Szerkesszünk igazságtáblázatot az f függvényhez. Tökéletes diszjunktív normál forma

Logikai algebra

Logikai algebra

Logikai algebra(Angol) logikai algebra) a matematikai logika egyik fő ága, amelyben algebrai módszereket alkalmaznak a logikai transzformációkban.

A logikai algebra megalapítója J. Boole (1815-1864) angol matematikus és logikus, aki az algebra és a logika analógiájára alapozta logikai tanítását. Minden olyan állítást írt le az általa kidolgozott nyelv szimbólumaival és kapott „egyenletekkel”, amelyek igazsága vagy hamissága bizonyos logikai törvények alapján bizonyítható volt, mint például a kommutativitás, az eloszlás, az asszociativitás stb.

Modern logikai algebra a matematikai logika egyik ága, és az állításokra vonatkozó logikai műveleteket vizsgálja azok igazságértéke (igaz, hamis) szempontjából. Az állítások lehetnek igazak, hamisak, vagy különböző arányban tartalmazhatnak igazságot és hamisságot.

Logikus kijelentés minden kijelentő mondat, amelynek tartalma egyértelműen igaznak vagy hamisnak mondható.

Például a „3-szor 3 egyenlő 9-cel”, „Arhangelszk Vologdától északra” igaz állítások, de az „öt kevesebb, mint három”, a „Mars egy csillag” hamisak.

Nyilvánvalóan nem minden mondat lehet logikus állítás, hiszen nem mindig van értelme annak hamisságáról vagy igazságáról beszélni. Például a „Az informatika érdekes tárgy” kijelentés homályos, és további információkat igényel, az „Ivanov A.A. 10-A osztályos tanuló számára az informatika érdekes tantárgy” kijelentés pedig Ivanov A.A. érdeklődési körétől függően. , felveheti az „igaz” vagy „hazugság” jelentést.

Kivéve kétértékű propozíciós algebra, amelyben csak két érték fogadható el - „igaz” és „hamis”, van többértékű propozíciós algebra. Az ilyen algebrában az „igaz” és „hamis” értékek mellett olyan igazságértékeket használnak, mint a „valószínű”, „lehetséges”, „lehetetlen” stb.

Az algebrában a logika különbözik egyszerű(alapvető) nyilatkozatok, latin betűkkel jelölve (A, B, C, D, ...), és összetett(összetett), több egyszerűből áll össze, amelyek logikai konnektívumokat használnak, például, mint pl „nem”, „és”, „vagy”, „ha és csak akkor”, „ha... akkor”. Az így kapott összetett állítások igazát vagy hamisságát az egyszerű állítások jelentése határozza meg.

Jelöljük úgy A a „A logika algebráját sikeresen alkalmazzák az elektromos áramkörök elméletében” kijelentést, és azon keresztül BAN BEN– „A logikai algebrát a relé áramkörök szintézisében használják.”

Ezután az összetett állítás: „A logika algebráját sikeresen alkalmazzák az elméletben elektromos áramkörökés a reléérintkező áramkörök szintézisében" röviden így írható fel A és B; itt az „és” egy logikai kapcsoló. Nyilvánvaló, hogy mivel elemi állítások A és B igazak, akkor az összetett állítás igaz A és B.

Minden egyes logikai összeköttetés logikai utasításokon végzett műveletnek minősül, és megvan a maga neve és megnevezése.

Csak két logikai érték létezik: igaz igaz)És hamis (FALSE). Ez megfelel a digitális ábrázolásnak − 1 És 0 . Az egyes logikai műveletek eredményeit táblázat formájában írhatjuk fel. Az ilyen táblázatokat igazságtáblázatoknak nevezzük.

Az algebrai logika alapműveletei

1. Logikai tagadás, inverzió(lat. inverzió- inverzió) egy logikai művelet, amelynek eredményeként egy adott utasításból új utasítást kapunk (például A) nem A), amely az úgynevezett az eredeti állítás tagadása, szimbolikusan egy overbar ($A↖(-)$) vagy olyan konvenciók jelzik, ¬, "nem", és így szól: „nem A”, „A hamis”, „nem igaz, hogy A”, „A tagadása”. Például: „A Mars egy bolygó Naprendszer"(A állítás); „A Mars nem bolygó a Naprendszerben” ($A↖(-)$); a „10 egy prímszám” állítás (B állítás) hamis; A „10 nem prímszám” állítás (B állítás) igaz.

Az egyetlen mennyiségre használt műveletet ún egységes. A művelet értéktáblázata így néz ki

Az $A↖(-)$ állítás hamis, ha A igaz, és igaz, ha A hamis.

Geometriailag a negáció a következőképpen ábrázolható: ha A egy bizonyos ponthalmaz, akkor $A↖(-)$ az A halmaz komplementere, azaz minden olyan pont, amely nem tartozik az A halmazba.

2.Konjunkció(lat. conjunctio- kapcsolat) - logikai szorzás, olyan művelet, amelyhez legalább két logikai mennyiségre (operandusra) van szükség, és két vagy több utasítást kapcsol össze konnektív segítségével "És"(Például, "A és B"), amelyet szimbolikusan a ∧ (A ∧ B) jel jelöl, és így szól: „A és B”. A következő jeleket is használják az együttállás jelzésére: A ∙ B; A és B, A és B, és néha nincs előjel az állítások között: AB. Példa a logikai szorzásra: „Ez a háromszög egyenlő szárú és derékszögű.” Egy adott állítás csak akkor lehet igaz, ha mindkét feltétel teljesül, ellenkező esetben az állítás hamis.

Nyilatkozat A ∧ BAN BEN csak akkor igaz, ha mindkét állítás igaz AÉs BAN BEN igazak.

Geometriailag a konjunkció a következőképpen ábrázolható: ha A, B A ∧ BAN BEN halmazok metszéspontja van AÉs BAN BEN.

3. Diszjunkció(lat. diszjunkció- osztás) - logikai összeadás, két vagy több utasítást összekötővel összekötő művelet "vagy"(Például, "A vagy B"), amelyet szimbolikusan a ∨ jel jelöl (A∨ BAN BEN)és így szól: "A vagy B". A következő jeleket is használják a szétválás jelzésére: A + B; A vagy B; A | B. Példa a logikai összeadásra: „Az x szám osztható 3-mal vagy 5-tel.” Ez az állítás akkor lesz igaz, ha mindkét feltétel vagy legalább az egyik feltétel teljesül.

A művelet igazságtáblázatának alakja van

Nyilatkozat A∨ BAN BEN csak akkor hamis, ha mindkét állítás igaz AÉs BAN BEN hamis.

Geometriailag a logikai összeadás a következőképpen ábrázolható: ha A, B akkor néhány ponthalmaz A ∨ BAN BEN halmazok uniója AÉs BAN BEN, azaz egy négyzetet és kört is egyesítő figura.

4. Szigorúan szeparatív diszjunkció, összeadás modulo kettes- egy logikai művelet, amely két utasítást kapcsol össze konnektiv segítségével "vagy", kizárólagos értelemben használva, amelyet szimbolikusan a ∨ ∨ vagy ⊕ ( A ∨ ∨ B, A ⊕ BAN BEN) és így szól: "vagy a vagy B". Példa a kettes összeadásra az „Ez a háromszög tompa vagy hegyesszög” kijelentés. Az állítás akkor igaz, ha valamelyik feltétel teljesül.

A művelet igazságtáblázatának alakja van

Az A ⊕ B állítás csak akkor igaz, ha az A és B állítások eltérő jelentéssel bírnak.

5. Következmény(lat. imlisito- szorosan össze kell kapcsolni) - logikai művelet, amely két állítást összeköt egy konnektiv segítségével "ha akkor"összetett kijelentéssé, amelyet szimbolikusan a → ( A → BAN BEN) és így szól: „ha A, akkor B”, „A azt jelenti, hogy B”, „A-ból B következik”, „A azt jelenti, hogy B”. A ⊃ (A ⊃ B) jelet az implikáció jelölésére is használják. Példa egy implikációra: „Ha a kapott négyszög négyzet, akkor kör írható le körülötte.” Ez a művelet két egyszerű logikai kifejezést köt össze, amelyek közül az első feltétele, a második pedig következménye. Egy művelet eredménye csak akkor hamis, ha az előfeltevés igaz, a következmény pedig hamis. Például: „Ha 3 * 3 = 9 (A), akkor a Nap bolygó (B),” az A → B implikáció eredménye hamis.

A művelet igazságtáblázatának alakja van

Az implikáció működésére igaz az az állítás, hogy a hazugságból bármi következhet, de az igazságból csak az igazság következhet.

6. Egyenértékűség, kettős implikáció, ekvivalencia(lat. aequalis- egyenlő és valentis- erővel) - egy logikai művelet, amely két állításból enged meg AÉs BAN BEN kap egy új kifejezést A ≡ B amely így szól: "A egyenlő B-vel". Az ekvivalencia jelzésére a következő jelek is használatosak: ⇔, ∼. Ez a művelet konnektívumokkal fejezhető ki „akkor és csak akkor”, „szükséges és elegendő”, „egyenértékű”. Példa az ekvivalenciára a következő állítás: "A háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha az egyik szög 90 fokos."

Az ekvivalencia-művelet igazságtáblázatának alakja van

Az ekvivalencia művelet a modulo two összeadás ellentéte, és akkor és csak akkor igaz, ha a változók értéke megegyezik.

Az egyszerű állítások jelentésének ismeretében igazságtáblázatok alapján meg lehet határozni az összetett állítások jelentését. Fontos tudni, hogy bármely függvény ábrázolásához a logikai algebrában három művelet elegendő: konjunkció, diszjunkció és negáció.

A logikai műveletek prioritása a következő: negáció ( "Nem") a legmagasabb prioritású, akkor a kötőszó ( "És"), a kötőszó után - diszjunkció ( "vagy").

Logikai változók és logikai műveletek segítségével bármilyen logikai állítás formalizálható, azaz logikai képlettel helyettesíthető. Ebben az esetben az összetett állítást alkotó elemi állítások jelentésükben teljesen függetlenek lehetnek, de ez nem zavarja az összetett állítás igazságának vagy hamisságának meghatározását. Például a „Ha öt nagyobb, mint kettő ( A), akkor a kedd mindig hétfő után jön ( BAN BEN)" - következmény A→ BAN BEN, és a művelet eredménye ebben az esetben „igaz”. A logikai műveleteknél az állítások jelentését nem veszik figyelembe, csak azok igazát vagy hamisságát.

Vegyünk például egy összetett állítás felépítését állításokból AÉs BAN BEN, ami akkor és csak akkor lenne hamis, ha mindkét állítás igaz. A két modulo összeadás műveletének igazságtáblázatában ezt találjuk: 1 ⊕ 1 = 0. Az állítás pedig lehet például így: „Ez a golyó teljesen piros vagy teljesen kék.” Ezért ha az állítás A"Ez a labda teljesen piros" egy igazság és egy kijelentés BAN BEN„Ez a labda teljesen kék” igaz, akkor az összetett állítás hamis, mert a labda nem lehet egyszerre piros és kék.

Példák problémamegoldásra

1. példa X megadott értékeihez határozza meg a logikai utasítás értékét ((X > 3) ∨ (X< 3)) → (X < 4) :

1) X = 1; 2) X = 12; 3) X = 3.

Megoldás. A műveletek sorrendje a következő: először a zárójelben lévő összehasonlító műveleteket, majd a diszjunkciót, végül az implikációs műveletet hajtjuk végre. A ∨ diszjunkciós művelet akkor és csak akkor hamis, ha mindkét operandus hamis. Az implikáció igazságtáblázata így néz ki

Innen kapjuk:

1) X = 1 esetén:

((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;

2) X = 12 esetén:

((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;

3) X = 3 esetén:

((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.

2. példa Adja meg X azon egész értékeinek halmazát, amelyre a ¬((X > 2) → (X > 5)) kifejezés igaz.

Megoldás. A negációs művelet a teljes kifejezésre vonatkozik ((X > 2) → (X > 5)), ezért ha a ¬((X > 2) → (X > 5)) kifejezés igaz, akkor az ((X) > 2) →(X > 5)) hamis. Ezért meg kell határozni, hogy X mely értékeire hamis a kifejezés ((X > 2) → (X > 5)). Az implikáció művelete csak egy esetben vesz fel „hamis” értéket: amikor az igazságból hazugság következik. És ez csak X = 3 esetén igaz; X=4; X = 5.

3. példa Az alábbi szavak közül melyikre hamis az ¬(az első betű magánhangzó ∧ a harmadik betű magánhangzó) ⇔ egy 4 karakterből álló állítás? 1) assa; 2) kuku; 3) kukorica; 4) hiba; 5) erős ember.

Megoldás. Tekintsük az összes javasolt szót egymás után:

1) az assa szóra a következőt kapjuk: ¬(1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - az állítás igaz;

2) a kuku szóra a következőt kapjuk: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - az állítás igaz;

3) a kukorica szóra a következőket kapjuk: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 - az állítás hamis;

4) a hiba szóra a következőt kapjuk: ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 - az állítás igaz;

5) az erősember szóra a következőt kapjuk: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 - az állítás hamis.

Logikai kifejezések és átalakításuk

Alatt logikai kifejezés olyan rekordként kell érteni, amely felveheti az „igaz” vagy „hamis” logikai értéket. Ezzel a meghatározással a logikai kifejezések között meg kell különböztetni:

• olyan kifejezések, amelyek összehasonlítási műveleteket használnak ("nagyobb, mint", "kisebb, mint", "egyenlő", "nem egyenlő" stb.) és logikai értékeket vesznek fel (például az a > b kifejezés, ahol a = 5 és b = 7, egyenlő a "false" értékkel);
• logikai mennyiségekhez és logikai műveletekhez kapcsolódó közvetlen logikai kifejezések (például A ∨ B ∧ C, ahol A = igaz, B = hamis és C = igaz).

A logikai kifejezések tartalmazhatnak függvényeket, algebrai műveleteket, összehasonlítási műveleteket és logikai műveleteket. Ebben az esetben a műveletek prioritása a következő:

1. meglévő funkcionális függőségek számítása;
2. algebrai műveletek végrehajtása (először szorzás és osztás, majd kivonás és összeadás);
3. összehasonlítási műveletek végrehajtása (véletlen sorrendben);
4. logikai műveletek végrehajtása (először a tagadási, majd a logikai szorzás, logikai összeadás, végül az implikáció és az ekvivalencia műveletei).

A logikai kifejezések zárójeleket használhatnak, amelyek megváltoztatják a műveletek végrehajtásának sorrendjét.

Példa. Keresse meg a kifejezés jelentését:

$1 ≤ a ∨ A ∨ sin(π/a - π/b)< 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b >a + b ∨ A ∧ B)$, ha a = 2, b = 3, A = igaz, B = hamis.

Megoldás. Az értékek számlálási sorrendje:

1) b a + a b > a + b, behelyettesítés után kapjuk: 3 2 + 2 3 > 2 + 3, azaz 17 > 2 + 3 = igaz;

2) A ∧ B = igaz ∧ hamis = hamis.

Ezért a zárójelben lévő kifejezés (b a + a b > a + b ∨ A ∧ B) = igaz ∨ hamis = igaz;

3) 1≤ a = 1 ≤ 2 = igaz;

4) sin(π/a - π/b)< 1 = sin(π/2 - π/3) < 1 = истина.

Ezen számítások után végül azt kapjuk, hogy igaz ∨ A ∧ igaz ∧ ¬B ∧ ¬ igaz.

Most a tagadás, majd a logikai szorzás és az összeadás műveleteit kell végrehajtani:

5) ¬B = ¬hamis = igaz; ¬igaz = hamis;

6) A ∧ igaz ∧ igaz ∧ hamis = igaz ∧ igaz ∧ igaz ∧ hamis = hamis;

7) igaz ∨ hamis = igaz.

Így az adott értékek logikai kifejezésének eredménye „igaz”.

Jegyzet. Tekintettel arra, hogy az eredeti kifejezés végső soron két tag összege, és az egyiknek az értéke 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = igaz, további számítások nélkül kijelenthetjük, hogy az eredmény a teljes kifejezésre is "igaz". ”.

Logikai kifejezések azonos transzformációi

A logika algebrájában olyan alaptörvényeket követnek, amelyek lehetővé teszik a logikai kifejezések azonos transzformációit.

Ezen állítások bizonyítása a megfelelő rekordokhoz tartozó igazságtáblázatok felépítése alapján történik.

A logikai képletek ekvivalens transzformációinak célja ugyanaz, mint a közönséges algebrai képletek transzformációinak. A képletek egyszerűsítésére vagy egy bizonyos formára való redukálására szolgálnak a logikai algebra alaptörvényeinek felhasználásával. Alatt a képlet egyszerűsítése, amely nem tartalmazza az implikáció és az ekvivalencia műveleteit, ekvivalens transzformáció alatt értendő, amely egy olyan képlethez vezet, amely vagy kisebb számú műveletet, vagy kevesebb változót tartalmaz az eredetihez képest.

A logikai formulák egyes transzformációi hasonlóak a közönséges algebra képleteihez (a közös tényezőt zárójelből kivesszük, kommutatív és kombinációs törvényeket alkalmazunk stb.), míg más transzformációk olyan tulajdonságokon alapulnak, amelyekkel a közönséges algebra műveletei nem rendelkeznek ( az eloszlási törvényt használva a kötőszóra, az abszorpció törvényei, a ragasztás, de Morgan stb.).

Nézzünk néhány példát a logikai képletek egyszerűsítésére használt technikákra és módszerekre:

1) X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 ∪ ¬X1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ ¬X1 ∧ X2 = (X1 ∨ ¬X1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2.

Az itt való átalakuláshoz alkalmazhatja az idempotencia törvényét, az elosztási törvényt; változó művelete inverzióval és művelet konstanssal.

2) X1 ∨ X1 ∧ X2 = X1 ∨ (1 ∨ 1 ∧ X2) = X1 ∨ (1 ∨ X2) = X1.

Itt az egyszerűség kedvéért az abszorpciós törvényt alkalmazzuk.

3) ¬(X1 ∧ X2) ∨ X2 = (¬X1 ∨ ¬X2) ∨ X2 = ¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X2 = ¬X1 ∨ 1 = 1 .

A transzformáció során a de Morgan szabályt, a változó inverziójával és a konstanssal végzett műveletét alkalmazzuk

Példák problémamegoldásra

1. példa Keressen egy logikai kifejezést, amely megfelel az A ∧ ¬(¬B ∨ C) kifejezésnek.

Megoldás. Alkalmazzuk de Morgan szabályát B-re és C-re: ¬(¬B ∨ C) = B ∧ ¬C.

Az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk: A ∧ ¬(¬B ∨ C) = A ∧ B ∧ ¬C .

Válasz: A ∧ B ∧ ¬C.

2. példa Adja meg azoknak az A, B, C logikai változóknak az értékét, amelyekre az (A ∨ B) → (B ∨ ¬C ∨ B) logikai kifejezés értéke hamis.

Megoldás. Az implikáció művelete csak akkor hamis, ha egy igaz premisszából hamis állítás következik. Ezért egy adott kifejezéshez az A ∨ B premisszának „igaznak” kell lennie, és a következménynek, azaz a B ∨ ¬C ∨ B kifejezésnek „hamisnak” kell lennie.

1) A ∨ B — a diszjunkció eredménye „igaz”, ha legalább az egyik operandus „igaz”;

2) B ∨ ¬C ∨ B - a kifejezés hamis, ha minden kifejezés „false” értékű, azaz B „hamis”; ¬C „hamis”, ezért a C változó értéke „igaz”;

3) ha figyelembe vesszük a premisszát, és figyelembe vesszük, hogy B „hamis”, akkor azt kapjuk, hogy A értéke „igaz”.

Válasz: A igaz, B hamis, C igaz.

3. példa Mi az a legnagyobb X egész szám, amelyre az állítás (35

Megoldás.Írjuk fel az implikációs művelet igazságtáblázatát:

X kifejezés< (X - 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.

Válasz: X = 5.

Logikai kifejezések használata geometriai régiók leírására

A geometriai régiók leírására logikai kifejezések használhatók. Ebben az esetben a feladat a következőképpen fogalmazódik meg: írjon fel egy adott geometriai régióra egy logikai kifejezést, amely akkor és csak akkor veszi fel az „igaz” értéket az x, y értékekre, ha bármely (x; y) koordinátájú pont tartozik hozzá. a geometriai tartományba.

Tekintsük egy geometriai régió leírását egy logikai kifejezés segítségével, példákon keresztül.

1. példa Meg van adva egy geometriai tartomány képe. Írjon egy logikai kifejezést, amely leírja a hozzá tartozó pontok halmazát!

1) .

Megoldás. Egy adott geometriai tartomány a következő tartományok halmazaként ábrázolható: az első tartomány - D1 - félsík $(x)/(-1) +(y)/(1) ≤ 1$, a második - D2 - egy kör, amelynek középpontja az origóban van $x ^2 + y^2 ≤ 1$. A metszéspontjuk D1 $∩$ D2 jelenti a kívánt régiót.

Eredmény: logikai kifejezés $(x)/(-1)+(y)/(1) ≤ 1 ∧ x^2 + y^2 ≤ 1$.

2)

Ez a terület a következőképpen írható fel: |x| ≤ 1 ∧ y ≤ 0 ∧ y ≥ -1.

Jegyzet. A logikai kifejezés konstruálásakor laza egyenlőtlenségeket használunk, ami azt jelenti, hogy az ábrák határai is az árnyékolt területhez tartoznak. Ha szigorú egyenlőtlenségeket használ, akkor a határokat nem veszik figyelembe. A területhez nem tartozó határok általában pontozott vonallal jelennek meg.

Megoldhatja az inverz problémát, nevezetesen: rajzoljon egy régiót egy adott logikai kifejezéshez.

2. példa Rajzolja le és árnyékolja be azt a területet, amelyre az y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y logikai feltétel teljesül< 2 .

Megoldás. A keresett terület három félsík metszéspontja. Az (x, y) síkon egyeneseket szerkesztünk y = x; y = -x; y = 2. Ezek a régió határai, és az utolsó y = 2 határ nem tartozik a régióhoz, ezért megrajzoljuk szaggatott vonal. Az y ≥ x egyenlőtlenség kielégítéséhez a pontoknak az y = x egyenes bal oldalán kell lenniük, és az y = -x egyenlőtlenség teljesül azokra a pontokra, amelyek az y = -x egyenestől jobbra vannak. Feltétel y< 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:

Logikai függvények használata elektromos áramkörök leírására

A logikai függvények nagyon hasznosak az elektromos áramkörök működésének leírására. ábrán látható áramkörre tehát, ahol az X változó értéke a kapcsoló állapota (ha be van kapcsolva, akkor X értéke „igaz”, ha ki van kapcsolva, akkor „false” ), ez az Y értéke a villanykörte állapota (ha be van kapcsolva - az érték „igaz”, és ha nem - „hamis”), a logikai függvény a következőképpen lesz írva: Y = X. Az Y függvényt hívjuk vezetőképességi függvény.

ábrán látható áramkörre az Y logikai függvény alakja: Y = X1 ∪ X2, mivel egy bekapcsolás elegendő ahhoz, hogy az izzó kigyulladjon. ábra szerinti áramkörben ahhoz, hogy az izzó kigyulladjon, mindkét kapcsolót be kell kapcsolni, ezért a vezetőképesség függvény alakja: Y = X1 ∧ X2.

Bonyolultabb áramkör esetén a vezetőképesség függvény a következő formában lesz: Y = (X11 ∨ (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).

Az áramkör rövidzárlati érintkezőket is tartalmazhat. Ebben az esetben a nyitott érintkező kapcsolóként működik, amely biztosítja, hogy a villanykörte a gomb elengedésekor és nem megnyomásakor világítson. Az ilyen áramköröknél a leválasztó kapcsolót negáció írja le.

A két sémát ún egyenértékű, ha az egyiken áram megy át, akkor a másikon is átmegy. Két egyenértékű áramkör közül az egyszerűbb az, amelynek vezetőképességi függvénye kisebb számú elemet tartalmaz. A feladat megtalálni a legtöbbet egyszerű áramkörök az egyenlők között nagyon fontos.

A logikai algebra apparátusának felhasználása logikai áramkörök tervezésében

A logikai algebra matematikája nagyon hasznos a számítógépes hardver működésének leírásához. A számítógépen történő feldolgozás során minden információ itt jelenik meg bináris forma, azaz egy bizonyos 0 és 1 szekvencia kódolja. A 0-nak és 1-nek megfelelő bináris jelek feldolgozását számítógépben logikai elemek végzik. Logikai kapuk, amelyek alapvető logikai műveleteket hajtanak végre ÉS, VAGY, NEM,ábrán mutatjuk be.

A logikai elemek szimbólumai szabványosak, és a számítógép logikai áramköreinek elkészítésekor használatosak. Ezekkel az áramkörökkel bármilyen logikai függvényt megvalósíthat, amely leírja a számítógép működését.

Technikailag egy számítógépes logikai elem kerül megvalósításra az űrlapon elektromos diagram, amely különféle alkatrészek összekötése: diódák, tranzisztorok, ellenállások, kondenzátorok. Egy logikai elem, amelyet kapunak is neveznek, bemenete magas és alacsony feszültségszintű elektromos jeleket fogad, és egy kimeneti jelet is kiadunk magas vagy alacsony szinten. Ezek a szintek a bináris rendszer valamelyik állapotának felelnek meg: 1 - 0; AZ IGAZSÁG HAMIS. Minden logikai elemnek megvan a maga szimbóluma, amely kifejezi logikai funkcióját, de nem jelzi, hogy melyik elektronikus áramkör valósul meg benne. Ez megkönnyíti az összetett logikai áramkörök írását és megértését. A logikai áramkörök működését igazságtáblázatok segítségével írjuk le. A VAGY diagramban a szimbólum az „1” jel – a diszjunkció elavult „>=1” jelöléséből (a diszjunkció értéke 1, ha a két operandus összege 1 vagy nagyobb). Az „&” jel az ÉS diagramban az angol és szó rövidítése.

Az elektronikus logikai áramkörök bonyolultabb logikai műveleteket végrehajtó logikai elemekből készülnek. A NOT, OR, AND elemekből álló logikai elemek halmazát, amelyek segítségével tetszőleges bonyolultságú logikai struktúrát lehet felépíteni, az ún. funkcionálisan teljes.

Logikai kifejezések igazságtáblázatainak felépítése

Egy logikai képlethez mindig írhatsz igazságtáblázat, azaz táblázatos formában mutasson be egy adott logikai függvényt. Ebben az esetben a táblázatnak tartalmaznia kell a függvényargumentumok (képletek) és a megfelelő függvényértékek összes lehetséges kombinációját (a képlet eredményeit egy adott értékkészleten).

Egy függvény értékeinek megtalálásakor kényelmes rögzítési forma egy táblázat, amely a változók és a függvényértékek értékein kívül a közbenső számítások értékeit is tartalmazza. Tekintsünk egy példát igazságtáblázat felépítésére a $(X1)↖(-) ∧ X2 ∨ (X1 ∨ X2)↖(-) ∨ X1$ képlethez.

Ha egy függvény a változóértékek összes halmazára 1-et vesz fel, akkor az ugyanúgy igaz; ha a függvény minden bemeneti értékkészletnél 0 értéket vesz fel, akkor az egyformán hamis; ha a kimeneti értékek halmaza 0-t és 1-et is tartalmaz, a függvény meghívásra kerül megvalósítható. A fenti példa egy azonosan igaz függvény példája.

A logikai függvény analitikus formájának ismeretében mindig a logikai függvények táblázatos formájára léphet. Egy adott igazságtáblázat segítségével megoldható az inverz probléma, nevezetesen: egy adott táblázathoz készítsünk egy analitikai képletet egy logikai függvényhez. Egy logikai függvény analitikai függőségének táblában megadott függvényen alapuló felépítésének két formája van.

1. Disjunktív normál forma (DNF)- hamis értékekre változókból és tagadásaikból képzett szorzatok összege.

A DNF létrehozásának algoritmusa a következő:

1. az igazságtáblázatban a függvények olyan argumentumkészleteket választanak ki, amelyek logikai alakjai 1-gyel egyenlőek ("igaz");
2. az összes kiválasztott logikai halmazt az argumentumok logikai szorzataként írjuk le, szekvenciálisan összekapcsolva azokat a logikai összeg (diszjunkció) művelettel;
3. hamis argumentumok esetén egy negációs művelet kerül beírásra a felépített rekordba.

Példa. Készítsen függvényt, amely meghatározza, hogy az első szám egyenlő-e a másodikkal a DNF módszer segítségével. A függvény igazságtáblázata így néz ki

Megoldás. Az argumentumértékek készleteit választjuk ki, amelyekben a függvény 1-gyel egyenlő. Ezek a táblázat első és negyedik sorai (a számozásnál nem vesszük figyelembe a fejlécet).

Felírjuk ezeknek a halmazoknak az argumentumainak logikai szorzatait, összevonva azokat egy logikai összeggel: X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2.

Felírjuk a kiválasztott halmazok hamis értékű argumentumainak tagadását (a táblázat negyedik sora; a képlet második halmaza; az első és második elem): X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(- )$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Válasz: F(X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

2. Konjunktív normál forma (CNF)- a változókból képzett összegek és tagadásaik szorzata valódi értékekre.

A CNF felépítésének algoritmusa a következő:

1. az igazságtáblázatban olyan argumentumkészletek kerülnek kiválasztásra, amelyek logikai alakjai 0-val egyenlőek („hamis”);
2. az összes kiválasztott logikai halmaz, mint argumentumok logikai összege, szekvenciálisan íródnak, összekapcsolva azokat egymással egy logikai szorzat (konjunkció) műveletével;
3. Az igaz argumentumok esetén a megszerkesztett rekordban egy negációs művelet kerül megadásra.

Példák problémamegoldásra

1. példa Tekintsük az előző példát, azaz készítsünk egy függvényt, amely meghatározza, hogy az első szám egyenlő a másodikkal, a CNF módszer segítségével. Egy adott függvény igazságtáblázatának alakja van

Megoldás. Olyan argumentumérték-készleteket választunk ki, amelyekben a függvény 0-val egyenlő. Ez a második és a harmadik sor (a fejléc sort nem vesszük figyelembe a számozásnál).

Felírjuk ezeknek a halmazoknak az argumentumainak logikai összegét, kombinálva őket egy logikai szorzattal: X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2.

Felírjuk a kiválasztott halmazok igaz értékű argumentumainak tagadását (a tábla második sora, a képlet első halmaza, a második elem; a harmadik sorra, ez pedig a képlet második halmaza , az első elem): X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $( X1)↖(-)$ ∨ X2.

Így megkaptuk a logikai függvény rekordját a CNF-ben.

Válasz: X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2.

A két módszerrel kapott függvényértékek egyenértékűek. Ennek bizonyítására a logika szabályait használjuk: F(X1, X2) = X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2 = X1 ∧ $(X1)↖ (-)$ ∨ X1 ∧ X2 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ $(X2) )↖(- )$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

2. példa. Szerkesszünk logikai függvényt egy adott igazságtáblázathoz:

A szükséges képlet: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 .

Leegyszerűsíthető: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) = X2 ∧ 1 = X2.

3. példa Az adott igazságtáblázathoz készítsünk egy logikai függvényt a DNF metódussal.

A szükséges képlet: X1 ∧ X2 ∧ X ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∪ X1 ∧ $(X2)ↈ(-)$ $ (X3)↖(-)$.

A képlet meglehetősen nehézkes, és egyszerűsíteni kell:

X1 ∧ X2 ∧ X3 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∨ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X3) ↖(-)$ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$ ∧ (X2 ∨ $(X2)↖(-)$) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$.

Igazságtáblázatok logikai problémák megoldásához

Az igazságtáblázatok összeállítása a logikai problémák megoldásának egyik módja. Ennek a megoldási módnak a használatakor a probléma által tartalmazott feltételeket speciálisan összeállított táblázatok segítségével rögzítik.

Példák problémamegoldásra

1. példa Hozzon létre egy igazságtáblázatot egy biztonsági eszközhöz, amely három érzékelőt használ, és akkor aktiválódik, ha közülük csak kettő zárlatos.

Megoldás. Nyilvánvaló, hogy a megoldás eredménye egy táblázat lesz, amelyben a kívánt Y(X1, X2, X3) függvény „true” értéket fog kapni, ha bármelyik két változó „true” értékű.

2. példa Készítsen órarendet aznapra, figyelembe véve, hogy számítástechnika óra csak az első vagy második, a matematika óra az első vagy a harmadik, a fizika óra a második vagy a harmadik lehet. Lehet-e olyan ütemtervet készíteni, amely minden követelménynek megfelel? Hány ütemezési lehetőség van?

Megoldás. A probléma könnyen megoldható, ha elkészíti a megfelelő táblázatot:

A táblázat azt mutatja, hogy két lehetőség van a kívánt ütemezéshez:

1. matematika, számítástechnika, fizika;
2. számítástechnika, fizika, matematika.

3. példa Három barát érkezett a sporttáborba - Peter, Boris és Alexey. Mindegyikük két sportágat szeret. Ismeretes, hogy hat ilyen sportág van: futball, jégkorong, síelés, úszás, tenisz, tollaslabda. Az is ismert, hogy:

1. Borisz a legidősebb;
2. jégkorongozónál fiatalabb labdarúgó;
3. focizik és jégkorongoznak, Péter pedig ugyanabban a házban lakik;
4. amikor veszekedés támad egy síelő és egy teniszező között, Boris kibékíti őket;
5. Péter nem tud teniszezni vagy tollaslabdázni.

Milyen sportokat szeret minden fiú?

Megoldás. Készítsünk egy táblázatot, és tükrözzük benne a probléma feltételeit, töltsük ki a megfelelő cellákat 0 és 1 számokkal, attól függően, hogy a megfelelő állítás hamis vagy igaz.

Mivel hatféle sportág létezik, kiderül, hogy minden fiút érdekel különböző típusok sport

A 4. feltételből az következik, hogy Borist nem érdekli a síelés vagy a tenisz, a 3. és 5. feltételből pedig az következik, hogy Péter nem tud focizni, jégkorongozni, teniszezni és tollaslabdázni. Következésképpen Péter kedvenc sportja a síelés és az úszás. Tegyük ezt a táblázatba, és a „Síelés” és „Úszás” oszlopok többi celláját töltsük ki nullákkal.

A táblázat azt mutatja, hogy csak Alexey tud teniszezni.

Az 1. és 2. feltételből az következik, hogy Boris nem futballista. Így Alexey focizik. Folytassuk a táblázat kitöltését. Írjunk be nullákat az „Alexey” sor üres celláiba.

Végre rájöttünk, hogy Borist érdekli a jégkorong és a tollaslabda. A döntő asztal így fog kinézni:

Válasz: Peter szeret síelni és úszni, Boris jégkorongozni és tollaslabdázni, Alexey pedig focizni és teniszezni.

Digitális áramkörben digitális jel egy olyan jel, amely két értéket vehet fel, amelyek logikai "1"-nek és logikai "0"-nak tekinthetők.

A logikai áramkörök akár 100 millió bemenetet is tartalmazhatnak, és léteznek ilyen gigantikus áramkörök. Képzelje el, hogy egy ilyen áramkör Boole-függvénye (egyenlete) elveszett. Hogyan lehet visszaállítani a legkevesebb időveszteséggel és hiba nélkül? A legtermékenyebb módja a diagram szintre bontása. Ezzel a módszerrel az előző réteg minden elemének kimeneti függvénye rögzítésre kerül, és a megfelelő bemenettel helyettesíthető a következő rétegben. Ma megvizsgáljuk a logikai áramkörök elemzésének ezt a módszerét annak minden árnyalatával.

A logikai áramkörök logikai elemekkel valósulnak meg: „NOT”, „AND”, „OR”, „AND-NOT”, „OR-NOT”, „XOR” és „Equivalence”. Az első három logikai elem lehetővé teszi, hogy bármilyen bonyolult logikai függvényt megvalósítson logikai alapon. Problémákat fogunk megoldani logikai áramkörökön, amelyeket pontosan logikai alapon implementálunk.

Számos szabványt használnak a logikai elemek kijelölésére. A leggyakoribbak az amerikai (ANSI), európai (DIN), nemzetközi (IEC) és orosz (GOST). Az alábbi ábra a logikai elemek megnevezéseit mutatja ezekben a szabványokban (nagyításhoz kattintson az ábrára a bal egérgombbal).

Ebben a leckében logikai áramkörökre vonatkozó problémákat oldunk meg, amelyekben a logikai elemeket a GOST szabvány jelöli.

A logikai áramkörök problémáinak két típusa van: a logikai áramkörök szintetizálásának és a logikai áramkörök elemzésének feladata. Kezdjük a második típusú feladattal, mivel ebben a sorrendben gyorsan megtanulhatjuk a logikai áramkörök olvasását.

Leggyakrabban a logikai áramkörök felépítésével kapcsolatban a logikai algebra funkcióit veszik figyelembe:

• három változó (elemzési feladatoknál és egy szintézis feladatnál lesz figyelembe véve);
• négy változó (a szintézis feladatokban, vagyis az utolsó két bekezdésben).

Tekintsük a logikai áramkörök felépítését (szintézisét).

• logikai alapon "ÉS", "VAGY", "NEM" (az utolsó előtti bekezdésben);
• a szintén gyakori „ÉS-NEM” és „VAGY-NEM” alapokon (az utolsó bekezdésben).

Logikai áramkör elemzési probléma

Az elemzés feladata a függvény meghatározása f, amelyet egy adott logikai áramkör valósít meg. Egy ilyen probléma megoldása során célszerű betartani a következő műveletsort.

1. A logikai diagram szintekre van felosztva. A szintek sorszámokat kapnak.
2. Az egyes logikai elemek kimeneteit a kívánt függvény neve jelöli, digitális indexszel ellátva, ahol az első számjegy a réteg sorszáma, a többi számjegy pedig a rétegben lévő elem sorozatszáma.
3. Minden elemhez írunk egy analitikus kifejezést, amely összeköti a kimeneti függvényét a bemeneti változókkal. A kifejezést az adott logikai elem által megvalósított logikai függvény határozza meg.
4. Egyes kimeneti függvények másokkal való helyettesítését addig hajtják végre, amíg egy logikai függvényt nem kapunk, amelyet bemeneti változókban fejezünk ki.

1. példa

Megoldás. A logikai áramkört rétegekre osztjuk, ami már az ábrán is látható. Írjuk fel az összes függvényt az 1. szinttől kezdve:

x, y, z :

2. példa Keresse meg egy logikai áramkör Boole-függvényét, és készítsen igazságtáblázatot a logikai áramkör számára.

3. példa Keresse meg egy logikai áramkör Boole-függvényét, és készítsen igazságtáblázatot a logikai áramkör számára.

Továbbra is együtt keressük a logikai áramkör Boole-függvényét

4. példa Keresse meg egy logikai áramkör Boole-függvényét, és készítsen igazságtáblázatot a logikai áramkör számára.

Megoldás. A logikai diagramot rétegekre osztjuk. Írjuk fel az összes függvényt az 1. szinttől kezdve:

Most írjuk fel az összes függvényt, helyettesítve a bemeneti változókat x, y, z :

Ennek eredményeként azt a függvényt kapjuk, amelyet a logikai áramkör a kimeneten megvalósít:

.

Igazságtáblázat ehhez a logikai áramkörhöz:

5. példa. Keresse meg egy logikai áramkör Boole-függvényét, és készítsen igazságtáblázatot a logikai áramkör számára.

Megoldás. A logikai diagramot rétegekre osztjuk. Ennek a logikai áramkörnek a szerkezete, az előző példákkal ellentétben, 5 szintből áll, nem 4-ből. De egy bemeneti változó - a legalacsonyabb - átfut az összes rétegen, és közvetlenül belép az első réteg logikai elemébe. Írjuk fel az összes függvényt az 1. szinttől kezdve:

Most írjuk fel az összes függvényt, helyettesítve a bemeneti változókat x, y, z :

Ennek eredményeként azt a függvényt kapjuk, amelyet a logikai áramkör a kimeneten megvalósít:

.

Igazságtáblázat ehhez a logikai áramkörhöz:

Logikai áramkörök logikai alapon történő szintetizálásának problémája

A logikai áramkör analitikai leírása szerinti fejlesztését a logikai áramkör szintézis problémájának nevezzük.

Minden diszjunkció (logikai összeg) egy „OR” elemnek felel meg, amelynek bemeneteinek számát a diszjunkcióban lévő változók száma határozza meg. Minden kötőszó (logikai szorzat) egy „ÉS” elemnek felel meg, amelynek bemeneteinek számát a konjunkcióban lévő változók száma határozza meg. Minden tagadás (inverzió) egy „NOT” elemnek felel meg.

A logikai tervezés gyakran a logikai függvény meghatározásával kezdődik, amelyet a logikai áramkörnek meg kell valósítania. Ebben az esetben csak a logikai áramkör igazságtáblázata van megadva. Éppen egy ilyen példát fogunk elemezni, vagyis egy olyan problémát oldunk meg, amely teljesen ellentétes a logikai áramkörök elemzésének fentebb tárgyalt problémájával.

6. példa. Készítsen logikai áramkört, amely egy függvényt valósít meg adott igazságtáblázattal.

Igazságtáblázatok felépítése összetett állításokhoz.

A logikai műveletek prioritása

1) inverzió 2) konjunkció 3) diszjunkció 4) implikáció és ekvivalencia

Hogyan készítsünk igazságtáblázatot?

A definíció szerint a logikai képlet igazságtáblázata az összes lehetséges változóérték-készlet és a képlet értékei közötti megfelelést fejezi ki.

Egy két változót tartalmazó képletnél csak négy ilyen változóérték-készlet létezik:

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Ha egy képlet három változót tartalmaz, akkor lehetséges készletek nyolc változó érték (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1) , (1, 1, 0), (1, 1, 1).

A négy változós képlet halmazainak száma tizenhat stb.

A képlet értékeinek megtalálásakor kényelmes rögzítési forma egy táblázat, amely a változók értékein és a képletértékeken kívül a köztes képletek értékeit is tartalmazza.

Példák.

1. Készítsünk igazságtáblázatot a 96%" style="width:96.0%"> képlethez

A táblázatból egyértelműen kiderül az x és y változók összes értékkészletére a képlet 1 értéket vesz fel, azaz van azonos az igaz.

2. Igazságtáblázat a 96%-os képlethez" style="width:96.0%">

A táblázatból egyértelműen kiderül az x és y változók összes értékkészletére a képlet 0 értéket vesz fel, azaz van egyformán hamis .

3. Igazságtáblázat a 96%-os képlethez" style="width:96.0%">

A táblázatból egyértelműen kiderül formula 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Következtetés: mindegyiket az utolsó oszlopban kaptuk. Ez azt jelenti, hogy a komplex állítás jelentése igaz a K és S egyszerű állítások bármely jelentésére. Következésképpen a tanár logikusan helyesen érvelt.

Az igazságtábla egy logikai függvényt leíró táblázat. A logikai függvény itt olyan függvény, amelyben a változók értéke és maga a függvény értéke az igazságot fejezi ki. Például az „igaz” vagy „hamis” értéket veszik fel (igaz vagy hamis, 1 vagy 0).

Az igazságtáblázatokat az állítás jelentésének meghatározására használják az azt alkotó állítások igazságértékeinek minden lehetséges esetére. A táblázatban szereplő összes létező kombináció számát az N=2*n képlet határozza meg; ahol N a lehetséges kombinációk száma, n a bemeneti változók száma. Az igazságtáblázatokat gyakran használják a digitális tervezésben és a Boole-algebrában a logikai áramkörök működésének leírására.

Igazságtáblázatok az alapvető funkciókhoz

Példák: kötőszó - 1&0=0, implikáció - 1→0=0.

A logikai műveletek sorrendje

Inverzió; kötőszó; Disjunkció; Következmény; Egyenértékűség; Schaeffer-féle stroke; Pierce nyila.

Az igazságtábla összeállításának (összeállításának) sorrendje:

1. Határozza meg a logikai kifejezésben használt változók N számát!
2. Számítsa ki a lehetséges változóérték-készletek számát M = 2 N, amely megegyezik a táblázat sorainak számával.
3. Számolja meg a logikai műveletek számát egy logikai kifejezésben, és határozza meg a táblázat oszlopainak számát, amely egyenlő a változók számával plusz a logikai műveletek számával.
4. Címezze meg a táblázat oszlopait a változók és a logikai műveletek neveivel!
5. Töltse ki a logikai változók oszlopait értékkészletekkel, például 0000-től 1111-ig 0001-es lépésekben négy változó esetén.
6. Töltse ki az igazságtáblázatot oszloponként a közbenső műveletek értékeivel balról jobbra.
7. Töltse ki az F függvény végső érték oszlopát.

Így saját maga is összeállíthat (konstruálhat) igazságtáblázatot.

Hozzon létre egy igazságtáblázatot online

Töltse ki a beviteli mezőt, majd kattintson az OK gombra. T - igaz, F - hamis. Javasoljuk, hogy vegye fel a könyvjelzők közé vagy mentse el ezt az oldalt. közösségi háló.

Megnevezések

1. Halmazok vagy kifejezések nagybetűvel Latin ábécé: A, B, C, D...
2. A" - prím - halmazok komplementerei
3. && - kötőszó ("és")
4. || - diszjunkció ("vagy")
5. ! - tagadás (például !A)
6. \cap - halmazok metszéspontja \cap
7. \cup - halmazok egyesítése (összeadás) \cup
8. A&!B - az A∖B=A-B különbség beállítása
9. A=>B - implikáció "Ha... akkor"
10. AB - ekvivalencia

A bemeneti adatokon valamilyen logikai művelet végrehajtására tervezett elektromos áramkört logikai elemnek nevezzük. A bemeneti adatok itt különböző szintű feszültségek formájában jelennek meg, és a kimeneten a logikai művelet eredménye is egy bizonyos szintű feszültség formájában jelenik meg.

Ebben az esetben az operandusokat táplálják - a logikai elem bemenetén magas vagy alacsony szintű feszültség formájában jelek érkeznek, amelyek lényegében bemeneti adatként szolgálnak. Így a magas szintű feszültség - a logikai 1 - az operandus valós értékét jelzi, az alacsony szintű 0 pedig hamis értéket. 1 - IGAZ, 0 - HAMIS.

Logikai elem- olyan elem, amely bizonyos logikai kapcsolatokat valósít meg a bemeneti és kimeneti jelek között. A logikai elemeket általában számítógépek logikai áramköreinek és diszkrét automatikus felügyeleti és vezérlő áramköröknek a felépítésére használják. Minden típusú logikai elemet, függetlenül azok fizikai természetétől, a bemeneti és kimeneti jelek diszkrét értékei jellemzik.

A logikai elemeknek egy vagy több bemenete és egy vagy két (általában egymáshoz képest fordított) kimenete van. A logikai elemek kimeneti jeleinek „nulla” és „egyes” értékét az elem által végrehajtott logikai funkció, valamint a lejátszott bemeneti jelek „nulla” és „egyes” értéke határozza meg. független változók szerepe. Vannak alapvető logikai függvények, amelyből bármilyen összetett logikai függvény összeállítható.

Az elemáramkör kialakításától, elektromos paramétereitől függően a bemenet és a kimenet logikai szintjei (magas és alacsony feszültségszintek) azonos értékekkel rendelkeznek a magas és az alacsony (igaz és hamis) állapotokhoz.

Hagyományosan a logikai elemeket speciális rádióalkatrészek - integrált áramkörök - formájában állítják elő. Az olyan logikai műveletek, mint a konjunkció, diszjunkció, negáció és modulo-összeadás (ÉS, VAGY, NEM, XOR) a logikai kapuk fő típusaival végzett alapvető műveletek. Ezután nézzük meg közelebbről az egyes típusú logikai elemeket.

Logikai elem "AND" - kötőszó, logikai szorzás, ÉS

Az „ÉS” egy logikai elem, amely konjunkciót vagy logikai szorzást hajt végre a bemeneti adatokon. Ez a dolog 2-től 8-ig (a gyártásban a legelterjedtebbek az „ÉS” elemek 2, 3, 4 és 8 bemenettel) bemenetei és egy kimenete lehet.

Az ábrán láthatók az „ÉS” logikai elemek különböző számú bemeneti jelei. A szövegben egy bizonyos számú bemenettel rendelkező „ÉS” logikai elemet „2I”, „4I” stb.-nek jelölünk - egy „AND” elemet két bemenettel, négy bemenettel stb.

A 2I elem igazságtáblázata azt mutatja, hogy az elem kimenete csak akkor lesz logikai, ha a logikaiak egyszerre vannak az első bemeneten ÉS a második bemeneten. A fennmaradó három lehetséges esetben a kimenet nulla lesz.

A nyugati diagramokban az I elem ikonjának egy egyenes vonala van a bemeneten és egy lekerekített vonal a kimeneten. A hazai diagramokon - egy téglalap „&” szimbólummal.

Logikai elem "OR" - diszjunkció, logikai összeadás, VAGY

Az „OR” egy logikai elem, amely diszjunkciót vagy logikai összeadást hajt végre a bemeneti adatokon. Az „I” elemhez hasonlóan két, három, négy stb. bemenettel és egy kimenettel is elérhető. A különböző számú bemenettel rendelkező "OR" logikai elemek szimbólumait az ábra mutatja. Ezeket az elemeket a következőképpen jelöljük: 2OR, 3OR, 4OR stb.

A „2OR” elem igazságtáblázata azt mutatja, hogy ahhoz, hogy egy logikai megjelenjen a kimeneten, elegendő, ha a logikai az első bemeneten, VAGY a második bemeneten van. Ha egyszerre két bemeneten vannak logikaiak, akkor a kimenet is egy lesz.

A nyugati diagramokban az „OR” elem ikonjának van egy lekerekített bemenete és egy lekerekített, hegyes kimenete. A hazai diagramokon egy téglalap található „1” szimbólummal.

Logikai elem "NOT" - negáció, inverter, NEM

A „NOT” egy logikai elem, amely logikai negációs műveletet hajt végre a bemeneti adatokon. Ezt az egy kimenettel és csak egy bemenettel rendelkező elemet inverternek is nevezik, mivel valójában invertálja (megfordítja) a bemeneti jelet. Az ábrán a „NOT” logikai elem szimbóluma látható.

Az inverter igazságtáblázata azt mutatja, hogy a nagy bemeneti potenciál alacsony kimeneti potenciált eredményez, és fordítva.

A nyugati diagramokon a „NEM” elem ikonja háromszög alakú, a kimeneten körrel. A hazai diagramokon egy téglalap található „1” szimbólummal, a kimeneten egy kör.

Logikai elem "NAND" - konjunkció (logikai szorzás) tagadással, NAND

Az „AND-NOT” egy logikai elem, amely logikai összeadás műveletet hajt végre a bemeneti adatokon, majd egy logikai negálás műveletet, az eredményt elküldi a kimenetre. Más szóval, ez alapvetően egy „ÉS” elem, kiegészítve egy „NOT” elemmel. Az ábrán a „2AND-NOT” logikai elem szimbóluma látható.

A NAND-kapu igazságtáblázata az ÉS-kapu igazságtáblázatának ellentéte. Három nulla és egy helyett három egyes és egy nulla van. A NAND elemet „Schaeffer elemnek” is nevezik Henry Maurice Schaeffer matematikus tiszteletére, aki először 1913-ban jegyezte meg jelentőségét. „I”-ként jelölve, csak egy körrel a kimeneten.

Logikai elem "OR-NOT" - disjunkció (logikai összeadás) tagadással, NOR

Az „OR-NOT” egy logikai elem, amely egy logikai összeadás műveletet hajt végre a bemeneti adatokon, majd egy logikai negációs műveletet, az eredményt elküldi a kimenetre. Más szóval, ez egy „OR” elem, kiegészítve egy „NOT” elemmel - egy inverterrel. Az ábrán a „2OR-NOT” logikai elem szimbóluma látható.

A VAGY-kapu igazságtáblázata ellentéte a VAGY-kapu igazságtáblázatának. Magas kimeneti potenciál csak egy esetben érhető el - alacsony potenciál egyidejűleg mindkét bemenetre vonatkozik. „OR”-ként van jelölve, csak a kimeneten egy kör jelzi az inverziót.

Logikai kapu "exkluzív VAGY" - kiegészítés modulo 2, XOR

Az „exkluzív VAGY” egy logikai elem, amely modulo 2 logikai összeadási műveletet hajt végre a bemeneti adatokon, két bemenete és egy kimenete van. Ezeket az elemeket gyakran használják a vezérlőáramkörökben. Az ábra ennek az elemnek a szimbólumát mutatja.

A kép a nyugati áramkörökben „OR”-szerű, a bemeneti oldalon további íves csíkkal, a hazaiakban „OR”-os, csak „1” helyett „=1” lesz írva.

Ezt a logikai elemet „egyenértékűségnek” is nevezik. Magas szint feszültség csak akkor lesz a kimeneten, ha a bemeneten lévő jelek nem egyenlőek (az egyik az egyik, a másik nulla, vagy az egyik nulla, a másik pedig egy), még akkor is, ha egyszerre két egység van a bemeneten idő, a kimenet nulla lesz - ez a különbség a „ VAGY”-tól. Ezeket a logikai elemeket széles körben használják az összeadókban.