Ce înseamnă e x? Funcție: domeniul definiției și domeniul valorilor funcțiilor. Extinderea seriei de putere

Exponentul este notat ca , sau .

Numărul e

Baza gradului de exponent este numărul e. Acesta este un număr irațional. Este aproximativ egal
e ≈ 2,718281828459045...

Numărul e este determinat prin limita secvenței. Acesta este așa-numitul a doua limită minunată:
.

Numărul e poate fi reprezentat și ca o serie:
.

Graficul exponențial

Graficul arată exponențialul eîntr-o măsură X.
y (x) = e x
Graficul arată că exponentul crește monoton.

Formule

Formulele de bază sunt aceleași ca pentru funcția exponențială cu o bază de gradul e.

;
;
;

Exprimarea unei funcții exponențiale cu o bază arbitrară de gradul a printr-o exponențială:
.

Valori private

Lasă y (x) = e x. Apoi
.

Proprietățile exponentului

Exponentul are proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază de putere e > 1 .

Domeniu, set de valori

Exponentul y (x) = e x definit pentru toate x.
Domeniul său de definiție:
- ∞ < x + ∞ .
Multele sale semnificații:
0 < y < + ∞ .

Extreme, în creștere, în scădere

Exponențiala este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.

Funcție inversă

Inversa exponentului este logaritmul natural.
;
.

Derivată a exponentului

Derivat eîntr-o măsură X egal cu eîntr-o măsură X :
.
Derivată de ordin al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Integral

Numere complexe

Operațiile cu numere complexe se efectuează folosind formulele lui Euler:
,
unde este unitatea imaginară:
.

Expresii prin funcții hiperbolice

; ;
.

Expresii folosind funcții trigonometrice

; ;
;
.

Extinderea seriei de putere

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

probabilitate- un număr între 0 și 1 care reflectă șansele ca un eveniment să se producă aleatoriu, unde 0 este absența completă a probabilității ca evenimentul să se producă, iar 1 înseamnă că evenimentul în cauză va avea loc cu siguranță.

Probabilitatea evenimentului E este un număr de la 1.
Suma probabilităților evenimentelor care se exclud reciproc este egală cu 1.

probabilitate empirică- probabilitatea, care se calculează ca frecvență relativă a unui eveniment din trecut, extrasă din analiza datelor istorice.

Probabilitatea unor evenimente foarte rare nu poate fi calculată empiric.

probabilitate subiectivă- probabilitatea bazată pe o evaluare subiectivă personală a unui eveniment fără a ține cont de datele istorice. Investitorii care iau decizii de cumpărare și vânzare de acțiuni acționează adesea pe baza unor considerații de probabilitate subiectivă.

probabilitate anterioară -

Șansa este de 1 în... (cotă) ca un eveniment să se producă prin conceptul de probabilitate. Șansa ca un eveniment să se producă este exprimată prin probabilitate după cum urmează: P/(1-P).

De exemplu, dacă probabilitatea unui eveniment este 0,5, atunci șansa evenimentului este 1 din 2 deoarece 0,5/(1-0,5).

Șansa ca un eveniment să nu se producă este calculată folosind formula (1-P)/P

Probabilitate inconsecventă- de exemplu, prețul acțiunilor companiei A ia în considerare eventualul eveniment E cu 85%, iar prețul acțiunilor companiei B ia în considerare doar 50%. Aceasta se numește probabilitate inconsistentă. Conform teoremei olandeze de pariuri, probabilitatea inconsecventă creează oportunități de profit.

Probabilitate necondiționată este răspunsul la întrebarea „Care este probabilitatea ca evenimentul să se producă?”

Probabilitate condițională- acesta este răspunsul la întrebarea: „Care este probabilitatea evenimentului A dacă are loc evenimentul B”. Probabilitatea condiționată se notează ca P(A|B).

Probabilitate comună- probabilitatea ca evenimentele A și B să se producă simultan. Notat ca P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Regula pentru însumarea probabilităților:

Probabilitatea ca fie evenimentul A, fie evenimentul B să se întâmple este

P (A sau B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Dacă evenimentele A și B se exclud reciproc, atunci

P (A sau B) = P(A) + P(B)

Evenimente independente- evenimentele A şi B sunt independente dacă

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Adică, este o secvență de rezultate în care valoarea probabilității este constantă de la un eveniment la altul.
O aruncare a unei monede este un exemplu de astfel de eveniment - rezultatul fiecărei aruncări ulterioare nu depinde de rezultatul celui precedent.

Evenimente dependente- sunt evenimente în care probabilitatea apariției unuia depinde de probabilitatea apariției altuia.

Regula de înmulțire a probabilităților de evenimente independente:
Dacă evenimentele A și B sunt independente, atunci

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Regula probabilității totale:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S și ​​S" sunt evenimente care se exclud reciproc

valorea estimata o variabilă aleatoare este media rezultatelor posibile ale unei variabile aleatoare. Pentru evenimentul X, așteptarea este notată ca E(X).

Să presupunem că avem 5 valori ale evenimentelor care se exclud reciproc cu o anumită probabilitate (de exemplu, venitul unei companii a fost o sumă cu o asemenea probabilitate). Valoarea așteptată este suma tuturor rezultatelor înmulțită cu probabilitatea lor:

Dispersia unei variabile aleatoare este așteptarea abaterilor pătrate ale unei variabile aleatoare de la așteptarea ei:

s 2 = E( 2 ) (6)

Valoarea așteptată condiționată este valoarea așteptată a unei variabile aleatoare X, cu condiția ca evenimentul S să fi avut deja loc.

A descrie e ca „o constantă aproximativ egală cu 2,71828...” este ca și cum ai numi pi „un număr irațional aproximativ egal cu 3,1415...”. Acest lucru este, fără îndoială, adevărat, dar ideea încă ne scapă.

Pi este raportul dintre circumferință și diametru, același pentru toate cercurile. Este o proporție fundamentală comună tuturor cercurilor și, prin urmare, este implicată în calcularea circumferinței, ariei, volumului și suprafeței pentru cercuri, sfere, cilindri etc. Pi arată că toate cercurile sunt legate, ca să nu mai vorbim de funcțiile trigonometrice derivate din cercuri (sinus, cosinus, tangentă).

Numărul e este raportul de creștere de bază pentru toate procesele în creștere continuă. Numărul e vă permite să luați o rată de creștere simplă (unde diferența este vizibilă doar la sfârșitul anului) și să calculați componentele acestui indicator, creștere normală, în care cu fiecare nanosecundă (sau chiar mai rapid) totul crește puțin. Mai mult.

Numărul e este implicat atât în ​​sistemele de creștere exponențială, cât și în cele constante: populație, dezintegrare radioactivă, calcul procentual și multe, multe altele. Chiar și sistemele în trepte care nu cresc uniform pot fi aproximate folosind numărul e.

Așa cum orice număr poate fi gândit ca o versiune „la scară” a lui 1 (unitatea de bază), orice cerc poate fi gândit ca o versiune „la scară” a cercului unității (cu raza 1). Și orice factor de creștere poate fi privit ca o versiune „la scară” a lui e (factorul de creștere „unitate”).

Deci numărul e nu este un număr aleatoriu luat la întâmplare. Numărul e întruchipează ideea că toate sistemele în continuă creștere sunt versiuni scalate ale aceleiași metrici.

Conceptul de creștere exponențială

Să începem prin a revizui sistem de bază, care se dublează pentru o anumită perioadă de timp. De exemplu:

• Bacteriile se împart și se „dublează” la fiecare 24 de ore
• Obținem de două ori mai mulți tăiței dacă îi rupem în jumătate
• Banii tăi se dublează în fiecare an dacă faci profit 100% (norocos!)

Si arata cam asa:

Împărțirea cu doi sau dublarea este o progresie foarte simplă. Desigur, putem tripla sau cvadrupla, dar dublarea este mai convenabilă pentru explicație.

Matematic, dacă avem x diviziuni, ajungem cu de 2^x ori mai bine decât am început. Dacă se face doar 1 partiție, obținem de 2^1 ori mai mult. Dacă există 4 partiții, obținem 2^4=16 părți. Formula generală arată astfel:

înălţime= 2 x

Cu alte cuvinte, o dublare este o creștere de 100%. Putem rescrie această formulă astfel:

înălţime= (1+100%) x

Aceasta este aceeași egalitate, tocmai am împărțit „2” în părțile sale componente, care în esență este acest număr: valoarea initiala(1) plus 100%. Deștept, nu?

Desigur, putem înlocui orice alt număr (50%, 25%, 200%) în loc de 100% și obținem formula de creștere pentru acest nou coeficient. Formula generală pentru x perioade ale seriei temporale va fi:

înălţime = (1+creştere)X

Aceasta înseamnă pur și simplu că folosim rata de returnare, (1 + câștig), „x” ori la rând.

Să aruncăm o privire mai atentă

Formula noastră presupune că creșterea are loc în pași discreti. Bacteriile noastre asteapta si asteapta, apoi bam!, iar in ultimul moment isi dubleaza numarul. Profitul nostru din dobânda la depozit apare în mod magic exact după 1 an. Pe baza formulei scrise mai sus, profiturile cresc în trepte. Punctele verzi apar brusc.

Dar lumea nu este întotdeauna așa. Dacă mărim, putem vedea că prietenii noștri bacterieni se împart în mod constant:

Tipul verde nu se naște din nimic: el crește încet din părintele albastru. După 1 perioadă de timp (24 de ore în cazul nostru), prietenul verde este deja pe deplin copt. După ce s-a maturizat, el devine un membru albastru cu drepturi depline al turmei și poate crea el însuși noi celule verzi.

Ne vor schimba aceste informații ecuația în vreun fel?

Nu. În cazul bacteriilor, celulele verzi semiformate încă nu pot face nimic până când nu cresc și se separă complet de părinții lor albaștri. Deci ecuația este corectă.

Deși această legătură la prima vedere pare complet neevidentă (matematica științifică, s-ar părea, este una, iar economia și finanțele sunt cu totul altceva), dar odată ce studiezi istoria „descoperirii” acestui număr, totul devine evident. De fapt, indiferent de modul în care științele sunt împărțite în diferite ramuri aparent fără legătură, paradigma generală va fi în continuare aceeași (în special, pentru societatea de consum - matematica „de consum”).

Să începem cu o definiție. e este baza logaritmului natural, o constantă matematică, un număr irațional și transcendental. Uneori, numărul e se numește numărul Euler sau numărul Napier. Notat cu litera latină minusculă „e”.

Deoarece funcția exponențială e^x este integrată și diferențiată „în sine”, logaritmii bazați pe baza e sunt acceptați ca naturali (deși chiar numele de „naturalitate” ar trebui să fie în mare îndoială, deoarece toată matematica se bazează în esență pe baza inventată artificial). cele, divorțate de principiile fictive ale naturii și deloc pe cele naturale).

Acest număr este uneori numit Nepier în onoarea savantului scoțian Napier, autor al lucrării „Descrierea tabelului uimitor al logaritmilor” (1614). Cu toate acestea, acest nume nu este în întregime corect, deoarece Napier nu a folosit în mod direct numărul în sine.

Constanta apare pentru prima dată tacit într-un apendice la traducerea în limba engleză a lucrării lui Napier menționată mai sus, publicată în 1618. În culise, deoarece conține doar un tabel de logaritmi naturali determinati din considerente CINEMATICE, dar constanta în sine nu este prezentă.

Constanta în sine a fost calculată pentru prima dată de matematicianul elvețian Bernoulli (conform versiunea oficialăîn 1690) în cursul rezolvării problemei valorii marginale a VENITURILOR din dobânzi. El a descoperit că, dacă suma inițială este de 1 USD (moneda este complet neimportantă) și a compus 100% pe an o dată la sfârșitul anului, atunci valoare totală va fi 2 dolari. Dar dacă aceeași dobândă este compusă de două ori pe an, atunci 1 USD este înmulțit cu 1,5 de două ori, rezultând 1,00 USD x 1,5² = 2,25 USD. Dobânda compusă are ca rezultat trimestrial 1,00 USD x 1,254 = 2,44140625 USD și așa mai departe. Bernoulli a arătat că, dacă frecvența calculului dobânzii CREȘTE INFINIT, atunci venitul din dobânzi în cazul dobânzii compuse are o limită - iar această limită este egală cu 2,71828...

1,00 USD×(1+1/12)12 = 2,613035 USD...

$1,00×(1+1/365)365 = $2,714568… - în limită numărul e

Astfel, numărul e înseamnă de fapt din punct de vedere istoric PROFITUL ANUAL maxim posibil la 100% pe an și frecvența maximă de capitalizare a dobânzii. Și ce legătură au legile Universului cu asta? Numărul e este unul dintre elementele de bază ale economiei monetare a dobânzii de împrumut într-o societate de consum, sub care încă de la început, chiar și la nivel filosofic mental, toată matematica folosită astăzi a fost ajustată și ascuțită de câteva secole. în urmă.

Prima utilizare cunoscută a acestei constante, unde era desemnată cu litera b, apare în scrisorile lui Leibniz către Huygens, 1690-1691.

Euler a început să folosească litera e în 1727, aceasta apare pentru prima dată într-o scrisoare a lui Euler către matematicianul german Goldbach din 25 noiembrie 1731, iar prima publicație cu această scrisoare a fost lucrarea sa „Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically. ”, 1736. În consecință, e se numește de obicei numărul Euler. Deși unii savanți au folosit ulterior litera c, litera e a fost folosită mai des și este denumirea standard astăzi.

Nu se știe exact de ce a fost aleasă litera e. Poate că acest lucru se datorează faptului că cuvântul exponențial („indicativ”, „exponențial”) începe cu el. O altă sugestie este că literele a, b, c și d erau deja utilizate destul de comun în alte scopuri, iar e a fost prima literă „liberă”. De asemenea, este de remarcat faptul că litera e este prima literă din numele de familie Euler.

Dar, în orice caz, a spune că numărul e se referă cumva la legile universale ale Universului și ale naturii este pur și simplu absurd. Acest număr, prin conceptul în sine, a fost inițial legat de sistemul monetar de credit și financiar și, în special prin acest număr (dar nu numai), ideologia sistemului de credit și financiar a influențat indirect formarea și dezvoltarea tuturor celorlalte matematici și prin el toate celelalte științe (la urma urmei, fără excepție, știința calculează ceva folosind regulile și abordările matematicii). Numărul e joacă un rol important în calculul diferențial și integral, care prin el este de fapt legat și de ideologia și filozofia maximizării veniturilor din dobânzi (s-ar putea spune chiar că este conectat subconștient). Cum este legat logaritmul natural? Stabilirea e ca o constantă (împreună cu orice altceva) a condus la formarea unor conexiuni implicite în gândire, conform cărora toată matematica existentă pur și simplu nu poate exista izolată de sistemul monetar! Și în această lumină, nu este deloc surprinzător că vechii slavi (și nu numai ei) s-au descurcat perfect fără constante, numere iraționale și transcendentale și chiar fără numere și numere în general (literele au acționat ca numere în antichitate), logică diferită, gândire diferită în sistem în absența banilor (și, prin urmare, tot ceea ce este legat de ei) face ca toate cele de mai sus pur și simplu inutile.

Fiecare dintre funcții E testează valoarea specificată și returnează TRUE sau FALSE în funcție de rezultat. De exemplu, funcția GOL returnează valoarea booleană TRUE dacă valoarea testată este o referință la o celulă goală; în caz contrar, este returnată valoarea booleană FALSE.

Funcții E sunt folosite pentru a obține informații despre o valoare înainte de a efectua un calcul sau o altă acțiune asupra acesteia. De exemplu, pentru a efectua o acțiune diferită atunci când apare o eroare, puteți utiliza funcția EROAREîn combinație cu funcția DACĂ:

= DACĂ( EROARE(A1); "A avut loc o eroare."; A1*2)

Această formulă verifică o eroare în celula A1. Când apare o eroare, funcția DACĂ returnează mesajul „A apărut o eroare”. Dacă nu există erori, funcția DACĂ calculează produsul A1*2.

Sintaxă

EMPTY(valoare)

EOS(valoare)

EROARE(valoare)

ELOGIC(valoare)

UNM(valoare)

NETTEXT(valoare)

ETEXT(valoare)

argumentul funcției E sunt descrise mai jos.

sens Argument necesar. Valoarea care se verifică. Valoarea acestui argument poate fi o celulă goală, o valoare de eroare, o valoare booleană, text, un număr, o referință la oricare dintre obiectele listate sau numele unui astfel de obiect.

Note

Argumente în funcții E nu sunt convertite. Orice numere cuprinse între ghilimele sunt tratate ca text. De exemplu, în majoritatea celorlalte funcții care necesită un argument numeric, valoarea textului „19” este convertită la numărul 19. Cu toate acestea, în formula ISNUMBER("19") această valoare nu este convertită din text în număr, iar funcția ISNUMBER returnează FALSE.

Utilizarea funcțiilor E Este convenabil să verificați rezultatele calculelor în formule. Combinând aceste caracteristici cu funcția DACĂ, puteți găsi erori în formule (vezi exemplele de mai jos).

Exemple

Exemplul 1

Copiați eșantionul de date din următorul tabel și lipiți-l în celula A1 a noului Foaie Excel. Pentru a afișa rezultatele formulelor, selectați-le și apăsați F2, apoi apăsați Enter. Dacă este necesar, modificați lățimea coloanelor pentru a vedea toate datele.

Copiați eșantionul de date din tabelul de mai jos și inserați-l în celula A1 a unei noi foi de lucru Excel. Pentru a afișa rezultatele formulelor, selectați-le și apăsați F2, apoi apăsați Enter. Dacă este necesar, modificați lățimea coloanelor pentru a vedea toate datele.