Găsirea nucleului imaginii unui operator liniar. Formarea unei matrice a unei imagini integrale cu percepție separată a elementelor unui obiect complex. Teoria generală a sistemelor de ecuații liniare. Sisteme eterogene

Modificarea coordonatelor vectorului și matricei operatorului la trecerea la o nouă bază

Fie ca un operator liniar să acționeze din spațiu în sine și să fie alese două baze în spațiul liniar: și Să descompunem vectorii de bază „noi” în combinații liniare ale vectorilor de bază „vechii”:

Matricea care stă aici A cărei coloană este coloana de coordonate a vectorului de bază în baza „veche” se numește matrice de tranziție de la baza „veche” la cea „nouă”.„. Dacă acum coordonatele vectorului sunt în baza „veche” și coordonatele aceluiași vector sunt în baza „nouă”, atunci egalitatea este valabilă

Deoarece extinderea în bază este unică, rezultă că

S-a obţinut următorul rezultat.

Teorema 1.Coordonatele unui vector din bază și coordonatele aceluiași vector din bază sunt legate prin relații (2), unde este matricea de tranziție de la baza „veche” la cea „nouă”.

Să vedem acum cum matricele și același operator sunt legate între ele în baze și spații diferite Matrice și sunt definite de egalitățile Fie Această egalitate din bază este echivalentă cu egalitatea matricei

iar în baza egalității matriceale (aici se folosesc aceleași notații ca în (1)). Folosind teorema (1), vom avea

deoarece coloana este arbitrară, obținem egalitatea

Următorul rezultat a fost dovedit.

Teorema 2.Dacă matricea unui operator este în bază și matricea aceluiași operator este în bază Acea

Nota 1. Două matrice arbitrare și legate prin relația unde este o matrice nesingulară se numesc matrici similare. Astfel, două matrice ale aceluiași operator în baze diferite sunt similare.

Exemplul 1. Matricea operatorului din bază are forma

Găsiți matricea acestui operator în bază Calculați coordonatele vectorului din bază

Soluţie. Matricea de tranziție de la baza veche la cea nouă și matricea sa inversă au forma

prin urmare, prin teorema 2, matricea operatorului și noua bază vor fi după cum urmează:

Nota 2. Putem generaliza acest rezultat la operatori care acționează dintr-un spațiu liniar în altul. Să acționeze un operator dintr-un spațiu liniar într-un alt spațiu liniar și să fie alese două baze în spațiu: și și în spațiu – două baze și Apoi putem construi două matrice și operatorul liniar

și două matrici și tranziții de la baze „vechi” la cele „noi”:

Este ușor de arătat că în acest caz egalitatea este valabilă

Să fie dat un operator liniar care acționează dintr-un spațiu liniar într-un spațiu liniar. Următoarele concepte sunt utile în rezolvarea ecuatii lineare.

Definiția 1. Nucleul operatorului numit set

Imaginea operatorului numit set

Nu este greu de demonstrat următoarea afirmație.

Teorema 3.Nucleul și imaginea unui operator liniar sunt subspații liniare ale spațiilor și, respectiv, și egalitatea este valabilă

Pentru a calcula nucleul operatorului, este necesar să scrieți ecuația sub formă de matrice (prin alegerea bazelor în spații și respectiv) și să rezolvați sistemul algebric de ecuații corespunzător. Să explicăm acum cum poate fi calculată imaginea unui operator.

Fie matricea operatorului în baze și Să notăm prin coloana a--a a matricei Apartenența unui vector la o imagine înseamnă că există numere astfel încât coloana vectorului este reprezentată ca i.e. este un element al spațiului de combinații liniare de coloane de matrice. După ce am ales o bază în acest spațiu (de exemplu, setul maxim de coloane de matrice liniar independente), mai întâi calculăm imaginea operator de matrice: și apoi construiți imaginea operatorului:

Să dăm un exemplu de calcul a nucleului și a imaginii unui operator care acționează din spațiu în sine. În acest caz, bazele coincid.

Exemplul 2. Găsiți matricea, nucleul și imaginea operatorului de proiecție pe plan (spațiul tridimensional al vectorilor geometrici).

Soluţie. Să alegem o bază în spațiu (de exemplu, o bază standard). În această bază, matricea operatorului de proiecție se găsește din egalitatea Să găsim imaginile vectorilor de bază. Deoarece planul trece prin axă atunci

Prin urmare,

Aceasta înseamnă că matricea operatorului are forma

Nucleul operatorului de matrice este calculat din ecuație

Prin urmare,

(constantă arbitrară).

Imaginea operatorului de matrice este acoperită de toate coloanele liniar independente ale matricei, adică.

(constante arbitrare).

1

Clarificarea principiilor de integrare a informațiilor discrete în timpul percepției separate a elementelor obiect complex este o problemă interdisciplinară presantă. Articolul discută despre procesul de construire a unei imagini a unui obiect, care este un complex de blocuri, fiecare dintre acestea combinând un set de elemente mici. A fost aleasă ca obiect de studiu o situație conflictuală, întrucât a fost consecvent în domeniul atenției cu o strategie constantă de analiză a informațiilor. Circumstanțele situației erau componente ale obiectului și erau percepute separat ca prototipuri ale conflictului. Sarcina acestei lucrări a fost de a exprima matematic o matrice care să reflecte imaginea unei situații comportamentale problematice. Soluția problemei s-a bazat pe date dintr-o analiză vizuală a designului unei compoziții grafice, ale cărei elemente corespundeau circumstanțelor situaționale. Dimensiunea si caracteristici grafice elementele selectate, precum și distribuția lor în compoziție, au servit drept ghid pentru identificarea rândurilor și coloanelor din matricea imaginii. Studiul a arătat că proiectarea matricei este determinată, în primul rând, de motivația comportamentală, în al doilea rând, de relațiile cauză-efect ale elementelor situaționale și de succesiunea de obținere a informațiilor și, de asemenea, în al treilea rând, de selecția pieselor. de informații în conformitate cu parametrii lor de greutate. Se poate presupune că principiile vectorului matrice notate de formare a unei imagini a unei situații comportamentale sunt caracteristice pentru construirea de imagini și alte obiecte către care se îndreaptă atenția.

vizualizare

percepţie

discretia informatiilor

1. Anokhin P.K. Eseuri despre fiziologia sistemelor funcționale. – M.: Medicină, 1985. – 444 p.

2. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Algebra liniară: manual pentru universități. – Ed. a VI-a. – M.: Fizmatlit, 2004. -280 p.

3. Lavrov V.V. Creierul și psihicul. – Sankt Petersburg: RGPU, 1996. – 156 p.

4. Lavrov V.V., Lavrova N.M.Influența agresiunii asupra integrității, integrității, valorii și subiectivității imaginii unei situații conflictuale // Psihologie cognitivă: cercetare interdisciplinară și practici integrative. – Sankt Petersburg: VVM, 2015. – P. 342-347.

5. Lavrov V.V., Rudinsky A.V. Triada de strategii de procesare a informațiilor la recunoașterea imaginilor vizuale incomplete // Cercetare fundamentală. – 2014 – Nr. 6 (2). – p. 375-380.

6. Lavrova N.M., Lavrov V.V., Lavrov N.V. Mediere: luarea de decizii responsabile. – M: OPPL, 2013. – 224 p.

7. Shelepin Yu.E., Chikhman V.N., Foreman N. Analiza studiilor de percepție a imaginilor fragmentate - percepție holistică și percepție bazată pe caracteristici informative // ​​Russian Physiological Journal. 2008. – T. 94. Nr 7. – P. 758-776.

Rezultatele studiilor privind percepția imaginilor incomplete au extins perspectiva studierii principiilor care determină integrarea informațiilor discrete și montarea imaginilor complete. Analiza caracteristicilor de recunoaștere a imaginilor fragmentate atunci când sunt prezentate cu un număr în schimbare de fragmente a făcut posibilă urmărirea a trei strategii pentru construirea unei imagini complete în condiții de deficiență de informații. Strategiile au fost diferite în evaluarea semnificației informațiilor disponibile pentru formarea unei imagini coerente. Cu alte cuvinte, fiecare strategie a fost caracterizată prin manipularea parametrilor de greutate ai informațiilor disponibile. Prima strategie prevedea echivalența fragmentelor de imagine - identificarea acesteia a fost efectuată după acumularea de informații la un nivel suficient pentru o înțelegere completă a obiectului prezentat. A doua strategie s-a bazat pe o abordare diferențiată a evaluării ponderii informațiilor disponibile. Evaluarea a fost dată în conformitate cu ipoteza propusă cu privire la esența obiectului. Cea de-a treia strategie a fost determinată de motivația de a utiliza la maximum informațiile disponibile, cărora li sa acordat o pondere mare și a fost considerată un semn sau prototip al unui obiect real. Un punct importantÎn lucrările anterioare, am examinat mecanismele creierului care asigură o schimbare a strategiilor în funcție de emoția dominantă și motivația comportamentală. Aceasta se referă la sistemele cerebrale nespecifice și la eterogenitatea modulelor neuronale care funcționează sub controlul controlului central. Studiile efectuate, ca și cele cunoscute din surse literare, au lăsat deschisă problema principiilor distribuirii informației într-o imagine completă. Pentru a răspunde la întrebare, a fost necesar să se observe formarea imaginii obiectului asupra căruia s-a concentrat atenția de mult timp și strategia aleasă pentru construirea imaginii rămâne neschimbată. O situație conflictuală ar putea servi ca un astfel de obiect, întrucât a fost consecvent în domeniul atenției cu a doua strategie de analiză a circumstanțelor rămânând constantă. Părțile în litigiu au respins prima strategie din cauza creșterii duratei conflictului și nu au aplicat a treia strategie, evitând deciziile eronate.

Ţintă Această lucrare a avut ca scop clarificarea principiilor construcției unei matrice de imagini bazate pe elemente de informații obținute prin percepția separată a componentelor unui obiect complex către care s-a îndreptat atenția. Hotărât sarcinile următoare: în primul rând, au ales un obiect asupra căruia atenția a fost concentrată constant de mult timp, în al doilea rând, au folosit metoda de vizualizare a imaginii pentru a urmări fragmentarea informațiilor obținute în timpul percepției obiectului, iar apoi, în al treilea rând, pentru a formula principiile de distribuţie integrală a fragmentelor în matrice .

Materiale și metode de cercetare

O situație comportamentală problematică a servit ca obiect multicomponent care a fost stabil în câmpul atenției cu o strategie neschimbată pentru analiza informațiilor disponibile. Problema a fost cauzată de conflictul în relațiile dintre membrii familiei, precum și angajații de producție și institutii de invatamant. Experimentele în care a fost analizată imaginea situației au precedat medierea menită să rezolve contradicțiile dintre părțile în litigiu. Înainte de începerea negocierilor de mediere, reprezentanții părților în litigiu au primit o ofertă de a participa ca subiecți la experimente folosind o tehnică care facilitează analiza situației. Tehnica de vizualizare a presupus construirea unei compoziții grafice care să reflecte construcția imaginii care a apărut în timpul percepției separate a componentelor unui obiect complex. Tehnica a servit ca instrument pentru studierea proceselor de formare a unei imagini integrale dintr-un set de elemente corespunzătoare detaliilor obiectului. Grupul de subiecți a fost format din 19 femei și 8 bărbați cu vârste cuprinse între 28 și 65 de ani. Pentru a obține o imagine vizuală completă a situației, subiecților li s-a cerut să efectueze următoarele acțiuni: 1) restabilirea în memorie a împrejurărilor situației conflictuale - evenimente, relații cu oamenii, motive pentru propriul comportament și cei din jur; 2) evaluează circumstanțele în funcție de semnificația lor pentru înțelegerea esenței situației; 3) împărțiți circumstanțele în favorabile și nefavorabile pentru rezolvarea conflictului și încercați să urmăriți relația lor; 4) selectați, în opinia dumneavoastră, un element grafic potrivit (cerc, pătrat, triunghi, linie sau punct) pentru fiecare dintre circumstanțele care caracterizează situația; 5) alcătuiește o compoziție din elemente grafice, ținând cont de semnificația și relația împrejurărilor transmise de aceste elemente și desenează compoziția rezultată pe o coală de hârtie. Au fost analizate compozițiile grafice - s-a evaluat ordinea și raportul dimensiunilor elementelor imaginii. Compozițiile aleatoare, dezordonate au fost respinse, iar subiecților li s-a cerut să reconsidere interrelația circumstanțelor situaționale. Rezultatele analizei generalizate de compoziție au servit drept ghid pentru formularea expresiei matematice a matricei imaginii.

Rezultatele cercetării și discuții

Fiecare compoziție grafică prin care subiectul a reprezentat construcția imaginii unei situații comportamentale a fost originală. Exemple de compoziții sunt ilustrate în figură.

Compoziții grafice care reflectă imagini ale situațiilor comportamentale problematice în care se aflau subiecții (fiecare element al compoziției corespunde circumstanțelor situaționale)

Unicitatea compozițiilor a mărturisit abordarea responsabilă a subiecților la analiza situațiilor, ținând cont de trăsăturile distinctive ale acestora. Numărul de elemente din compoziție și dimensiunea elementelor, precum și designul compoziției, au reflectat evaluarea complexului de circumstanțe.

După ce s-a remarcat originalitatea compozițiilor, studiul s-a orientat către identificarea caracteristicilor fundamentale ale designului imaginii. În efortul de a construi o compoziție integrală care să reflecte imaginea situației, subiecții au distribuit elemente în conformitate cu preferințele lor individuale, precum și ținând cont de relațiile cauză-efect ale circumstanțelor și de combinația circumstanțelor de-a lungul timpului. Șapte subiecți au preferat să monteze compoziția sub forma unui desen, a cărui construcție a fost determinată de un plan figurativ predesenat. În fig. 1 (a, b, d) oferă exemple de astfel de compoziții. Înainte de a întocmi compoziția, doi subiecți au ales în mod conștient ideea care a stat la baza planului, iar cinci intuitiv, fără a da o explicație logică a motivului pentru care s-au hotărât pe varianta aleasă. Restul de douăzeci de subiecți au creat o compoziție schematică, acordând atenție doar relațiilor cauză-efect ale circumstanțelor și combinației circumstanțelor în timp (Fig. 1, c, e, f). În compoziție au fost combinate circumstanțe înrudite și coincidențe. Experimentele nu au interpretat esența conflictului folosind date grafice de compoziție. Această interpretare a fost efectuată ulterior în cadrul medierii, când a fost stabilită disponibilitatea părților de a negocia.

Analiza compozițiilor a făcut posibilă urmărirea nu numai a diferenței, ci și a universalității principiilor formării imaginii unei situații. În primul rând, compozițiile au constat din elemente grafice, fiecare dintre acestea reflectând circumstanțe care aveau un comun. Circumstanțele comune s-au datorat relațiilor cauza-efect și temporale. În al doilea rând, circumstanțele au avut o semnificație inegală pentru înțelegerea esenței situației problemei. Adică, circumstanțele diferă în ceea ce privește parametrii de greutate. Circumstanțele extrem de semnificative au fost descrise cu elemente grafice de dimensiuni mai mari în comparație cu cele mai puțin semnificative. Caracteristicile notate ale imaginii au fost luate în considerare la compilarea matricei imaginii. Aceasta înseamnă că mărimea și caracteristicile grafice ale elementelor selectate, precum și poziția lor spațială în compoziția grafică, au servit drept ghid pentru construirea unei matrice informaționale care să reflecte imaginea situației și să fie modelul ei matematic. O matrice dreptunghiulară, reprezentată ca un tabel, este împărțită în rânduri și coloane. În raport cu imaginea situației problemei care se formează, în matrice au fost identificate rânduri, care conțineau elemente ponderate ale prototipurilor, unite prin relații cauză-efect și temporale, și coloane care conțineau date elementare care diferă în parametrii de greutate.

(1)

Fiecare linie individuală reflecta formarea unei părți a imaginii sau, cu alte cuvinte, a unui prototip al obiectului. Cu cât sunt mai multe linii și cu cât m este mai mare, cu atât obiectul a fost perceput mai total, deoarece proprietățile structurale și funcționale care au servit drept prototipuri au fost luate mai pe deplin în considerare. Numărul de coloane n a fost determinat de numărul de detalii notate la construirea prototipului. Se poate presupune că, cu cât s-au acumulat mai multe fragmente de informații cu greutate mare și mică, cu atât prototipul corespundea mai pe deplin realității. Matricea (1) a fost caracterizată de dinamism, deoarece dimensiunea sa s-a schimbat în funcție de caracterul complet al imaginii obiectului perceput.

Este oportun să rețineți că integralitatea nu este singurul indicator al calității imaginii. Imaginile prezentate pe pânzele artiștilor sunt adesea inferioare fotografiilor în ceea ce privește detaliile și corespondența cu realitatea, dar în același timp pot fi superioare în asociere cu alte imagini, în stimularea imaginației și în provocarea de emoții. Observația făcută ajută la înțelegerea semnificației parametrilor amn, care indică ponderea fragmentelor de informații. Creșterea în greutate a compensat lipsa datelor disponibile. După cum a arătat un studiu al strategiilor de depășire a incertitudinii, recunoașterea importanței mari a informațiilor disponibile a accelerat luarea deciziilor într-o situație problematică.

Deci, procesul de formare a unei imagini integrale poate fi interpretat dacă îl corelăm cu manipularea informațiilor în cadrul matricei. Manipularea este exprimată printr-o modificare voluntară sau involuntară (conștientă, intenționată sau intuitivă) a parametrilor de greutate ai fragmentelor de informații, adică o modificare a valorii amn. În acest caz, valoarea bm, care caracterizează semnificația prototipului, crește sau scade și, în același timp, imaginea rezultată br se modifică. Dacă ne întoarcem la modelul matriceal de formare a imaginii, care acoperă un set de date privind un obiect, atunci organizarea imaginii este descrisă după cum urmează. Să notăm vectorul de preimagini care conține m componente prin

unde T este semnul transpoziției și fiecare element al vectorului preimagine are forma:

Apoi alegerea imaginii rezultate poate fi efectuată conform regulii lui Laplace:

unde br este rezultatul final al formării unei imagini solide, care are ca componente valorile bm, amn este un set de valori care determină poziția și parametrii de greutate ai variabilei în linia corespunzătoare preimaginei . In conditii informații limitate rezultatul final poate fi mărit prin creșterea ponderilor datelor disponibile.

La sfârșitul discuției materialului prezentat cu privire la principiile formării imaginii, se atrage atenția asupra necesității de a preciza termenul „imagine”, întrucât nu există o interpretare general acceptată în literatură. Termenul înseamnă, în primul rând, formarea unui sistem integral de fragmente informaţionale care corespund detaliilor obiectului din domeniul atenţiei. Mai mult, detaliile mari ale obiectului sunt reflectate de subsisteme de fragmente de informații care alcătuiesc prototipurile. Obiectul poate fi un obiect, fenomen, proces, precum și o situație comportamentală. Formarea unei imagini este asigurată de asocieri ale informațiilor primite și cele care sunt conținute în memorie și asociate cu obiectul perceput. Consolidarea fragmentelor și asocierilor de informații la crearea unei imagini se realizează în cadrul unei matrice, al cărei design și vector sunt alese conștient sau intuitiv. Alegerea depinde de preferințele stabilite de motivațiile comportamentului. Aici, se acordă o atenție deosebită punctului fundamental - discretitatea informațiilor utilizate pentru a asambla matricea integrală a imaginii. Integritatea, așa cum se arată, este asigurată de sistemele cerebrale nespecifice care controlează procesele de analiză a informațiilor primite și integrarea acesteia în memorie. Integritatea poate apărea la valori minime ale lui n și m egale cu unu. Imaginea capătă valoare ridicată datorită creșterii parametrilor de greutate a informațiilor disponibile, iar caracterul complet al imaginii crește pe măsură ce valorile lui n și m (1) cresc.

Concluzie

Vizualizarea elementelor imaginii a făcut posibilă urmărirea principiilor designului acesteia în condiții de percepție separată a circumstanțelor unei situații comportamentale problematice. În urma lucrărilor efectuate, s-a arătat că construcția unei imagini complete poate fi considerată ca distribuție a fragmentelor de informații în structura matricei. Designul și vectorul acestuia sunt determinate, în primul rând, de motivația comportamentală, în al doilea rând, de relațiile cauză-efect ale circumstanțelor și de succesiunea temporală de obținere a informațiilor și, în al treilea rând, de selecția informațiilor în conformitate cu parametrii lor de greutate. Integritatea matricei imaginii este asigurată de integrarea informațiilor discrete care reflectă obiectul perceput. Sistemele cerebrale nespecifice constituie mecanismul responsabil de integrarea informațiilor într-o imagine coerentă. Clarificarea principiilor matriceale de formare a imaginii unui obiect complex extinde perspectiva înțelegerii naturii nu numai a integrității, ci și a altor proprietăți ale imaginii. Aceasta se referă la integritatea și siguranța sistemului figurativ, precum și la valoarea și subiectivitatea cauzate de lipsa informatii complete relativ la obiect.

Link bibliografic

Lavrov V.V., Rudinsky A.V. FORMAREA UNEI MATRICE A IMAGINII INTEGRATE ÎN TIMPUL PERCEPTĂRII SEPARATE A ELEMENTELOR UNUI OBIECTUL COMPLEX // Jurnalul Internațional de Cercetare Aplicată și Fundamentală. – 2016. – Nr. 7-1. – P. 91-95;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=9764 (data accesului: 15/01/2020). Vă aducem în atenție reviste apărute la editura „Academia de Științe ale Naturii”

Definiția 1. Imaginea unui operator liniar A este mulțimea tuturor elementelor reprezentabile sub forma , unde .

Imaginea operatorului liniar A este un subspațiu liniar al spațiului. Dimensiunea sa se numește rangul de operator A.

Definiția 2. Nucleul unui operator liniar A este mulțimea tuturor vectorilor pentru care .

Nucleul este un subspațiu liniar al spațiului X. Dimensiunea lui se numește defect al operatorului A.

Dacă operatorul A acţionează în spaţiul -dimensional X, atunci următoarea relaţie + = este valabilă.

Operatorul A este numit nedegenerat, dacă miezul său . Rangul unui operator nedegenerat este egal cu dimensiunea spațiului X.

Fie matricea transformării liniare A a spațiului X într-o anumită bază, atunci coordonatele imaginii și ale imaginii inverse sunt legate de relația

Prin urmare, coordonatele oricărui vector satisfac sistemul de ecuații

Rezultă că nucleul unui operator liniar este un înveliș liniar al sistemului fundamental de soluții al unui sistem dat.

Sarcini

1. Demonstrați că rangul unui operator este egal cu rangul matricei sale în mod arbitrar.

Calculați nucleele operatorilor liniari definiți într-o anumită bază de spațiu X prin următoarele matrice:

5. Demonstrează că .

Calculați rangul și defectul operatorilor dați de următoarele matrice:

6. . 7. . 8. .

3. Vectori proprii și valori proprii ale operatorului liniar

Să considerăm un operator liniar A care acționează în spațiul -dimensional X.

Definiție. Numărul l se numește valoare proprie a operatorului A dacă , astfel încât . În acest caz, vectorul este numit vectorul propriu al operatorului A.

Cea mai importantă proprietate a vectorilor proprii ai unui operator liniar este că vectorii proprii care corespund valorilor proprii diferite în perechi liniar independent.

Dacă este matricea operatorului liniar A în baza spațiului X, atunci valorile proprii l și vectorii proprii ai operatorului A sunt determinate după cum urmează:

1. Valorile proprii se găsesc ca rădăcini ale ecuației caracteristice (ecuația algebrică de gradul al treilea):

2. Coordonatele tuturor vectorilor proprii liniar independenți corespunzători fiecărei valori proprii individuale se obțin prin rezolvarea unui sistem de ecuații liniare omogene:

a cărui matrice are rang . Soluțiile fundamentale ale acestui sistem sunt vectori coloană ai coordonatelor vectorilor proprii.

Rădăcinile ecuației caracteristice sunt numite și valorile proprii ale matricei, iar soluțiile sistemului sunt numite vectori proprii ai matricei.

Exemplu. Găsiți vectorii proprii și valorile proprii ale operatorului A, specificate într-o anumită bază de matrice

1. Pentru a determina valorile proprii, compunem și rezolvăm ecuația caracteristică:

De aici valoarea proprie, multiplicitatea ei.

2. Pentru a determina vectorii proprii, compunem și rezolvăm un sistem de ecuații:

Sistemul echivalent de ecuații de bază are forma

Prin urmare, fiecare vector propriu este un vector coloană, unde c este o constantă arbitrară.

3.1.Operator al unei structuri simple.

Definiție. Un operator liniar A care operează într-un spațiu n-dimensional este numit operator de structură simplă dacă corespunde exact n vectori proprii liniar independenți. În acest caz, este posibil să se construiască o bază de spațiu din vectorii proprii ai operatorului, în care matricea operatorului are cea mai simplă formă diagonală

unde sunt valorile proprii ale operatorului. Evident, este adevărat și invers: dacă într-o anumită bază a spațiului X matricea operatorului are o formă diagonală, atunci baza constă din vectorii proprii ai operatorului.

Un operator liniar A este un operator de structură simplă dacă și numai dacă fiecare valoare proprie a multiplicității corespunde vectorilor proprii exact liniar independenți. Deoarece vectorii proprii sunt soluții la un sistem de ecuații, prin urmare, fiecare rădăcină a ecuației caracteristice a multiplicității trebuie să corespundă unei matrice de rang.

Orice matrice de dimensiune corespunzătoare unui operator de structură simplă este similară cu o matrice diagonală

unde matricea de tranziție T de la baza originală la baza vectorilor proprii are drept coloane vectorii coloanei din coordonatele vectorilor proprii ai matricei (operatorul A).

Exemplu. Reduceți matricea operatorului liniar la formă diagonală

Să creăm o ecuație caracteristică și să îi găsim rădăcinile.

De unde provin valorile proprii ale multiplicității și multiplicității?

Prima valoare proprie. Ea corespunde vectorilor proprii ale căror coordonate sunt

soluție de sistem

Rangul acestui sistem este 3, deci există o singură soluție independentă, de exemplu, vectorul .

Vectorii proprii corespunzători sunt determinați de sistemul de ecuații

al cărui rang este 1 și, prin urmare, există trei soluții liniar independente, de exemplu,

Astfel, fiecare valoare proprie a multiplicității corespunde unor vectori proprii exact liniar independenți și, prin urmare, operatorul este un operator de structură simplă. Matricea de tranziție T are forma

iar legătura dintre matrice similare este determinată de relaţie

Sarcini

Găsiți vectori proprii și valori proprii

operatori liniari definiți într-o anumită bază prin matrice:

Determinați care dintre următorii operatori liniari poate fi redus la formă diagonală prin trecerea la o nouă bază. Găsiți această bază și matricea ei corespunzătoare:

10. Demonstrați că vectorii proprii ai unui operator liniar corespunzători diferitelor valori proprii sunt liniar independenți.

11. Demonstrați că dacă un operator liniar A care acționează în , are n valori diferite, atunci orice operator liniar B comută cu A, are o bază de vectori proprii și orice vector propriu al lui A va fi un vector propriu al lui B.

SUBSPAȚII INVARIANTE

Definiția 1.. Un subspațiu L al unui spațiu liniar X se spune că este invariant sub operatorul A care acționează în X dacă pentru fiecare vector îi aparține și imaginea lui .

Principalele proprietăți ale subspațiilor invariante sunt determinate de următoarele relații:

1. Dacă și sunt subspații invariante față de operatorul A, atunci suma și intersecția lor sunt de asemenea invariante față de operatorul A.

2. Dacă spațiul X este descompus într-o sumă directă de subspații și () și este invariant față de A, atunci matricea operatorului din bază, care este o unire de baze, este o matrice bloc

unde sunt matrici pătrate, 0 este o matrice zero.

3. În orice subspațiu invariant față de operatorul A, operatorul are cel puțin un vector propriu.

Exemplul 1. Să considerăm nucleul unui operator A care acționează în X. Prin definiție. Lăsa . Atunci, deoarece vectorul zero este conținut în fiecare subspațiu liniar. În consecință, nucleul este un invariant subspațial sub A.

Exemplul 2. Fie într-o anumită bază a spațiului X operatorul A să fie dat de o matrice definită de ecuația și

5. Demonstrați că orice subspațiu care este invariant sub un operator nedegenerat A va fi, de asemenea, invariant sub operatorul invers.

6. Fie ca o transformare liniară a unui spațiu A-dimensional în baza sa să aibă o matrice diagonală cu elemente diferite pe diagonală. Găsiți toate subspațiile invariante sub A și determinați numărul lor.

ÎN spațiu vectorial V peste un câmp arbitrar P setat la liniar operator .

Definiție9.8. Miez operatorul liniar  este mulţimea vectorilor din spaţiu V, a cărui imagine este vectorul zero. Admis notație pentru acest set: Ker, adică

Ker = {X | (X) = o}.

Teorema 9.7. Nucleul unui operator liniar este un subspațiu al spațiului V.

Definiție 9.9. Dimensiune se numeste nucleul unui operator liniar defect operator liniar. dim Ker = d.

Definiția 9.10.Intr-un fel operatorul liniar  este mulţimea de imagini vectori spațiali V. Notație pentru acest set Sunt, adică Sunt = {(X) | X V}.

Teorema 9.8. Imagine operatorul liniar este un subspațiu al spațiului V.

Definiția 9.11. Dimensiune imaginea unui operator liniar se numește rang operator liniar. dim Sunt = r.

Teorema 9.9. Spaţiu V este suma directă a nucleului și imaginea operatorului liniar specificat în acesta. Suma rangului și defectului unui operator liniar este egală cu dimensiunea spațiului V.

Exemplul 9.3. 1) In spatiu R[X] ( 3) găsiți rangul și defectul operator diferenţiere. Să găsim acele polinoame a căror derivată este egală cu zero. Prin urmare, acestea sunt polinoame de grad zero Ker = {f | f = c) Și d= 1. Derivatele polinoamelor al căror grad nu depășește trei formează o mulțime de polinoame al căror grad nu depășește doi, prin urmare, Sunt =R[X] ( 2) și r = 3.

2) Dacă este liniară operatorul este dat de o matrice M(), apoi pentru a-i găsi nucleul trebuie rezolvat ecuația ( X) = O, care sub formă de matrice arată astfel: M()[X] = [O]. Din Rezultă că baza nucleului unui operator liniar este setul fundamental de soluții ale unui sistem omogen de ecuații liniare cu matricea principală. M(). Sistem de generatoare de imagine a unui operator liniar alcătuiește vectorii ( e 1), (e 2), …, (e n). Baza acestui sistem de vectori oferă baza imaginii operatorului liniar.

9.6. Operatori liniari inversabili

Definiție9.12. Liniar este numit operatorul  reversibil, dacă există liniar operator ψ astfel de ce se face egalitate ψ = ψ = , unde  este operatorul de identitate.

Teorema 9.10. Dacă este liniară operator  reversibil, Acea operator ψ este definit în mod unic și este numit verso Pentru operator .

În acest caz operatorul, inversul operatorului , notat  –1.

Teorema 9.11. Operator liniar  este inversabilă dacă și numai dacă matricea sa este inversabilă M(), în timp ce M( –1) = (M()) –1 .

Din această teoremă rezultă că rangul unui operator liniar inversabil este egal cu dimensiuni spațiu, iar defectul este zero.

Exemplul 9.4 1) Determinați dacă liniarul este inversabil operator , dacă ( X) = (2X 1 – X 2 , –4X 1 + 2X 2).

Soluţie. Să creăm o matrice pentru acest operator liniar: M() = . Deoarece
= 0 atunci matricea M() este ireversibilă, ceea ce înseamnă că este ireversibilă și liniară operator .

2) Găsi liniar operator, înapoi operator , dacă (X) = (2X 1 + X 2 , 3X 1 + 2X 2).

Soluţie. Matricea acestui liniar operator egal cu M() =
, este reversibil, deoarece | M()| ≠ 0. (M()) –1 =
, prin urmare  –1 = (2X 1 – X 2 , –3X 1 + 2X 2).