Construiți un tabel de adevăr pentru funcția f. Forma normală disjunctivă perfectă

Algebra logicii

Algebra logicii

Algebra logicii(Engleză) algebra logicii) este una dintre principalele ramuri ale logicii matematice, în care metodele algebrice sunt utilizate în transformările logice.

Fondatorul algebrei logicii este matematicianul și logicianul englez J. Boole (1815-1864), care și-a bazat învățătura logică pe analogia dintre algebră și logică. El a notat orice afirmație folosind simbolurile limbajului pe care l-a dezvoltat și a primit „ecuații”, a căror adevăr sau falsitate putea fi dovedită pe baza anumitor legi logice, precum legile comutativității, distributivității, asociativității etc.

Modern algebra logicii este o ramură a logicii matematice și studiază operațiile logice asupra enunțurilor din punctul de vedere al valorii lor de adevăr (adevărat, fals). Afirmațiile pot fi adevărate, false sau pot conține adevăr și fals în proporții diferite.

Declarație logică este orice propoziție declarativă al cărei conținut poate fi declarat fără echivoc ca fiind adevărat sau fals.

De exemplu, „de 3 ori 3 este egal cu 9”, „Arhangelsk este la nord de Vologda” sunt afirmații adevărate, dar „Cinci este mai puțin de trei”, „Marte este o stea” sunt false.

Evident, nu orice propoziție poate fi o afirmație logică, deoarece nu are întotdeauna sens să vorbim despre falsitatea sau adevărul ei. De exemplu, afirmația „Informatica este un subiect interesant” este vagă și necesită informații suplimentare, iar afirmația „Pentru un elev de clasa a 10-A Ivanov A.A., informatica este un subiect interesant”, în funcție de interesele lui Ivanov A.A. , poate lua semnificația „adevărat” sau „minciună”.

Cu exceptia algebră propozițională cu două valori, în care sunt acceptate doar două valori - „adevărat” și „fals”, există algebră propozițională multivalorică.Într-o astfel de algebră, pe lângă valorile „adevărat” și „fals”, sunt folosite valori de adevăr precum „probabil”, „posibil”, „imposibil”, etc.

În algebră, logica diferă simplu(elementar) declarații, desemnat prin litere latine (A, B, C, D, ...), și complex(compozit), alcătuit din mai multe simple folosind conjunctive logice, de exemplu, cum ar fi „nu”, „și”, „sau”, „dacă și numai atunci”, „dacă... atunci”. Adevărul sau falsitatea afirmațiilor complexe obținute în acest mod este determinată de sensul afirmațiilor simple.

Să o notăm ca A afirmația „Algebra logicii este aplicată cu succes în teoria circuitelor electrice” și prin ÎN— „Algebra logică este folosită în sinteza circuitelor relee.”

Apoi afirmația compusă „Algebra logicii este aplicată cu succes în teorie circuite electrice iar în sinteza circuitelor de contact releu" poate fi scris pe scurt ca A și B; aici „și” este un conjunctiv logic. Este evident că din enunţuri elementare A și B sunt adevărate, atunci afirmația compusă este adevărată A și B.

Fiecare conjunctiv logic este considerat ca o operație pe instrucțiuni logice și are propriul nume și denumire.

Există doar două valori logice: adevarat adevarat)Și fals (FALSE). Aceasta corespunde reprezentării digitale − 1 Și 0 . Rezultatele fiecărei operații logice pot fi scrise sub forma unui tabel. Astfel de tabele se numesc tabele de adevăr.

Operații de bază ale logicii algebrei

1. Negație logică, inversare(lat. inversiune- inversarea) este o operație logică, în urma căreia se obține o nouă instrucțiune dintr-o instrucțiune dată (de exemplu, A) nu A), Care e numit negarea afirmației inițiale, este indicat simbolic printr-o bară ($A↖(-)$) sau prin convenții precum ¬, „nu”, și citește: „nu A”, „A este fals”, „nu este adevărat că A”, „negarea lui A”. De exemplu, „Marte este o planetă sistem solar„(afirmația A); „Marte nu este o planetă în sistemul solar” ($A↖(-)$); afirmația „10 este un număr prim” (enunțul B) este falsă; Afirmația „10 nu este un număr prim” (afirmația B) este adevărată.

Se numește o operație utilizată pe o singură cantitate unar. Tabelul de valori pentru această operație arată ca

Enunțul $A↖(-)$ este fals când A este adevărat și adevărat când A este fals.

Geometric, negația poate fi reprezentată astfel: dacă A este o anumită mulțime de puncte, atunci $A↖(-)$ este complementul mulțimii A, adică toate punctele care nu aparțin mulțimii A.

2.Conjuncție(lat. conjunctio- conexiune) - înmulțire logică, operație care necesită cel puțin două mărimi logice (operanzi) și conectează două sau mai multe instrucțiuni folosind un conjunctiv "Și"(De exemplu, „A și B”), care este notat simbolic prin semnul ∧ (A ∧ B) și spune: „A și B”. Următoarele semne sunt, de asemenea, folosite pentru a indica conjuncția: A ∙ B; A și B, A și B, iar uneori nu există nici un semn între afirmații: AB. Exemplu de înmulțire logică: „Acest triunghi este isoscel și dreptunghic”. O afirmație dată poate fi adevărată numai dacă ambele condiții sunt îndeplinite, altfel afirmația este falsă.

Afirmație A ∧ ÎN adevărat numai dacă ambele afirmații sunt AȘi ÎN sunt adevărate.

Geometric, conjuncția poate fi reprezentată astfel: dacă A, B A ∧ ÎN există o intersecție de mulțimi AȘi ÎN.

3. Disjuncție(lat. disjuncție- împărțire) - adunare logică, o operație care conectează două sau mai multe declarații folosind un conjunctiv "sau"(De exemplu, "A sau B"), care este notat simbolic prin semnul ∨ (A∨ ÎN) si citeste: "A sau B". Următoarele semne sunt, de asemenea, folosite pentru a indica disjuncția: A + B; A sau B; A | B. Un exemplu de adunare logică: „Numărul x este divizibil cu 3 sau 5.” Această afirmație va fi adevărată dacă ambele condiții sau cel puțin una dintre condiții sunt îndeplinite.

Tabelul de adevăr al operației are forma

Afirmație A∨ ÎN este falsă numai atunci când ambele afirmații sunt AȘi ÎN fals.

Geometric, adunarea logică poate fi reprezentată astfel: dacă A, B sunt niște seturi de puncte, atunci A ∨ ÎN este o uniune de seturi AȘi ÎN, adică o figură care combină atât un pătrat, cât și un cerc.

4. Disjuncție strict separativă, adunare modulo doi- o operație logică care conectează două instrucțiuni folosind un conjunctiv "sau", folosit în sens exclusiv, care este notat simbolic prin semnele ∨ ∨ sau ⊕ ( A ∨ ∨ B, A ⊕ ÎN) și citește: "Ori a, ori b". Un exemplu de adunare modulo doi este afirmația „Acest triunghi este obtuz sau acut”. Afirmația este adevărată dacă oricare dintre condiții este îndeplinită.

Tabelul de adevăr al operației are forma

Afirmația A ⊕ B este adevărată numai dacă enunțurile A și B au semnificații diferite.

5. Implicare(lat. implicit- closely connect) - o operație logică care conectează două instrucțiuni folosind un conectiv "daca atunci"într-o declarație complexă, care este indicată simbolic prin semnul → ( A → ÎN) și citește: „dacă A, atunci B”, „A implică B”, „din A urmează B”, „A implică B”. Semnul ⊃ (A ⊃ B) este de asemenea folosit pentru a desemna implicația. Un exemplu de implicație: „Dacă patrulaterul rezultat este un pătrat, atunci un cerc poate fi descris în jurul lui.” Această operație conectează două expresii logice simple, dintre care prima este o condiție, iar a doua este o consecință. Rezultatul unei operații este fals numai atunci când premisa este adevărată și consecința este falsă. De exemplu, „Dacă 3 * 3 = 9 (A), atunci Soarele este o planetă (B)”, rezultatul implicației A → B este fals.

Tabelul de adevăr al operației are forma

Pentru operația de implicare, este adevărată afirmația că orice poate decurge dintr-o minciună, dar numai adevărul poate decurge din adevăr.

6. Echivalență, dublă implicație, echivalență(lat. aequalis- egală şi valentis- având forță) - o operație logică care permite din două afirmații AȘi ÎN obține o nouă expresie A ≡ B care scrie: "A este echivalent cu B". Următoarele semne sunt, de asemenea, folosite pentru a indica echivalența: ⇔, ∼. Această operație poate fi exprimată prin conjunctive „atunci și numai atunci”, „necesar și suficient”, „echivalent”. Un exemplu de echivalență este afirmația: „Un triunghi este dreptunghic dacă și numai dacă unul dintre unghiuri are 90 de grade.”

Tabelul de adevăr al operației de echivalență are forma

Operația de echivalență este opusă adunării modulo doi și se evaluează la adevărat dacă și numai dacă valorile variabilelor sunt aceleași.

Cunoscând semnificațiile afirmațiilor simple, este posibil să se determine semnificațiile enunțurilor complexe pe baza tabelelor de adevăr. Este important de știut că pentru a reprezenta orice funcție din algebra logicii sunt suficiente trei operații: conjuncție, disjuncție și negație.

Prioritatea operațiilor logice este următoarea: negație ( "Nu") are cea mai mare prioritate, apoi conjuncția ( "Și"), după conjuncție - disjuncție ( "sau").

Cu ajutorul variabilelor logice și al operațiilor logice, orice declarație logică poate fi formalizată, adică înlocuită cu o formulă logică. În acest caz, enunțurile elementare care formează un enunț compus pot fi absolut fără legătură în sens, dar acest lucru nu interferează cu determinarea adevărului sau falsității enunțului compus. De exemplu, afirmația „Dacă cinci este mai mare decât doi ( A), apoi marțea vine întotdeauna după luni ( ÎN)" - implicație A→ ÎN, iar rezultatul operației în acest caz este „adevărat”. În operațiile logice nu se ține cont de sensul enunțurilor, ci doar de adevărul sau falsitatea acestora.

Luați în considerare, de exemplu, construcția unei declarații compuse din enunțuri AȘi ÎN, care ar fi fals dacă și numai dacă ambele afirmații sunt adevărate. În tabelul de adevăr pentru operația de adunare modulo doi găsim: 1 ⊕ 1 = 0. Și afirmația ar putea fi, de exemplu, astfel: „Această bilă este complet roșie sau complet albastră”. Prin urmare, dacă declarația A„Această minge este complet roșie” este un adevăr și o afirmație ÎN„Această minge este complet albastră” este adevărată, atunci afirmația compusă este falsă, deoarece mingea nu poate fi roșie și albastră în același timp.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1. Pentru valorile specificate ale lui X, determinați valoarea instrucțiunii logice ((X > 3) ∨ (X< 3)) → (X < 4) :

1) X = 1; 2) X = 12; 3) X = 3.

Soluţie. Secvența operațiilor este următoarea: mai întâi se efectuează operațiile de comparare între paranteze, apoi disjuncția și în sfârșit se realizează operația de implicare. Operația de disjuncție ∨ este falsă dacă și numai dacă ambii operanzi sunt falși. Tabelul de adevăr pentru implicație arată ca

De aici obținem:

1) pentru X = 1:

((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;

2) pentru X = 12:

((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;

3) pentru X = 3:

((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.

Exemplul 2. Indicați setul de valori întregi ale lui X pentru care expresia ¬((X > 2) → (X > 5)) este adevărată.

Soluţie. Operația de negație se aplică întregii expresii ((X > 2) → (X > 5)), prin urmare, când expresia ¬((X > 2) → (X > 5)) este adevărată, expresia ((X > 2) →(X > 5)) este falsă. Prin urmare, este necesar să se determine pentru ce valori ale lui X expresia ((X > 2) → (X > 5)) este falsă. Operația de implicare capătă valoarea „falsă” doar într-un caz: atunci când o minciună decurge din adevăr. Și acest lucru este valabil numai pentru X = 3; X = 4; X = 5.

Exemplul 3. Pentru care dintre următoarele cuvinte este falsă afirmația ¬(prima literă este o vocală ∧ a treia literă o vocală) ⇔ un șir de 4 caractere? 1) assa; 2) kuku; 3) porumb; 4) eroare; 5) om puternic.

Soluţie. Să luăm în considerare toate cuvintele propuse succesiv:

1) pentru cuvântul assa obținem: ¬(1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - afirmația este adevărată;

2) pentru cuvântul kuku obținem: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - afirmația este adevărată;

3) pentru cuvântul porumb obținem: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 - afirmația este falsă;

4) pentru cuvântul eroare obținem: ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 - afirmația este adevărată;

5) pentru cuvântul strongman obținem: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 - afirmația este falsă.

Expresii logice și transformarea lor

Sub expresie logică trebuie înțeles ca o înregistrare care poate lua valoarea logică „adevărat” sau „fals”. Cu această definiție, printre expresiile logice este necesar să se distingă:

• expresii care folosesc operații de comparare („mai mare decât”, „mai mic decât”, „egal cu”, „nu este egal cu”, etc.) și iau valori logice (de exemplu, expresia a > b, unde a = 5 și b = 7, este egal cu valoarea „fals”);
• expresii logice directe asociate cu mărimi logice și operații logice (de exemplu, A ∨ B ∧ C, unde A = adevărat, B = fals și C = adevărat).

Expresiile booleene pot include funcții, operații algebrice, operații de comparare și operații logice. În acest caz, prioritatea acțiunilor este următoarea:

1. calculul dependențelor funcționale existente;
2. efectuarea de operații algebrice (întâi înmulțirea și împărțirea, apoi scăderea și adunarea);
3. efectuarea de operații de comparare (în ordine aleatorie);
4. efectuarea de operatii logice (mai intai operatiile de negatie, apoi operatiile de inmultire logica, adunare logica, iar in sfarsit operatiile de implicare si echivalare).

O expresie booleană poate folosi paranteze, care schimbă ordinea în care sunt efectuate operațiile.

Exemplu. Găsiți sensul expresiei:

$1 ≤ a ∨ A ∨ sin(π/a - π/b)< 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b >a + b ∨ A ∧ B)$ pentru a = 2, b = 3, A = adevărat, B = fals.

Soluţie. Ordinea de numărare a valorilor:

1) b a + a b > a + b, după substituție obținem: 3 2 + 2 3 > 2 + 3, adică 17 > 2 + 3 = adevărat;

2) A ∧ B = adevărat ∧ fals = fals.

Prin urmare, expresia dintre paranteze este (b a + a b > a + b ∨ A ∧ B) = adevărat ∨ fals = adevărat;

3) 1≤ a = 1 ≤ 2 = adevărat;

4) sin(π/a - π/b)< 1 = sin(π/2 - π/3) < 1 = истина.

După aceste calcule obținem în sfârșit: adevărat ∨ A ∧ adevărat ∧ ¬B ∧ ¬ adevărat.

Acum trebuie efectuate operațiile de negație, apoi de înmulțire logică și de adunare:

5) ¬B = ¬fals = adevărat; ¬adevărat = fals;

6) A ∧ adevărat ∧ adevărat ∧ fals = adevărat ∧ adevărat ∧ adevărat ∧ fals = fals;

7) adevărat ∨ fals = adevărat.

Astfel, rezultatul unei expresii logice pentru valori date este „adevărat”.

Notă. Având în vedere că expresia inițială este, în cele din urmă, suma a doi termeni, iar valoarea unuia dintre ei este 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = adevărat, fără alte calcule putem spune că rezultatul pentru întreaga expresie este și „adevărat”. ”.

Transformări identice ale expresiilor logice

În algebra logicii sunt respectate legi de bază care permit transformări identice ale expresiilor logice.

Dovezile acestor afirmații se fac pe baza construcției de tabele de adevăr pentru înregistrările corespunzătoare.

Transformările echivalente ale formulelor logice au același scop ca și transformările formulelor din algebra obișnuită. Acestea servesc la simplificarea formulelor sau la reducerea lor la o anumită formă, folosind legile de bază ale algebrei logice. Sub simplificarea formulei, care nu conține operațiile de implicare și echivalență, este înțeles ca o transformare echivalentă care duce la o formulă care conține fie un număr mai mic de operații, fie un număr mai mic de variabile față de cea inițială.

Unele transformări ale formulelor logice sunt similare transformărilor formulelor din algebra obișnuită (luând factorul comun din paranteze, folosind legi comutative și combinaționale etc.), în timp ce alte transformări se bazează pe proprietăți pe care operațiile algebrei obișnuite nu le au ( folosind legea distributivă pentru conjuncție, legile absorbției, lipirii, de Morgan etc.).

Să ne uităm la câteva exemple de tehnici și metode utilizate pentru a simplifica formulele logice:

1) X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 ∪ ¬X1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ ¬X1 ∧ X2 = (X1 ∨ ¬X1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2 .

Pentru a transforma aici, puteți aplica legea idempotei, legea distributivă; operarea unei variabile cu inversare și operarea cu constantă.

2) X1 ∨ X1 ∧ X2 = X1 ∨ (1 ∨ 1 ∧ X2) = X1 ∨ (1 ∨ X2) = X1.

Aici, pentru simplitate, se aplică legea absorbției.

3) ¬(X1 ∧ X2) ∨ X2 = (¬X1 ∨ ¬X2) ∨ X2 = ¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X2 = ¬X1 ∨ 1 = 1 .

La transformare se aplică regula de Morgan, operația unei variabile cu inversarea acesteia și operația cu o constantă.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1. Găsiți o expresie logică echivalentă cu expresia A ∧ ¬(¬B ∨ C) .

Soluţie. Aplicam regula lui de Morgan pentru B si C: ¬(¬B ∨ C) = B ∧ ¬C.

Obținem o expresie echivalentă cu cea inițială: A ∧ ¬(¬B ∨ C) = A ∧ B ∧ ¬C .

Răspuns: A ∧ B ∧ ¬C.

Exemplul 2. Indicați valoarea variabilelor logice A, B, C, pentru care valoarea expresiei logice (A ∨ B) → (B ∨ ¬C ∨ B) este falsă.

Soluţie. Operația de implicare este falsă numai dacă dintr-o premisă adevărată decurge o afirmație falsă. Prin urmare, pentru o expresie dată, premisa A ∨ B trebuie să fie „adevărată”, iar consecința, adică expresia B ∨ ¬C ∨ B, trebuie să fie „falsă”.

1) A ∨ B — rezultatul disjuncției este „adevărat” dacă cel puțin unul dintre operanzi este „adevărat”;

2) B ∨ ¬C ∨ B - expresia este falsă dacă toți termenii au valoarea „fals”, adică B este „fals”; ¬C este „fals”, deci variabila C are valoarea „adevărat”;

3) dacă luăm în considerare premisa și luăm în considerare că B este „fals”, obținem că valoarea lui A este „adevărată”.

Răspuns: A este adevărat, B este fals, C este adevărat.

Exemplul 3. Care este cel mai mare număr întreg X pentru care enunțul (35

Soluţie. Să notăm tabelul de adevăr pentru operația de implicare:

Expresia X< (X - 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.

Răspuns: X = 5.

Utilizarea expresiilor booleene pentru a descrie regiunile geometrice

Expresiile logice pot fi folosite pentru a descrie regiuni geometrice. În acest caz, sarcina este formulată după cum urmează: scrieți pentru o anumită regiune geometrică o expresie logică care ia valoarea „adevărată” pentru valorile x, y dacă și numai dacă aparține orice punct cu coordonate (x; y). la regiunea geometrică.

Să luăm în considerare descrierea unei regiuni geometrice folosind o expresie logică folosind exemple.

Exemplul 1. Este specificată o imagine a unei regiuni geometrice. Scrieți o expresie logică care să descrie setul de puncte care îi aparțin.

1) .

Soluţie. O regiune geometrică dată poate fi reprezentată ca o mulțime de următoarele regiuni: prima regiune - D1 - semiplan $(x)/(-1) +(y)/(1) ≤ 1$, a doua - D2 - un cerc cu centrul la origine $x ^2 + y^2 ≤ 1$. Intersecția lor D1 $∩$ D2 reprezintă regiunea dorită.

Rezultat: expresie logică $(x)/(-1)+(y)/(1) ≤ 1 ∧ x^2 + y^2 ≤ 1$.

2)

Această zonă poate fi scrisă astfel: |x| ≤ 1 ∧ y ≤ 0 ∧ y ≥ -1 .

Notă. Când se construiește o expresie logică, se folosesc inegalități libere, ceea ce înseamnă că limitele figurilor aparțin și zonei umbrite. Dacă utilizați inegalități stricte, limitele nu vor fi luate în considerare. Limitele care nu aparțin zonei sunt de obicei afișate ca linii punctate.

Puteți rezolva problema inversă și anume: desenați o regiune pentru o expresie logică dată.

Exemplul 2. Desenați și umbriți zona pentru care este îndeplinită condiția logică y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y< 2 .

Soluţie. Zona căutată este intersecția a trei semiplane. Construim drepte pe planul (x, y) y = x; y = -x; y = 2. Acestea sunt limitele regiunii, iar ultima limită y = 2 nu aparține regiunii, așa că o desenăm linie punctata. Pentru a satisface inegalitatea y ≥ x, punctele trebuie să fie la stânga dreptei y = x, iar inegalitatea y = -x este satisfăcută pentru punctele care sunt la dreapta dreptei y = -x. Condiția y< 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:

Utilizarea funcțiilor logice pentru a descrie circuitele electrice

Funcțiile logice sunt foarte utile pentru descrierea funcționării circuitelor electrice. Deci, pentru circuitul prezentat în Fig., unde valoarea variabilei X este starea comutatorului (dacă este pornit, valoarea lui X este „adevărată”, iar dacă este oprită, valoarea este „falsă” ), această valoare a lui Y este starea becului (dacă este aprins - valoarea este „adevărat”, iar dacă nu - „fals”), funcția logică va fi scrisă astfel: Y = X. Se numește funcția Y funcția de conductivitate.

Pentru circuitul prezentat în fig., funcția logică Y are forma: Y = X1 ∪ X2, deoarece un singur comutator este suficient pentru ca becul să se aprindă. În circuitul din Fig., pentru ca becul să se aprindă, ambele întrerupătoare trebuie să fie pornite, prin urmare, funcția de conductivitate are forma: Y = X1 ∧ X2.

Pentru un circuit mai complex, funcția de conductivitate va avea forma: Y = (X11 ∨ (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).

Circuitul poate conține și contacte de scurtcircuit. În acest caz, contactul deschis acționează ca un comutator pentru a se asigura că becul se aprinde atunci când butonul este eliberat și nu este apăsat. Pentru astfel de circuite, întrerupătorul este descris prin negație.

Cele două scheme sunt numite echivalent, dacă un curent trece prin unul dintre ele, atunci trece și prin celălalt. Dintre două circuite echivalente, circuitul mai simplu este cel a cărui funcție de conductivitate conține un număr mai mic de elemente. Sarcina de a găsi cele mai multe circuite simpleîntre egali este foarte important.

Utilizarea aparatului algebrei logice în proiectarea circuitelor logice

Matematica algebrei logice este foarte utilă pentru a descrie modul în care funcționează hardware-ul computerului. Orice informație atunci când este procesată pe un computer este prezentată în formă binară, adică este codificat printr-o anumită secvență de 0 și 1. Prelucrarea semnalelor binare corespunzătoare lui 0 și 1 se realizează într-un calculator prin elemente logice. Porți logice care efectuează operații logice de bază ȘI, SAU, NU, sunt prezentate în Fig.

Simbolurile pentru elementele logice sunt standard și sunt utilizate la elaborarea circuitelor logice ale unui computer. Folosind aceste circuite, puteți implementa orice funcție logică care descrie funcționarea unui computer.

Din punct de vedere tehnic, un element de logică computerizată este implementat în formă schema electrica, care este o conexiune a diferitelor părți: diode, tranzistoare, rezistențe, condensatoare. Intrarea unui element logic, care se mai numește și poartă, primește semnale electrice de niveluri de tensiune înaltă și joasă, iar un semnal de ieșire este, de asemenea, emis la un nivel ridicat sau scăzut. Aceste niveluri corespund uneia dintre stările sistemului binar: 1 - 0; ADEVĂRUL ESTE FALS. Fiecare element logic are propriul său simbol, care își exprimă funcția logică, dar nu indică care dintre ele circuit electronic implementate în ea. Acest lucru facilitează scrierea și înțelegerea circuitelor logice complexe. Funcționarea circuitelor logice este descrisă folosind tabele de adevăr. Simbolul din diagrama SAU este semnul „1” - de la denumirea învechită a disjuncției ca „>=1” (valoarea disjuncției este 1 dacă suma celor doi operanzi este mai mare sau egală cu 1). Semnul „&” din diagrama AND este o abreviere pentru cuvântul englezesc și.

Circuitele logice electronice sunt realizate din elemente logice care efectuează operații logice mai complexe. Un set de elemente logice format din elemente NU, SAU și ȘI, cu ajutorul cărora puteți construi o structură logică de orice complexitate, se numește complet funcțional.

Construirea tabelelor de adevăr ale expresiilor logice

Pentru o formulă logică poți scrie oricând tabelul de adevăr, adică să prezinte o funcție logică dată în formă tabelară. În acest caz, tabelul ar trebui să conțină toate combinațiile posibile de argumente ale funcției (formule) și valorile funcției corespunzătoare (rezultatele formulei pe un set dat de valori).

O formă convenabilă de înregistrare la găsirea valorilor unei funcții este un tabel care conține, pe lângă valorile variabilelor și valorile funcției, și valorile calculelor intermediare. Să luăm în considerare un exemplu de construire a unui tabel de adevăr pentru formula $(X1)↖(-) ∧ X2 ∨ (X1 ∨ X2)↖(-) ∨ X1$.

Dacă o funcție ia valoarea 1 pentru toate seturile de valori variabile, este identic adevărat; dacă pentru toate seturile de valori de intrare funcția ia valoarea 0, este identic fals; dacă setul de valori de ieșire conține atât 0, cât și 1, funcția este apelată fezabil. Exemplul de mai sus este un exemplu de funcție identic adevărată.

Cunoscând forma analitică a unei funcții logice, puteți merge oricând la forma tabelară a funcțiilor logice. Folosind un tabel de adevăr dat, puteți rezolva problema inversă și anume: pentru un tabel dat, construiți o formulă analitică pentru o funcție logică. Există două forme de construire a dependenței analitice a unei funcții logice bazată pe o funcție specificată în tabel.

1. Forma normală disjunctivă (DNF)- suma produselor formate din variabile si negatiile acestora pentru valori false.

Algoritmul pentru construirea unui DNF este următorul:

1. în tabelul de adevăr, funcțiile selectează seturi de argumente pentru care formele logice sunt egale cu 1 („adevărat”);
2. toate seturile logice selectate sunt scrise ca produse logice ale argumentelor, conectându-le secvențial între ele folosind operația de sumă logică (disjuncție);
3. pentru argumentele care sunt false, se introduce o operație de negație în înregistrarea construită.

Exemplu. Construiți o funcție care determină că primul număr este egal cu al doilea folosind metoda DNF. Tabelul de adevăr al funcției arată ca

Soluţie. Selectăm seturi de valori de argument în care funcția este egală cu 1. Acestea sunt primul și al patrulea rând din tabel (nu ținem cont de rândul antetului la numerotare).

Notăm produsele logice ale argumentelor acestor mulțimi, combinându-le cu o sumă logică: X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2.

Notăm negația argumentelor mulțimilor selectate care au o valoare falsă (al patrulea rând al tabelului; al doilea set din formulă; primul și al doilea elemente): X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(- )$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Răspuns: F(X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

2. Forma normală conjunctivă (CNF)- produsul sumelor formate din variabile si negatiile acestora pentru valori adevarate.

Algoritmul pentru construirea CNF este următorul:

1. în tabelul de adevăr sunt selectate seturi de argumente pentru care formele logice sunt egale cu 0 („fals”);
2. toate seturile logice selectate ca sume logice de argumente sunt scrise secvențial, conectându-le între ele folosind operarea unui produs logic (conjuncție);
3. pentru argumentele care sunt adevărate, se introduce o operație de negație în înregistrarea construită.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1. Să luăm în considerare exemplul anterior, adică să construim o funcție care determină că primul număr este egal cu al doilea, folosind metoda CNF. Pentru o funcție dată, tabelul său de adevăr are forma

Soluţie. Selectăm seturi de valori de argument în care funcția este egală cu 0. Acestea sunt rândurile a doua și a treia (nu ținem cont de linia antetului la numerotare).

Notăm sumele logice ale argumentelor acestor mulțimi, combinându-le cu un produs logic: X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2.

Notăm negația argumentelor mulțimilor selectate care au o valoare adevărată (al doilea rând al tabelului, primul set al formulei, al doilea element; pentru a treia linie, iar acesta este al doilea set al formulei , primul element): X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $( X1)↖(-)$ ∨ X2.

Astfel, a fost obținută o înregistrare a funcției logice în CNF.

Răspuns: X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2.

Valorile funcției obținute prin cele două metode sunt echivalente. Pentru a demonstra această afirmație, folosim regulile logicii: F(X1, X2) = X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2 = X1 ∧ $(X1)↖ (-)$ ∨ X1 ∧ X2 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ $(X2 )↖(- )$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Exemplul 2. Construiți o funcție logică pentru un tabel de adevăr dat:

Formula necesară: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 .

Se poate simplifica: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) = X2 ∧ 1 = X2.

Exemplul 3. Pentru tabelul de adevăr dat, construiți o funcție logică folosind metoda DNF.

Formula necesară: X1 ∧ X2 ∧ X ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∪ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $ (X3)↖(-)$.

Formula este destul de greoaie și ar trebui simplificată:

X1 ∧ X2 ∧ X3 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∨ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $(-)$ ∧ ↖(-)$ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$ ∧ (X2 ∨ $(X2)↖(-)$) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$.

Tabele de adevăr pentru rezolvarea problemelor logice

Compilarea tabelelor de adevăr este una dintre modalitățile de a rezolva probleme logice. Când se utilizează această metodă de rezolvare, condițiile pe care le conține problema sunt înregistrate folosind tabele special compilate.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1. Creați un tabel de adevăr pentru un dispozitiv de securitate care utilizează trei senzori și este declanșat atunci când doar doi dintre ei sunt scurtcircuitati.

Soluţie. Evident, rezultatul soluției va fi un tabel în care funcția dorită Y(X1, X2, X3) va avea valoarea „adevărată” dacă oricare două variabile au valoarea „adevărată”.

Exemplul 2. Faceți un program de lecție pentru ziua respectivă, ținând cont că o lecție de informatică poate fi doar prima sau a doua, o lecție de matematică - prima sau a treia și o lecție de fizică - a doua sau a treia. Este posibil să creați un program care să îndeplinească toate cerințele? Câte opțiuni de programare există?

Soluţie. Problema poate fi rezolvată cu ușurință dacă creați tabelul corespunzător:

Tabelul arată că există două opțiuni pentru programul dorit:

1. matematică, informatică, fizică;
2. informatică, fizică, matematică.

Exemplul 3. Trei prieteni au venit în tabăra sportivă - Peter, Boris și Alexey. Fiecare dintre ei este pasionat de două sporturi. Se știe că există șase astfel de sporturi: fotbal, hochei, schi, înot, tenis, badminton. Se mai stie ca:

1. Boris este cel mai mare;
2. un fotbalist mai tânăr decât un jucător de hochei;
3. joacă fotbal și hochei, iar Peter locuiește în aceeași casă;
4. când apare o ceartă între un schior și un tenismen, Boris îi împacă;
5. Peter nu poate juca tenis sau badminton.

Ce sport se bucură de fiecare băiat?

Soluţie. Să întocmim un tabel și să reflectăm condițiile problemei în el, completând celulele corespunzătoare cu numerele 0 și 1, în funcție de faptul că afirmația corespunzătoare este falsă sau adevărată.

Deoarece există șase tipuri de sport, se dovedește că toți băieții sunt interesați tipuri diferite sport

Din condiția 4 rezultă că Boris nu este interesat de schi sau tenis, iar din condițiile 3 și 5 că Peter nu știe să joace fotbal, hochei, tenis și badminton. În consecință, sporturile preferate ale lui Peter sunt schiul și înotul. Să punem acest lucru în tabel și să umplem celulele rămase ale coloanelor „Schi” și „Îot” cu zerouri.

Tabelul arată că numai Alexey poate juca tenis.

Din condițiile 1 și 2 rezultă că Boris nu este fotbalist. Astfel, Alexey joacă fotbal. Să continuăm să completăm tabelul. Să introducem zerouri în celulele goale ale liniei „Alexey”.

În sfârșit înțelegem că Boris este interesat de hochei și badminton. Masa finală va arăta astfel:

Răspuns: Lui Peter îi place să schieze și să înoate, Boris joacă hochei și badminton, iar Alexey joacă fotbal și tenis.

În circuitele digitale semnal digital este un semnal care poate lua două valori, considerate „1” logic și „0” logic.

Circuitele logice pot conține până la 100 de milioane de intrări, iar astfel de circuite gigantice există. Imaginați-vă că funcția (ecuația) booleană a unui astfel de circuit a fost pierdută. Cum să-l restabiliți cu cea mai mică pierdere de timp și fără erori? Cea mai productivă modalitate este de a împărți diagrama în niveluri. Cu această metodă, funcția de ieșire a fiecărui element din nivelul anterior este înregistrată și înlocuită cu intrarea corespunzătoare din nivelul următor. Astăzi vom lua în considerare această metodă de analiză a circuitelor logice cu toate nuanțele sale.

Circuitele logice sunt implementate folosind elemente logice: „NU”, „ȘI”, „SAU”, „ȘI-NU”, „SAU-NU”, „XOR” și „Echivalență”. Primele trei elemente logice vă permit să implementați orice funcție logică, indiferent cât de complexă, pe o bază booleană. Vom rezolva probleme pe circuite logice implementate precis pe o bază booleană.

Mai multe standarde sunt folosite pentru a desemna elemente logice. Cele mai comune sunt americane (ANSI), europene (DIN), internaționale (IEC) și ruse (GOST). Figura de mai jos prezintă denumirile elementelor logice din aceste standarde (pentru a mări, puteți face clic pe figură cu butonul stâng al mouse-ului).

În această lecție vom rezolva probleme privind circuitele logice, în care elementele logice sunt desemnate în standardul GOST.

Problemele circuitelor logice sunt de două tipuri: sarcina de a sintetiza circuite logice și sarcina de a analiza circuite logice. Vom începe cu al doilea tip de sarcină, deoarece în această ordine putem învăța rapid să citim circuitele logice.

Cel mai adesea, în legătură cu construcția circuitelor logice, funcțiile algebrei logice sunt luate în considerare:

• trei variabile (vor fi luate în considerare în probleme de analiză și într-o problemă de sinteză);
• patru variabile (în probleme de sinteză, adică în ultimele două paragrafe).

Să luăm în considerare construcția (sinteza) circuitelor logice

• în baza booleană „ȘI”, „SAU”, „NU” (în penultimul paragraf);
• în bazele de asemenea comune „ȘI-NU” și „SAU-NU” (în ultimul paragraf).

Problemă de analiză a circuitului logic

Sarcina analizei este de a determina funcția f, implementat de un circuit logic dat. Când rezolvați o astfel de problemă, este convenabil să respectați următoarea secvență de acțiuni.

1. Diagrama logică este împărțită în niveluri. Nivelurilor li se atribuie numere secvențiale.
2. Ieșirile fiecărui element logic sunt desemnate prin numele funcției dorite, echipată cu un index digital, unde prima cifră este numărul nivelului, iar cifrele rămase sunt numărul de serie al elementului din nivel.
3. Pentru fiecare element se scrie o expresie analitică care leagă funcția sa de ieșire cu variabilele de intrare. Expresia este determinată de funcția logică implementată de elementul logic dat.
4. Înlocuirea unor funcții de ieșire prin altele se realizează până când se obține o funcție booleană, exprimată în termeni de variabile de intrare.

Exemplul 1.

Soluţie. Împărțim circuitul logic în niveluri, care este deja prezentat în figură. Să notăm toate funcțiile, începând de la primul nivel:

X, y, z :

Exemplul 2. Găsiți funcția booleană a unui circuit logic și construiți un tabel de adevăr pentru circuitul logic.

Exemplul 3. Găsiți funcția booleană a unui circuit logic și construiți un tabel de adevăr pentru circuitul logic.

Continuăm să căutăm împreună funcția booleană a circuitului logic

Exemplul 4. Găsiți funcția booleană a unui circuit logic și construiți un tabel de adevăr pentru circuitul logic.

Soluţie. Împărțim diagrama logică în niveluri. Să notăm toate funcțiile, începând de la primul nivel:

Acum să notăm toate funcțiile, înlocuind variabilele de intrare X, y, z :

Ca rezultat, obținem funcția pe care circuitul logic o implementează la ieșire:

.

Tabel de adevăr pentru acest circuit logic:

Exemplul 5. Găsiți funcția booleană a unui circuit logic și construiți un tabel de adevăr pentru circuitul logic.

Soluţie. Împărțim diagrama logică în niveluri. Structura acestui circuit logic, spre deosebire de exemplele anterioare, are 5 niveluri, nu 4. Dar o variabilă de intrare - cea mai joasă - parcurge toate nivelurile și intră direct în elementul logic din primul nivel. Să notăm toate funcțiile, începând de la primul nivel:

Acum să notăm toate funcțiile, înlocuind variabilele de intrare X, y, z :

Ca rezultat, obținem funcția pe care circuitul logic o implementează la ieșire:

.

Tabel de adevăr pentru acest circuit logic:

Problema sintetizării circuitelor logice pe bază booleană

Dezvoltarea unui circuit logic conform descrierii sale analitice se numește problema sintezei circuitelor logice.

Fiecare disjuncție (suma logică) corespunde unui element „SAU”, al cărui număr de intrări este determinat de numărul de variabile din disjuncție. Fiecare conjuncție (produs logic) corespunde unui element „ȘI”, al cărui număr de intrări este determinat de numărul de variabile din conjuncție. Fiecare negație (inversie) corespunde unui element „NU”.

Designul logic începe adesea cu definirea funcției logice pe care circuitul logic trebuie să o implementeze. În acest caz, este dat doar tabelul de adevăr al circuitului logic. Vom analiza doar un astfel de exemplu, adică vom rezolva o problemă care este complet opusă problemei de analiză a circuitelor logice discutată mai sus.

Exemplul 6. Construiți un circuit logic care implementează o funcție cu un tabel de adevăr dat.

Construirea tabelelor de adevăr pentru afirmații complexe.

Prioritatea operațiilor logice

1) inversiune 2) conjuncție 3) disjuncție 4) implicație și echivalență

Cum se creează un tabel de adevăr?

Conform definiției, tabelul de adevăr al unei formule logice exprimă corespondența dintre toate seturile posibile de valori variabile și valorile formulei.

Pentru o formulă care conține două variabile, există doar patru astfel de seturi de valori variabile:

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Dacă o formulă conține trei variabile, atunci seturi posibile opt valori variabile (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1).

Numărul de seturi pentru o formulă cu patru variabile este de șaisprezece etc.

O formă convenabilă de înregistrare la găsirea valorilor unei formule este un tabel care conține, pe lângă valorile variabilelor și valorile formulei, și valorile formulelor intermediare.

Exemple.

1. Să creăm un tabel de adevăr pentru formula 96%" style="width:96.0%">

Din tabel reiese clar că pentru toate seturile de valori ale variabilelor x și y, formula ia valoarea 1, adică este identic cu adevărat.

2. Tabelul de adevăr pentru formula 96%" style="width:96.0%">

Din tabel reiese clar că pentru toate seturile de valori ale variabilelor x și y, formula ia valoarea 0, adică este identic fals .

3. Tabelul de adevăr pentru formula 96%" style="width:96.0%">

Din tabel reiese clar că formula 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Concluzie: le-am găsit pe toate în ultima coloană. Aceasta înseamnă că sensul enunțului complex este adevărat pentru orice sens al enunțurilor simple K și S. În consecință, profesorul a raționat logic corect.

Un tabel de adevăr este un tabel care descrie o funcție logică. O funcție logică aici este o funcție în care valorile variabilelor și valoarea funcției în sine exprimă adevărul. De exemplu, ei iau valorile „adevărat” sau „fals” (adevărat sau fals, 1 sau 0).

Tabelele de adevăr sunt folosite pentru a determina semnificația unei afirmații pentru toate cazurile posibile ale valorilor de adevăr ale afirmațiilor care o compun. Numărul tuturor combinațiilor existente în tabel este găsit prin formula N=2*n; unde N este numărul total de combinații posibile, n este numărul de variabile de intrare. Tabelele de adevăr sunt adesea folosite în inginerie digitală și algebra booleană pentru a descrie funcționarea circuitelor logice.

Tabele de adevăr pentru funcțiile de bază

Exemple: conjuncție - 1&0=0, implicație - 1→0=0.

Ordinea operațiilor logice

inversiune; Conjuncție; Disjuncție; Implicare; Echivalenţă; accident vascular cerebral Schaeffer; Săgeata lui Pierce.

Secvența de construire (compilare) a unui tabel de adevăr:

1. Determinați numărul N de variabile utilizate într-o expresie logică.
2. Calculați numărul de seturi posibile de valori variabile M = 2 N, egal cu numărul de rânduri din tabel.
3. Numărați numărul de operații logice dintr-o expresie logică și determinați numărul de coloane din tabel, care este egal cu numărul de variabile plus numărul de operații logice.
4. Titluți coloanele tabelului cu numele variabilelor și numele operațiilor logice.
5. Completați coloanele cu variabile logice cu seturi de valori, de exemplu, de la 0000 la 1111 în trepte de 0001 în cazul a patru variabile.
6. Completați tabelul de adevăr pe coloane cu valorile operațiilor intermediare de la stânga la dreapta.
7. Completați coloana cu valoarea finală pentru funcția F.

Astfel, puteți compila (construi) singur un tabel de adevăr.

Creați un tabel de adevăr online

Completați câmpul de introducere și faceți clic pe OK. T - adevărat, F - fals. Vă recomandăm să marcați sau să salvați această pagină. rețea socială.

Denumiri

1. Seturi sau expresii cu litere mari Alfabetul latin: A, B, C, D...
2. A" - prim - complemente de mulțimi
3. && - conjuncție ("și")
4. || - disjuncție ("sau")
5. ! - negație (de exemplu, !A)
6. \cap - intersectia multimilor \cap
7. \cup - unire de seturi (adăugare) \cup
8. A&!B - setați diferența A∖B=A-B
9. A => B - implicație „Dacă... atunci”
10. AB - echivalență

Un circuit electric conceput pentru a efectua o operațiune logică asupra datelor de intrare se numește element logic. Datele de intrare sunt reprezentate aici sub formă de tensiuni de diferite niveluri, iar rezultatul operației logice la ieșire se obține și sub forma unei tensiuni de un anumit nivel.

În acest caz, operanzii sunt furnizați - semnalele sub forma unei tensiuni de nivel înalt sau scăzut sunt recepționate la intrarea elementului logic, care servesc în esență ca date de intrare. Astfel, o tensiune de nivel înalt - un 1 logic - indică o valoare adevărată a operandului, iar o tensiune de nivel scăzut 0 - o valoare falsă. 1 - ADEVĂRAT, 0 - FALS.

Element logic- un element care implementează anumite relații logice între semnalele de intrare și de ieșire. Elementele logice sunt de obicei folosite pentru a construi circuite logice ale computerelor și circuite automate discrete de monitorizare și control. Toate tipurile de elemente logice, indiferent de natura lor fizică, sunt caracterizate de valori discrete ale semnalelor de intrare și de ieșire.

Elementele logice au una sau mai multe intrări și una sau două ieșiri (de obicei inverse una față de cealaltă). Valorile „zerourilor” și „unulor” ale semnalelor de ieșire ale elementelor logice sunt determinate de funcția logică pe care o îndeplinește elementul și de valorile „zerourilor” și „unui” ale semnalelor de intrare, care sunt redate. rolul variabilelor independente. Există de bază funcții logice, din care poate fi compusă orice funcție logică complexă.

În funcție de proiectarea circuitului elementului, de parametrii săi electrici, nivelurile logice (niveluri de tensiune înaltă și joasă) ale intrării și ieșirii au aceleași valori pentru stările înalte și scăzute (adevărat și fals).

În mod tradițional, elementele logice sunt produse sub formă de componente radio speciale - circuite integrate. Operațiile logice precum conjuncția, disjuncția, negația și adăugarea modulo (ȘI, SAU, NU, XOR) sunt operațiile de bază efectuate pe principalele tipuri de porți logice. În continuare, să ne uităm mai atent la fiecare dintre aceste tipuri de elemente logice.

Element logic „ȘI” - conjuncție, înmulțire logică, ȘI

„ȘI” este un element logic care efectuează o operație de conjuncție sau de multiplicare logică asupra datelor de intrare. Acest obiect poate avea de la 2 la 8 (cele mai comune în producție sunt elementele „ȘI” cu 2, 3, 4 și 8 intrări) intrări și o ieșire.

Simbolurile elementelor logice „ȘI” cu numere diferite de intrări sunt prezentate în figură. În text, un element logic „ȘI” cu un anumit număr de intrări este desemnat ca „2I”, „4I”, etc. - un element „ȘI” cu două intrări, cu patru intrări etc.

Tabelul de adevăr pentru elementul 2I arată că ieșirea elementului va fi una logică numai dacă cele logice sunt simultan la prima intrare ȘI la a doua intrare. În celelalte trei cazuri posibile, rezultatul va fi zero.

În diagramele occidentale, pictograma elementului I are o linie dreaptă la intrare și o linie rotunjită la ieșire. Pe diagramele interne - un dreptunghi cu simbolul „&”.

Element logic „SAU” - disjuncție, adunare logică, SAU

„SAU” este un element logic care efectuează o operație de disjuncție sau de adăugare logică asupra datelor de intrare. El, ca și elementul „I”, este disponibil cu două, trei, patru, etc. intrări și o ieșire. Simbolurile elementelor logice „SAU” cu numere diferite de intrări sunt prezentate în figură. Aceste elemente sunt desemnate după cum urmează: 2OR, 3OR, 4OR etc.

Tabelul de adevăr pentru elementul „2OR” arată că pentru ca unul logic să apară la ieșire, este suficient ca cel logic să fie la prima intrare SAU la a doua intrare. Dacă există cele logice la două intrări simultan, ieșirea va fi, de asemenea, una.

În diagramele occidentale, pictograma elementului „SAU” are o intrare rotunjită și o ieșire rotunjită, ascuțită. Pe diagramele interne există un dreptunghi cu simbolul „1”.

Element logic „NU” - negație, invertor, NU

„NU” este un element logic care efectuează o operație de negație logică asupra datelor de intrare. Acest element, care are o singură ieșire și o singură intrare, se mai numește și invertor, deoarece de fapt inversează (inversează) semnalul de intrare. Figura prezintă simbolul pentru elementul logic „NU”.

Tabelul de adevăr pentru un invertor arată că un potențial de intrare ridicat produce un potențial de ieșire scăzut și invers.

În diagramele occidentale, pictograma elementului „NU” are forma unui triunghi cu un cerc la ieșire. Pe diagramele interne există un dreptunghi cu simbolul „1”, cu un cerc la ieșire.

Element logic „NAND” - conjuncție (înmulțire logică) cu negație, NAND

„ȘI-NU” este un element logic care efectuează o operație de adăugare logică asupra datelor de intrare, iar apoi o operație de negație logică, rezultatul este trimis la ieșire. Cu alte cuvinte, este practic un element „ȘI”, completat de un element „NU”. Figura prezintă simbolul pentru elementul logic „2ȘI-NU”.

Tabelul de adevăr pentru poarta NAND este opusul tabelului de adevăr pentru poarta AND. În loc de trei zerouri și unul, sunt trei unu și un zero. Elementul NAND este numit și „elementul Schaeffer” în onoarea matematicianului Henry Maurice Schaeffer, care a remarcat pentru prima dată semnificația lui în 1913. Notat ca „I”, doar cu un cerc la ieșire.

Element logic „OR-NOT” - disjuncție (adunare logică) cu negație, NOR

„SAU-NU” este un element logic care efectuează o operație de adăugare logică asupra datelor de intrare, iar apoi o operație de negație logică, rezultatul este trimis la ieșire. Cu alte cuvinte, acesta este un element „SAU” completat de un element „NU” - un invertor. Figura prezintă simbolul pentru elementul logic „2SAU-NU”.

Tabelul de adevăr pentru o poartă SAU este opusul tabelului de adevăr pentru o poartă SAU. Un potențial de ieșire ridicat este obținut doar într-un caz - potențialele scăzute sunt aplicate simultan ambelor intrări. Este desemnat ca „SAU”, doar cu un cerc la ieșire care indică inversarea.

Poarta logică "SAU exclusivă" - adăugare modulo 2, XOR

„SAU exclusiv” este un element logic care efectuează o operație de adăugare logică modulo 2 asupra datelor de intrare, are două intrări și o ieșire. Adesea aceste elemente sunt utilizate în circuitele de control. Figura prezintă simbolul pentru acest element.

Imaginea în circuitele vestice este ca „SAU” cu o bandă curbată suplimentară pe partea de intrare, în cele domestice este ca „SAU”, doar că în loc de „1” se va scrie „=1”.

Acest element logic este numit și „neechivalență”. Nivel inalt tensiunea va fi la ieșire numai atunci când semnalele de la intrare nu sunt egale (unul este unul, celălalt este zero, sau unul este zero, iar celălalt este unul); chiar dacă există două unități la intrare la aceeași timp, ieșirea va fi zero - aceasta este diferența față de „SAU”. Aceste elemente logice sunt utilizate pe scară largă în sumatori.