implikacija; Ekvivalencija; Schaefferov moždani udar; Pierceova strijela.

Redoslijed konstruiranja (sastavljanja) tablice istinitosti:

1. Odredite broj N varijabli korištenih u logičkom izrazu.
2. Izračunajte broj mogućih skupova varijabilnih vrijednosti M = 2 N, jednako broju redaka u tablici.
3. Izbrojite broj logičkih operacija u logičkom izrazu i odredite broj stupaca u tablici, koji je jednak broju varijabli plus broj logičkih operacija.
4. Naslovite stupce tablice nazivima varijabli i nazivima logičkih operacija.
5. Ispunite stupce logičkih varijabli skupovima vrijednosti, na primjer, od 0000 do 1111 u koracima od 0001 u slučaju četiri varijable.
6. Ispunite tablicu istine po stupcima s vrijednostima međuoperacija s lijeva na desno.
7. Ispunite stupac konačne vrijednosti za funkciju F.

Dakle, možete sami sastaviti (konstruirati) tablicu istinitosti.

Napravite tablicu istine online

Ispunite polje za unos i kliknite OK. T - točno, F - netočno. Preporučujemo da ovu stranicu označite ili spremite. društvena mreža.

Oznake

1. Skupovi ili izrazi velikim slovima Latinica: A, B, C, D...
2. A" - prost - komplementi skupova
3. && - veznik ("i")
4. || - disjunkcija ("ili")
5. ! - negacija (na primjer, !A)
6. \cap - presjek skupova \cap
7. \cup - unija skupova (sabiranje) \cup
8. A&!B - set razlika A∖B=A-B
9. A=>B - implikacija "Ako... onda"
10. AB - ekvivalentnost

Električni krug dizajniran za izvođenje neke logičke operacije nad ulaznim podacima naziva se logički element. Ulazni podaci ovdje su predstavljeni u obliku napona različitih razina, a rezultat logičke operacije na izlazu se također dobiva u obliku napona određene razine.

U ovom slučaju se na ulazu logičkog elementa dovode operandi - signali u obliku napona visoke ili niske razine koji u biti služe kao ulazni podaci. Dakle, napon visoke razine - logička 1 - označava pravu vrijednost operanda, a napon niske razine 0 - lažnu vrijednost. 1 - TOČNO, 0 - NETOČNO.

Logički element- element koji implementira određene logičke odnose između ulaznih i izlaznih signala. Logički elementi obično se koriste za konstruiranje logičkih sklopova računala i diskretnih automatskih krugova za nadzor i upravljanje. Sve vrste logičkih elemenata, bez obzira na njihovu fizičku prirodu, karakteriziraju diskretne vrijednosti ulaznih i izlaznih signala.

Logički elementi imaju jedan ili više ulaza i jedan ili dva (obično međusobno inverzna) izlaza. Vrijednosti "nula" i "jedinica" izlaznih signala logičkih elemenata određene su logičkom funkcijom koju element obavlja, a vrijednosti "nula" i "jedinica" ulaznih signala, koje igraju uloga nezavisnih varijabli. Postoje osnovne logičke funkcije, iz koje se može sastaviti bilo koja složena logička funkcija.

Ovisno o dizajnu kruga elementa, o njegovim električnim parametrima, logičke razine (visoke i niske razine napona) ulaza i izlaza imaju iste vrijednosti za visoka i niska (istinito i lažno) stanja.

Tradicionalno se logički elementi proizvode u obliku posebnih radio komponenti - integriranih krugova. Logičke operacije kao što su konjunkcija, disjunkcija, negacija i modulo zbrajanje (I, ILI, NE, XOR) osnovne su operacije koje se izvode na glavnim vrstama logičkih vrata. Zatim, pogledajmo pobliže svaku od ovih vrsta logičkih elemenata.

Logički element "I" - konjunkcija, logičko množenje, I

"I" je logički element koji izvodi operaciju konjunkcije ili logičkog množenja na ulaznim podacima. Ova stavka može imati od 2 do 8 (najčešći u proizvodnji su “AND” elementi s 2, 3, 4 i 8 ulaza) ulaza i jedan izlaz.

Na slici su prikazani simboli logičkih elemenata “I” s različitim brojem ulaza. U tekstu je logički element "I" s određenim brojem ulaza označen kao "2I", "4I" itd. - element "I" s dva ulaza, s četiri ulaza itd.

Tablica istine za element 2I pokazuje da će izlaz elementa biti logičan samo ako su logičke jedinice istovremeno na prvom ulazu I na drugom ulazu. U preostala tri moguća slučaja izlaz će biti nula.

U zapadnim dijagramima, ikona elementa I ima ravnu liniju na ulazu i zaobljenu liniju na izlazu. Na domaćim dijagramima - pravokutnik sa simbolom "&".

Logički element "ILI" - disjunkcija, logično sabiranje, ILI

"ILI" je logički element koji izvodi operaciju disjunkcije ili logičkog zbrajanja na ulaznim podacima. On, kao i element "I", dostupan je s dva, tri, četiri itd. ulaza i jednim izlazom. Na slici su prikazani simboli logičkih elemenata "ILI" s različitim brojem ulaza. Ovi elementi su označeni na sljedeći način: 2OR, 3OR, 4OR, itd.

Tablica istine za element “2OR” pokazuje da je za pojavu logičke jedinice na izlazu dovoljno da je logička jedinica na prvom ulazu ILI na drugom ulazu. Ako postoje logičke na dva ulaza odjednom, izlaz će također biti jedan.

U zapadnim dijagramima, ikona elementa "ILI" ima zaobljeni ulaz i zaobljeni, šiljasti izlaz. Na domaćim dijagramima nalazi se pravokutnik sa simbolom "1".

Logički element "NE" - negacija, inverter, NE

“NOT” je logički element koji izvodi operaciju logičke negacije na ulaznim podacima. Ovaj element, koji ima jedan izlaz i samo jedan ulaz, također se naziva inverter, jer zapravo invertira (reverzira) ulazni signal. Na slici je prikazan simbol za logički element “NE”.

Tablica istinitosti za inverter pokazuje da visoki ulazni potencijal proizvodi nizak izlazni potencijal i obrnuto.

U zapadnim dijagramima ikona elementa "NE" ima oblik trokuta s krugom na izlazu. Na domaćim dijagramima nalazi se pravokutnik sa simbolom "1", s krugom na izlazu.

Logički element "NAND" - konjunkcija (logičko množenje) s negacijom, NAND

“I-NE” je logički element koji izvodi operaciju logičkog zbrajanja na ulaznim podacima, a zatim operaciju logičke negacije, rezultat se šalje na izlaz. Drugim riječima, to je u osnovi element "I", nadopunjen elementom "NE". Slika prikazuje simbol za logički element “2I-NE”.

Tablica istine za NAND vrata suprotna je tablici istine za AND vrata. Umjesto tri nule i jedinice, postoje tri jedinice i nula. NAND element se također naziva "Schaefferov element" u čast matematičara Henryja Mauricea Schaeffera, koji je prvi primijetio njegovo značenje 1913. godine. Označava se kao "I", samo s krugom na izlazu.

Logički element "ILI-NE" - disjunkcija (logičko zbrajanje) s negacijom, NILI

“ILI-NE” je logički element koji izvodi operaciju logičkog zbrajanja na ulaznim podacima, a zatim operaciju logičke negacije, rezultat se šalje na izlaz. Drugim riječima, ovo je element "ILI" dopunjen elementom "NE" - pretvarač. Slika prikazuje simbol za logički element “2ILI-NE”.

Tablica istine za ILI vrata je suprotna od tablice istine za ILI vrata. Visoki izlazni potencijal dobiva se samo u jednom slučaju - niski potencijali se istovremeno primjenjuju na oba ulaza. Označava se kao "ILI", samo s krugom na izlazu koji označava inverziju.

Logička vrata "isključivo ILI" - zbrajanje po modulu 2, XOR

“Isključivo ILI” je logički element koji izvodi operaciju logičkog zbrajanja modulo 2 na ulaznim podacima, ima dva ulaza i jedan izlaz. Često se ti elementi koriste u upravljačkim krugovima. Na slici je prikazan simbol za ovaj element.

Slika u zapadnim krugovima je poput "ILI" s dodatnom zakrivljenom trakom na ulaznoj strani, u domaćim je poput "ILI", samo će umjesto "1" biti napisano "=1".

Ovaj logički element se također naziva "neekvivalencija". Visoka razina napon će biti na izlazu samo kada signali na ulazu nisu jednaki (jedan je jedan, drugi je nula, ili je jedan nula, a drugi je jedan); čak i ako postoje dvije jedinice na ulazu istovremeno vremena, izlaz će biti nula - to je razlika od " ILI". Ovi logički elementi naširoko se koriste u zbrajalima.