Mit jelent az x. Funkció: a definíció tartománya és a funkciók köre. Teljesítménysorozat bővítése

A kitevő jelölése , vagy .

e szám

A kitevő fokának alapja az e szám. Ez egy irracionális szám. Ez megközelítőleg egyenlő
e ≈ 2,718281828459045...

Az e számot a sorozat határán keresztül határozzuk meg. Ez az ún második csodálatos határ:
.

Az e számot sorozatként is ábrázolhatjuk:
.

Kiállítói diagram

A grafikon a kitevőt mutatja, e Amennyiben x.
y (x) = e x
A grafikonon látható, hogy a kitevő monoton növekszik.

Képletek

Az alapképletek ugyanazok, mint az e fokú bázisú exponenciális függvénynél.

;
;
;

Tetszőleges a fokú bázisú exponenciális függvény kifejezése a kitevőn keresztül:
.

Magánértékek

Hadd y (x) = e x. Akkor
.

Kitevő tulajdonságai

A kitevő egy fokszámbázisú exponenciális függvény tulajdonságaival rendelkezik e > 1 .

Meghatározási terület, értékkészlet

Kitevő y (x) = e x minden x-re definiálva.
A hatálya a következő:
- ∞ < x + ∞ .
Jelentéskészlete:
0 < y < + ∞ .

Szélsőségek, növekedés, csökkenés

A kitevő monoton növekvő függvény, így nincs szélsőértéke. Főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza.

Inverz függvény

A kitevő reciproka a természetes logaritmus.
;
.

A kitevő származéka

Derivált e Amennyiben x egyenlő e Amennyiben x :
.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása > > >

Integrál

Komplex számok

A komplex számokkal végzett műveletek végrehajtása a Euler-képletek:
,
hol van a képzeletbeli egység:
.

Kifejezések hiperbolikus függvényekkel

; ;
.

Kifejezések trigonometrikus függvényekkel

; ;
;
.

Teljesítménysorozat bővítése

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.

valószínűség egy 0-tól 1-ig terjedő szám, amely egy véletlenszerű esemény bekövetkezésének esélyét tükrözi, ahol a 0 az esemény bekövetkezésének valószínűségének teljes hiányát jelenti, az 1 pedig azt, hogy a kérdéses esemény biztosan bekövetkezik.

Az E esemény valószínűsége egy és 1 közötti szám.
Az egymást kizáró események valószínűségeinek összege 1.

empirikus valószínűség- valószínűség, amely a múltbeli esemény relatív gyakoriságaként kerül kiszámításra, a történeti adatok elemzéséből kivonva.

A nagyon ritka események valószínűsége nem számítható empirikusan.

szubjektív valószínűség- az esemény személyes szubjektív értékelésén alapuló valószínűsége, függetlenül a történelmi adatoktól. A részvények vételére és eladására vonatkozó döntéseket hozó befektetők gyakran szubjektív valószínűség alapján cselekszenek.

előzetes valószínűség -

Esélye 1 /… (esély), hogy egy esemény bekövetkezik a valószínűség fogalmán keresztül. Egy esemény bekövetkezésének esélyét a valószínűséggel a következőképpen fejezzük ki: P/(1-P).

Például, ha egy esemény valószínűsége 0,5, akkor egy esemény valószínűsége 1 a 2-ből, mivel 0,5/(1-0,5).

Annak esélyét, hogy az esemény nem következik be, az (1-P)/P képlet számítja ki

Inkonzisztens valószínűség- például az A cég részvényeinek árában az esetleges E esemény 85%-a, a B cég részvényeinek árfolyamában pedig csak 50%-a. Ezt nevezik nem megfelelő valószínűségnek. A holland fogadási tétel szerint az össze nem illő valószínűség lehetőséget teremt a profitra.

Feltétel nélküli valószínűség a válasz a "Mekkora a valószínűsége annak, hogy az esemény bekövetkezik?"

Feltételes valószínűség a válasz a következő kérdésre: "Mekkora az A esemény valószínűsége, ha B esemény megtörténik." A feltételes valószínűséget P(A|B) jelöljük.

Együttes valószínűség annak a valószínűsége, hogy A és B események egy időben történnek. Jelölve P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Valószínűség összegzési szabály:

Annak a valószínűsége, hogy az A vagy a B esemény bekövetkezik:

P(A vagy B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Ha A és B események kölcsönösen kizárják egymást, akkor

P(A vagy B) = P(A) + P(B)

Független események- A és B események függetlenek, ha

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Azaz olyan kimenetelek sorozata, ahol a valószínűségi érték egyik eseményről a másikra állandó.
Az érmefeldobás egy példa egy ilyen eseményre - minden következő feldobás eredménye nem függ az előző eredményétől.

Függő események Ezek olyan események, amelyekben az egyik bekövetkezésének valószínűsége a másik bekövetkezésének valószínűségétől függ.

Független események valószínűségének szorzásának szabálya:
Ha A és B események függetlenek, akkor

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Teljes valószínűségi szabály:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)

S és S" egymást kizáró események

várható érték A valószínűségi változó a valószínűségi változó lehetséges kimeneteleinek átlaga. Az X eseménynél a várakozást E(X)-ként jelöljük.

Tegyük fel, hogy van 5 értéke bizonyos valószínűséggel egymást kizáró eseményeknek (például a cég bevétele ekkora valószínűséggel ekkora és ekkora összeget tett ki). A várakozás az összes eredmény összege szorozva a valószínűséggel:

Egy valószínűségi változó varianciája a valószínűségi változó várható értékétől való négyzetes eltérésének várható értéke:

s 2 = E( 2 ) (6)

Feltételes várható érték - egy X valószínűségi változó elvárása, feltéve, hogy az S esemény már megtörtént.

Ha e-t úgy írjuk le, mint "egy konstans, amely megközelítőleg egyenlő 2,71828-cal..." olyan, mintha pi-t neveznénk "egy irracionális számnak, amely megközelítőleg egyenlő 3,1415-tel...". Kétségtelenül az, de a lényeg még mindig elkerül minket.

A pi szám egy kör kerületének és átmérőjének aránya, minden körre azonos.. Ez egy alapvető arány, amely minden körre jellemző, és ezért részt vesz a körök, gömbök, hengerek stb. kerületének, területének, térfogatának és felületének kiszámításában. A Pi azt mutatja, hogy minden kör összefügg, nem beszélve a körökből származó trigonometrikus függvényekről (szinusz, koszinusz, érintő).

Az e szám az összes folyamatosan növekvő folyamat alapvető növekedési aránya. Az e szám lehetővé teszi, hogy vegyünk egy egyszerű növekedési ütemet (ahol a különbség csak az év végén látható), és kiszámítsa ennek a mutatónak az összetevőit, a normál növekedést, amelyben minden nanoszekundumban (vagy még gyorsabban) minden nő egy kicsit. több.

Az e szám exponenciális és állandó növekedési rendszerekben is részt vesz: népesség, radioaktív bomlás, kamatszámítás és sok-sok más. Még a nem egyenletesen növekvő lépcsős rendszerek is közelíthetők az e számmal.

Ahogyan bármely szám felfogható az 1 (az alapegység) „skálázott” változataként, úgy bármely kört az egységkör (sugár 1) „skálázott” változatának tekinthetjük. És bármilyen növekedési faktor tekinthető az e ("egyetlen" növekedési faktor) "skálázott" változatának.

Tehát az e szám nem véletlenszerűen vett szám. Az e szám azt az elképzelést testesíti meg, hogy minden folyamatosan növekvő rendszer ugyanannak a mérőszámnak a skálázott változata.

Az exponenciális növekedés fogalma

Kezdjük azzal, hogy megnézzük alaprendszer, melyik páros egy bizonyos ideig. Például:

• A baktériumok 24 óránként osztódnak és „duplázódnak”.
• Kétszer annyi tésztát kapunk, ha ketté törjük
• Pénze minden évben megduplázódik, ha 100%-os nyereséget kap (szerencsés!)

És valahogy így néz ki:

A kettővel való osztás vagy a duplázás nagyon egyszerű folyamat. Természetesen megháromszorozhatjuk vagy négyszerezhetjük, de magyarázatként kényelmesebb a duplázás.

Matematikailag, ha x felosztásunk van, akkor 2^x-szer több jót kapunk, mint az elején. Ha csak 1 partíció készül, 2^1-szer többet kapunk. Ha 4 partíció van, akkor 2^4=16 részt kapunk. Az általános képlet így néz ki:

növekedés= 2 x

Más szóval, a duplázódás 100%-os növekedést jelent. Ezt a képletet átírhatjuk így:

növekedés= (1+100%) x

Ez ugyanaz az egyenlőség, csak a "2"-t osztottuk fel alkotórészeire, ami lényegében ez a szám: kezdő érték(1) plusz 100%. Okos, igaz?

Természetesen a 100% helyett bármilyen más számot (50%, 25%, 200%) helyettesíthetünk, és megkapjuk ennek az új aránynak a növekedési képletét. Az idősor x periódusára vonatkozó általános képlet így fog kinézni:

növekedés = (1+növekedés) x

Ez egyszerűen azt jelenti, hogy a megtérülési rátát (1 + növekedés) "x"-szer használjuk egymás után.

Nézzük meg közelebbről

Képletünk feltételezi, hogy a növekedés diszkrét lépésekben megy végbe. A baktériumaink várnak és várnak, aztán bam!, és az utolsó pillanatban megduplázódik a számuk. A betétből származó kamatnyereségünk varázsütésre pontosan 1 év múlva jelenik meg. A fent leírt képlet alapján a profit lépésenként nő. Hirtelen zöld pöttyök jelennek meg.

De a világ nem mindig ilyen. Ha ráközelítünk, láthatjuk, hogy baktériumbarátaink folyamatosan osztoznak:

A zöld kölyök nem a semmiből jön: lassan kinő a kék szülőből. 1 idő (esetünkben 24 óra) elteltével a zöld barát már teljesen beérett. Az érettség után az állomány teljes értékű kék ​​tagjává válik, és maga is képes új zöld sejteket létrehozni.

Ez az információ megváltoztatja valahogy az egyenletünket?

Dehogy. A baktériumok esetében a félig kialakult zöld sejtek még mindig nem tudnak mit kezdeni, amíg fel nem nőnek és teljesen el nem válnak kék szüleiktől. Tehát az egyenlet helyes.

Bár ez az összefüggés első pillantásra teljesen nyilvánvalónak tűnik (úgy tűnik, hogy a tudományos matematika egy dolog, a közgazdaságtan és a pénzügy pedig egészen más), de ha egyszer áttanulmányozod ennek a számnak a "felfedezésének" történetét, minden nyilvánvalóvá válik. Valójában bárhogy is oszlanak a tudományok különböző, látszólag egymással nem összefüggő ágakra, az általános paradigma továbbra is ugyanaz marad (főleg a fogyasztói társadalom számára – a „fogyasztói” matematika is).

Kezdjük egy meghatározással. e - természetes logaritmus alapja, matematikai állandó, irracionális és transzcendentális szám. Néha az e számot Euler-számnak vagy Napier-számnak nevezik. Kisbetűs latin "e" betűvel jelölik.

Mivel az e^x kitevő függvénye „önmagába” integrálódik és differenciálódik, a logaritmusokat az e bázis természetesnek fogadja el (bár maga a „természetesség” elnevezése erősen megkérdőjelezhető, mert minden matematika lényegében mesterségesen kitalált. , elvált a természettől fiktív elvek, és egyáltalán nem a természetes elvek alapján).

Ezt a számot néha Neper-számnak is nevezik Napier skót tudós tiszteletére, aki a The Amazing Table of Logathms (1614) című mű szerzője. Ez a név azonban nem teljesen helyes, mivel a Napier magát a számot nem használta közvetlenül.

A konstans most először van hallgatólagosan jelen Napier fent említett, 1618-ban megjelent művének angol fordításának mellékletében. A színfalak mögött, mivel csak a KINEMATIKAI megfontolások alapján meghatározott természetes logaritmusok táblázatát tartalmazza, maga a konstans nincs jelen.

Ugyanezt az állandót először Bernoulli svájci matematikus számította ki (szerint hivatalos verzió 1690-ben) a KAMATJÖVEDELEM határértéke problémájának megoldása során. Megállapította, hogy ha a kezdeti összeg 1 dollár (a pénznem teljesen lényegtelen), és az év végén egyszer felhalmozódik az évi 100%, akkor teljes összeg 2 dollár lesz. De ha ugyanazt a kamatot évente kétszer számítják ki, akkor 1 dollárt kétszer megszoroznak 1,5-tel, így 1,00 × 1,5² = 2,25 dollárt kapunk. A negyedéves kamat összegzése 1,00 USD × 1,254 = 2,44140625 USD és így tovább. Bernoulli kimutatta, hogy ha a kamat gyakorisága NÖVELIK, akkor kamatos kamat esetén a kamatbevételnek van egy határa - és ez a határ 2,71828 ...

1,00 USD×(1+1/12)12 = 2,613035 USD…

1,00 USD×(1+1/365)365 = 2,714568 USD… – e szám a korlátban

Így az e szám valójában történetileg a maximálisan lehetséges éves 100%-os ÉVES EREDMÉNYT és a kamattőkésítés maximális gyakoriságát jelenti. És mi a helyzet az univerzum törvényeivel? Az e szám az egyik fontos építőköve a hitelkamatozású monetáris gazdaság megalapozásának a fogyasztói társadalomban, amely alatt a kezdetektől fogva, még mentális filozófiai szinten is, évszázadokkal ezelőtt igazították és kiélezték az összes ma használt matematikát. .

Ennek az állandónak az első ismert használata, ahol b betűvel jelölték, Leibniz Huygensnek írt leveleiben fordul elő, 1690-1691.

Az e betűt Euler 1727-ben kezdte használni, először Euler 1731. november 25-i, Goldbach német matematikushoz írt levelében fordul elő, és az első publikáció ezzel a betűvel a Mechanics, or the Science of the Science című munkája volt. Indítvány, analitikusan kijelentve, 1736. Ennek megfelelően az e-t általában Euler-számnak nevezik. Bár később egyes tudósok a c betűt használták, az e betűt gyakrabban használták, és ma már az általános jelölés.

Hogy miért az e betűt választották, azt nem tudni pontosan. Talán ennek az az oka, hogy az exponenciális („exponenciális”, „exponenciális”) szó ezzel kezdődik. Egy másik javaslat, hogy az a, b, c és d betűket már meglehetősen széles körben használták más célokra, és az e volt az első "szabad" betű. Figyelemre méltó az is, hogy az e betű az első az Euler (Euler) névben.

De mindenesetre azt állítani, hogy az e szám valamilyen módon kapcsolódik a világegyetem és a természet egyetemes törvényeihez, egyszerűen abszurd. Ezt a számot maga a fogalom eredetileg a hitel- és pénzügyi monetáris rendszerhez kötötte, és különösen ezen a számon keresztül (de nem csak) a hitel- és pénzügyi rendszer ideológiája közvetve befolyásolta az összes többi matematika kialakulását és fejlődését, ill. ezen keresztül az összes többi tudomány (végül is kivétel nélkül a tudományok a matematika szabályait és megközelítéseit használva gondolnak valamit). Az e szám fontos szerepet játszik a differenciál- és integrálszámításban, amely ezen keresztül tulajdonképpen a kamatbevétel-maximalizálás ideológiájával és filozófiájával is összefügg (akár azt is mondhatnánk, hogy tudat alatt kapcsolódik össze). Hogyan kapcsolódik a természetes logaritmus? Az e konstansként való megállapítása (minden mással együtt) olyan implicit összefüggések kialakulásához vezetett a gondolkodásban, amelyek szerint az összes létező matematika egyszerűen nem létezhet a pénzrendszertől elszigetelten! És ennek fényében egyáltalán nem meglepő, hogy az ókori szlávok (és nem csak ők) nagyon jól jártak konstansok, irracionális és transzcendens számok nélkül, sőt általában számok és számok nélkül is (a betűk az ókorban számként működtek), az eltérő logika, a pénz hiányában a rendszerben való eltérő gondolkodás (és így minden, ami ezekkel kapcsolatos) mindezt egyszerűen szükségtelenné teszi.

Az egyes funkciók E teszteli a megadott értéket, és az eredménytől függően IGAZ vagy FALSE-t ad vissza. Például a függvény ÜRES a TRUE logikai értéket adja vissza, ha az ellenőrzött érték egy üres cellára való hivatkozás; ellenkező esetben a FALSE logikai értéket adja vissza.

Funkciók E arra szolgálnak, hogy információt szerezzenek egy értékről, mielőtt számítást vagy más műveletet hajtanának végre rajta. Ha például hiba esetén más műveletet szeretne végrehajtani, használhatja a funkciót HIBA funkcióval kombinálva HA:

= HA( HIBA(A1); "Hiba történt."; A1*2)

Ez a képlet az A1 cellában keres hibát. Hiba esetén a függvény HA a "Hiba történt" üzenetet adja vissza. Ha nincs hiba, a függvény HA kiszámítja az A1*2 szorzatot.

Szintaxis

NULL(érték)

EOSH(érték)

HIBA(érték)

ISLOGICAL(érték)

VÉGE(érték)

ENETEXT(érték)

ISTEXT(érték)

függvény argumentum E az alábbiakban leírt.

jelentése Kötelező érv. Az ellenőrizendő érték. Ennek az argumentumnak az értéke lehet egy üres cella, egy hibaérték, egy logikai érték, egy szöveg, egy szám, egy hivatkozás a felsorolt ​​objektumok bármelyikére vagy egy ilyen objektum neve.

Megjegyzések

Érvek a függvényekben E nem konvertálódnak. Az idézőjelbe tett számokat a rendszer szövegként kezeli. Például a legtöbb más függvényben, amely numerikus argumentumot igényel, a "19" szöveges értéket 19 számmá alakítja át. A képletben azonban ISNUMBER("19") ez az érték nem konvertálódik szövegből számmá, és a függvény ISNUMBER HAMIS értéket ad vissza.

Funkciókkal E célszerű a számítások eredményét képletekben ellenőrizni. Ezeket a funkciókat a funkcióval kombinálva HA, hibákat találhat a képletekben (lásd az alábbi példákat).

Példák

1. példa

Másolja ki a mintaadatokat a következő táblázatból, és illessze be az új táblázat A1 cellájába Excel lap. A képlet eredményeinek megjelenítéséhez jelölje ki őket, és nyomja meg az F2, majd az ENTER billentyűt. Ha szükséges, módosítsa az oszlopok szélességét az összes adat megtekintéséhez.

Másolja ki a mintaadatokat az alábbi táblázatból, és illessze be egy új Excel munkalap A1 cellájába. A képlet eredményeinek megjelenítéséhez jelölje ki őket, és nyomja meg az F2, majd az ENTER billentyűt. Ha szükséges, módosítsa az oszlopok szélességét az összes adat megtekintéséhez.