За таблицею істинності скласти логічну функцію. Глосарій, визначення логіки
І , яких Вам буде достатньо для вирішення складних логічних виразів. Також ми розглянемо порядок виконання даних логічних операцій у складних логічних виразах та представимо таблиці істинностікожної логічної операції. Радимо Вам скористатися нашими програмами для вирішення задач з математики та . За допомогою великої кількості програм для вирішення завдань на сайті працює, на якому Ви завжди можете поставити запитання і на якому Вам завжди допоможуть з вирішенням завдань. Використовуйте наші сервіси на здоров'я!
Глосарій, визначення логіки
Висловлювання- це оповідальна пропозиція, про яку можна точно сказати істинно воно або хибно (істина (логічна 1), брехня (логічний 0)).
Логічні операції- розумові дії, результатом яких є зміна змісту чи обсягу понять, і навіть освіту нових понять.
Логічне вираження- усне затвердження чи запис, куди, поруч із постійними величинами, обов'язково входять змінні величини (об'єкти). Залежно від значень цих змінних величин (об'єктів) логічний вираз може набувати одного з двох можливих значень: істина (логічна 1) або брехня (логічний 0).
Складний логічний вираз- логічний вираз, що складається з одного або кількох простих логічних виразів (або складних логічних виразів), поєднаних за допомогою логічних операцій.
Логічні операції та таблиці істинності
1) Логічне множення чи кон'юнкція:
Кон'юнкція - це складне логічне вираз, яке вважається істинним у тому й лише тому випадку, коли обидва простих висловлювання є істинними, у всіх інших випадках цей складний вираз хибно.
Позначення: F = A&B.
Таблиця істинності для кон'юнкції
3) Логічне заперечення чи інверсія:
Інверсія - це складне логічне вираз, якщо вихідний логічний вираз істинний, то результат заперечення буде хибним, і навпаки, якщо вихідний логічний вираз хибний, то результат заперечення буде істинним. Іншими простими словами, дана операція означає, що до вихідного логічного виразу додається частка НЕ або слова НЕВЕРНО, ЩО.
Таблиця істинності для інверсії
5) Логічна рівнозначність чи еквівалентність:
Еквівалентність - це складне логічне вираження, яке є істинним тоді і лише тоді, коли обидва прості логічні вирази мають однакову істинність.
Таблиця істинності для еквівалентності
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Порядок виконання логічних операцій у складному логічному вираженні
1. Інверсія;
2. Кон'юнкція;
3. диз'юнкція;
4. Імплікація;
5. Еквівалентність.
Для зміни зазначеного порядку виконання логічних операцій використовуються дужки.
Проблема визначення істинності висловлювання постає перед багатьма науками. Будь-яка доказова дисципліна має спиратися деякі критерії істинності доказів. Наука, що вивчає ці критерії, називається алгеброю логіки. Основний постулат алгебри логіки полягає в тому, що будь-яке найхитромудріше твердження може бути представлене у вигляді алгебраїчного виразу з більш простих тверджень, істинність або хибність яких легко визначити.
Для будь-якої "алгебраїчної" дії над твердженням задається правило визначення істинності чи хибності зміненого твердження, виходячи з істинності чи хибності вихідного твердження. Ці правила записуються через таблиці істинності виразу. Перш ніж складати таблиці істинності, треба ближче познайомитися з алгеброю логіки.
Алгебраїчні перетворення логічних виразів
Будь-який логічний вираз, як і його змінні (ствердження), набувають двох значень: брехня чи істина. Брехня позначається нулем, а істина - одиницею. Розібравшись із областю визначення та областю допустимих значень, ми можемо розглянути дії алгебри логіки.
Заперечення
Заперечення та інверсія- Найпростіше логічне перетворення. Йому відповідає частка "не." Це перетворення просто змінює твердження протилежне. Відповідно значення твердження теж змінюється на протилежне. Якщо твердження А істинне, то "не А" - хибно. Наприклад, твердження "прямий кут - це кут, що дорівнює дев'яносто градусів" - істина. Тоді його заперечення "прямий кут не дорівнює дев'яноста градусам" - брехня.
Таблиця істинності для запереченнябуде така:
Диз'юнкція
Ця операція може бути звичайною або строгою, їх результати відрізнятимуться.
Звичайна диз'юнкція чи логічне складання відповідає союзу "чи". Вона буде істинною якщо хоча б одне із тверджень, що входять до неї – істина. Наприклад, вислів "Земля кругла або стоїть на трьох китах" буде істинним, тому що перше твердження - істинно, хоч друге і хибне. У таблиці це виглядатиме так:
Сувору диз'юнкцію або додавання по модулю також називають "виключним або". Ця операція може набувати вигляду граматичної конструкції "одне з двох: або..., або...". Тут значення логічного висловлювання буде хибним, якщо всі твердження, що входять до нього, мають однакову істинність. Тобто, обидва твердження або разом істинні, або хибні.
Таблиця значень виключає або
Імплікація та еквівалентність
Імплікація є слідствоі граматично може бути виражена як "з А слідує Б". Тут твердження А називатиметься передумовою, а Б - наслідком. Імплікація може бути хибною, тільки в одному випадку: якщо передумова істинна, а слідство хибне. Тобто брехня не може випливати з істини. У решті випадків імплікація істинна. Варіанти, коли обидва твердження мають однакову істинність, питань не викликають. Але чому правильне слідство з помилкової причини - істина? Справа в тому, що з помилкової причини може випливати будь-що. І це відрізняє імплікацію від еквівалентності.
У математиці (та інших доказових дисциплінах) імплікація використовується для вказівки необхідної умови. Наприклад, затвердження А - "точка О - екстремум безперервної функції", затвердження Б - "похідна безперервної функції в точці Про звертається в нуль". Якщо О, точка екстремуму безперервної функції, то похідна в цій точці буде, і справді, дорівнює нулю. Якщо ж не є точкою екстремуму, то похідна в цій точці може бути нульовою, а може не бути. Тобто Б необхідно для А, але не достатньо.
Таблиця істинності для імплікаціївиглядає наступним чином:
Логічна операція еквівалентність, по суті, є взаємною імплікацією. "А еквівалентно Б" означає, що "з А випливає Б" і "з Б випливає А" одночасно. Еквівалентність вірна, коли обидва твердження або одночасно вірні, або одночасно невірні.
В математиці еквівалентність використовується для визначення необхідної та достатньої умови. Наприклад, твердження А - "Точка є точкою екстремуму безперервної функції", твердження Б - "У точці Про похідна функції звертається в нуль і змінює знак". Ці два твердження еквівалентні. Б містить необхідну та достатню умову для А. Зверніть увагу, що в даному прикладітверджень Б насправді є кон'юнкцією двох інших: "похідна в точці Про звертається в нуль" та "похідна в точці Про змінює знак".
Інші логічні функції
Вище було розглянуто основні логічні операції, що часто використовуються. Є й інші функції, що використовуються:
- Штрих Шеффера або несумісність є запереченням кон'юнкції А і Б
- Стрілка Пірса представляє збій заперечення диз'юнкції.
Побудова таблиць істинності
Щоб побудувати таблицю істинності для будь-якого логічного виразу, треба діяти відповідно до алгоритму:
- Розбити вираз на прості твердження та позначити кожне з них як змінну.
- Визначити логічні перетворення.
- Виявити порядок дій цих перетворень.
- Порахувати рядки у майбутній таблиці. Їх кількість дорівнює два ступеня N, де N - число змінних, плюс один рядок для шапки таблиці.
- Визначити кількість стовпців. Воно дорівнює сумі кількості змінних та кількості дій. Можна представляти результат кожної дії у вигляді нової змінної, якщо так буде зрозуміліше.
- Шапка заповнюється послідовно, спочатку всі змінні, потім результати дій у порядку виконання.
- Заповнення таблиці треба розпочати з першої змінної. Для неї кількість рядків ділиться навпіл. Одна половина заповнюється нулями, друга – одиницями.
- Для кожної наступної змінної нулі та одиниці чергуються вдвічі частіше.
- Таким чином заповнюються всі стовпці зі змінними та для останньої змінної значеннязмінюється у кожному рядку.
- Потім послідовно заповнюються результати всіх процесів.
Через війну останній стовпець відобразить значення всього висловлювання залежно від значення змінних.
Окремо слід сказати про порядок логічних дій. Як його визначити? Тут, як і в алгебрі, є правила, що задають послідовність дій. Вони виконуються у такому порядку:
- вирази у дужках;
- заперечення чи інверсія;
- кон'юнкція;
- строга та звичайна диз'юнкція;
- імплікація;
- еквівалентність.
Приклади
Для закріплення матеріалу можна спробувати скласти таблицю істинності раніше згаданих логічних выражений. Розглянемо три приклади:
- Штрих Шеффера.
- Стрілка Пірса.
- Визначення еквівалентності.
Штрих Шеффера
Штрих Шеффера - це логічний вираз, який можна записати у вигляді "не (А та Б)". Тут дві змінні, і дві дії. Кон'юнкція у дужках, отже, вона виконується першою. У таблиці буде шапка та чотири рядки зі значеннями змінних, а також чотири стовпці. Заповнимо таблицю:
| А | Б | А і Б | не (А та Б) |
| Л | Л | Л | І |
| Л | І | Л | І |
| І | Л | Л | І |
| І | І | І | Л |
Заперечення кон'юнкції виглядає як диз'юнкція заперечень. Це можна перевірити, якщо скласти таблицю істинності для вираження "не А чи Б". Зробіть це самостійно та зверніть увагу, що тут буде вже три операції.
Стрілка Пірса
Розглядаючи Стрілку Пірса, яка є заперечення диз'юнкції "не (А або Б)", порівняємо її з кон'юнкцією заперечень "не А і не Б". Заповнимо дві таблиці:
| А | Б | не А | не б | не А і не Б |
| Л | Л | І | І | І |
| Л | І | І | Л | Л |
| І | Л | Л | І | І |
| І | І | Л | Л | Л |
Значення виразів збіглися. Вивчивши ці два приклади, можна дійти висновку, як розкривати дужки після заперечення: заперечення застосовується всім змінним у дужках, кон'юнкція змінюється на диз'юнкцію, а диз'юнкція - на кон'юнкцію.
Визначення еквівалентності
Про твердження А і Б можна сказати, що вони еквівалентні, тоді і тільки тоді, коли з А випливає Б і з Б випливає А. Запишемо це як логічний вираз і побудуємо для нього таблицю істинності. "(А еквівалентно Б) еквівалентно (з А випливає Б) і (з Б випливає А)".
Тут дві змінні та п'ять дій. Будуємо таблицю:
В останньому стовпці всі істинні значення. Це означає, що наведене визначення еквівалентності правильне за будь-яких значеннях А і Б. Отже, воно завжди істинно. Саме так за допомогою таблиці істинностіможна перевірити коректність будь-яких визначень та логічних побудов.
Визначення 1
Логічна функція– функція, змінні якої набувають одного з двох значень: $1$ або $0$.
Будь-яку логічну функцію можна задати за допомогою таблиці істинності: набір всіх можливих аргументів записується у лівій частині таблиці, а відповідні значення логічної функції – у правій частині.
Визначення 2
Таблиця істинності- Таблиця, яка показує, які значення набуде складовий вираз при всіх можливих наборах значень простих виразів, що входять до нього.
Визначення 3
Рівносильниминазиваються логічні висловлювання, останні стовпці таблиць істинності яких збігаються. Рівносильність позначається за допомогою символу $==$.
При складанні таблиці істинності важливо враховувати такий порядок виконання логічних операцій:
Малюнок 1.
Пріоритетом у виконанні порядку виконання операцій користуються дужки.
Алгоритм побудови таблиці істинності логічної функції
Визначають кількість рядків: у рядків= $2^n + 1$ (Для рядка заголовка), $n$ - кількість простих виразів. Наприклад, для функцій двох змінних існує $2^2 = 4$ комбінації наборів значень змінних, для функцій трьох змінних – $2^3 = 8$ тощо.
Визначають кількість стовпців: у стовпців = у змінних + у логічних операцій. p align="justify"> При визначенні кількості логічних операцій враховують також порядок їх виконання.
Заповнюють стовпці результатами виконання логічних операційу певній послідовності з огляду на таблиці істинності основних логічних операцій.
Малюнок 2.
Приклад 1
Скласти таблицю істинності логічного виразу $ D = bar (A) \ vee (B \ vee C) $.
Рішення:
- інверсія ($ bar (A) $);
- диз'юнкція, т.к. вона знаходиться у дужках ($B \vee C$);
диз'юнкція ($ \ overline (A) \ vee \ left (B \ vee C \ right) $) - шуканий логічний вираз.
Кількість стовпців = $3 + 3=6$.
Визначимо кількість рядків:
у рядків = $2^3 + 1=9$.
Кількість змінних – $3$.
Заповнимо таблицю, враховуючи таблиці істинності логічних операцій.
Малюнок 3.
Приклад 2
За цим логічним виразом побудувати таблицю істинності:
Рішення:
- заперечення ($ bar (C) $);
- диз'юнкція, т.к. вона знаходиться у дужках ($A \vee B$);
- кон'юнкція ($(A\vee B)\bigwedge \overline(C)$);
- заперечення, яке позначимо $F_1$ ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))$);
- диз'юнкція ($A \vee C$);
- кон'юнкція ($(A\vee C)\bigwedge B$);
- заперечення, яке позначимо $F_2$ ($\overline((A\vee C)\bigwedge B)$);
диз'юнкція - шукана логічна функція ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))\vee \overline((A\vee C)\bigwedge B)$).
Визначимо кількість рядків:
Кількість простих виразів - $ n = 3 $, значить
у рядків = $2^3 + 1=9$.
Визначимо кількість стовпців:
Кількість змінних – $3$.
Кількість логічних операцій та їх послідовність:
Сторінка 1
Урок інформатики на тему "Основи логіки, таблиці істинності"
Тема: Якзбудувати таблицю істинності?
Тривалість уроку: 40 хвТип уроку:комбінований:
перевірка знань – усна робота;
новий матеріал – лекція;
закріплення – практичні вправи;
перевірка знань – завдання самостійної роботи.
Навчальні:
Навчити складати логічні висловлювання з висловлювань
Ввести поняття “таблиця істинності”
Вивчити послідовність дій побудови таблиць істинності
Навчити знаходити значення логічних виразів у вигляді побудови таблиць істинності
Розвиваючі:
Розвивати логічне мислення
Розвивати увагу
Розвивати пам'ять
Розвивати мову учнів
Виховні:
Виховувати вміння слухати вчителі та однокласників
Виховувати акуратність ведення зошита
Виховувати дисциплінованість
Організаційний момент (2 хв).
Повторення матеріалу попереднього уроку +перевірка домашнього завдання (усне опитування) (5 хв).
Пояснення нового матеріалу (10 хв.).
Фізкультхвилинка (1 хв).
Закріплення
аналіз прикладу (5 хв);
практичні вправи (10 хв);
завдання для самостійної роботи (5 хв).
біла дошка;
роздатковий довідковий матеріал "Таблиці істинності";
демонстрація презентації "Таблиці істинності".
1. Організаційний момент
Вітання.
Перевірка відсутніх у класі.
Оголошення оцінок за минулий урок.
3 учнів працюють за картками:
З'єднайте правильні визначення або позначення:
|
1. Логіка |
1. |
|
2. Висловлювання |
2. Логічне додавання |
|
3. Алгебра логіки |
3. Наука про форми та способи мислення |
|
4. Логічна змінна |
4. Логічне заперечення |
|
5. Диз'юнкція |
5. ІСТИНА і БРЕХНЯ |
|
6. Інверсія |
6.  |
|
7. Кон'юнкція |
7.  |
|
8. Імплікація |
8. Наука про операції над висловлюваннями |
|
9. Еквівалентність |
9. Оповідальна пропозиція, в якій щось затверджується або заперечується, яка може бути істинною або хибною |
Інші усно.
1)Приклади записані на дошці:
Для логічних виразів сформулюйте складові висловлювання звичайною мовою:
Б) (X=Y) та (X=Z). (Відповідь: числаX, YіZрівні між собою)
2) Наведіть приклади складових висловлювань із шкільних предметів та запишіть їх за допомогою логічних операцій: література, біологія, географія, історія.
Які логічні зв'язки ви використали? ( Інверсія, диз'юнкція та кон'юнкція)
Ми побачили, що логіка досить міцно пов'язана з нашим повсякденним життям, а також побачили, що майже будь-який вислів можна записати у вигляді формули.
Давайте згадаємо основні визначення та поняття:
3. Пояснення нового матеріалу
Зі складного висловлювання складіть формулу, замінюючи прості висловлювання змінними.
Завдання: У класі було розбите скло. Вчитель пояснює директорові: це зробив Коля чи Сашко. Але Сашко цього не робив, бо тим часом здавав мені залік. Отже це зробив Коля.
Рішення: Формалізуємо цей складний вислів:
До – це зробив Коля; С – це зробив Сашко.
Форма висловлювання:
Минулого уроці ми знаходили значення складного висловлювання шляхом підстановки вихідних значень вхідних логічних змінних. А сьогодні ми дізнаємося, що можна побудувати таблицю істинності, яка визначає істинність чи хибність логічного вираження при всіх можливих комбінаціях вихідних значень простих висловлювань (логічних змінних) і що можна визначити значення вихідних логічних змінних, знаючи який нам потрібен результат.
Отже, тема сьогодення: «Як побудувати таблицю істинності?»
Ми вже кілька уроків поспіль використовуємо поняття “таблиця істинності”? так що таке таблиця істинності?
Таблиця істинності – це таблиця, істинність складного висловлювання за всіляких значень вхідних змінних.
Ще раз розглянемо наш приклад
і побудуємо таблицю істинності цього складного висловлювання
При побудові таблиць істинності є певна послідовністьдій. Давайте запишемо
Необхідно визначити кількість рядків у таблиці істинності.
кількість рядків = 2 n , де n – кількість логічних змінних
Необхідно визначити кількість стовпців у таблиці істинності.
кількість стовпців = кількості логічних змінних + кількість логічних операцій.
Необхідно побудувати таблицю істинності із зазначеною кількістю рядків та стовпців, ввести назви стовпців таблиці відповідно до послідовності виконання логічних операцій з урахуванням дужок та пріоритетів (¬, &, V);
Заповнити стовпці вхідних змінних наборами значень
Провести заповнення таблиці істинності по шпальтах, виконуючи логічні операції відповідно до встановленої послідовності.
|
До |
З |
 |
 |
 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
4. Фізкультхвилинка
Закріплення
Розбір прикладу.
практичні вправи.
завдання для самостійної роботи.
а) 
|
А |
У |
 |
 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
Б) 
|
А |
У |
 |
 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
в) 
|
А |
У |
З |
|
 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Завдання для самостійної роботи «Хто швидше?»
Заготовлені картки учням, у якій треба провести заповнення таблиці істинності по шпальтах, виконуючи логічні операції відповідно до встановленої послідовністю.
|
А |
У |
З |
|
|||
Відповідь:
|
А |
У |
З |
|
|
 |
 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Узагальнення уроку, домашнє завдання (2 хв).
Д/З не задається, оскільки урок спарений, діти приходять через урок і продовжуємо вивчати тему «Основи логіки та логічні основи комп'ютера».
сторінка 1
При складанні таблиці істинності для логічного вираження необхідно:
З'ясувати кількість рядків таблиці (обчислюється як 2 n , де n – кількість змінних).
З'ясувати кількість стовпців (визначається як кількість змінних + кількість логічних операцій).
Встановити послідовність виконання логічних операцій.
Побудувати таблицю, вказуючи назви стовпців та можливі набори значень вихідних логічних змінних.
Заповнити таблицю істинності по шпальтах.
Контрольний приклад. Побудувати таблицю істинності для вираження F = (A V B) & (A V B).
Кількість рядків у таблиці визначається як 2 2 (2 змінні) + 1 (заголовок таблиці) = 5.
Кількість стовпців – як 2 логічні змінні (A, B) + 5 логічних операцій (&, V, ¬, →, ↔).
Розставимо порядок виконання операцій:
(A V B) & (A V B).
Збудуємо таблицю істинності для даного логічного виразу (таблиця 5).
Таблиця 5 - Таблиця істинності для логічного вираження
|
(A V B) & (¬A V ¬B) |
||||||
Контрольний приклад. Побудувати таблицю істинності для логічного вираження XVY&Z.
Кількість рядків = 23 + 1 = 9.
Кількість стовпців = 3 логічні змінні + 3 логічні операції = 6.
Вкажемо порядок дій:
Намалюємо та заповнимо таблицю 6:
Таблиця 6 - Таблиця істинності для логічного вираження
1.4 Побудова логічних схем
З погляду логіки електричний струм або тече, або тече; електричний імпульс є чи ні; електрична напруга є чи ні. Розглянемо електричні контактні схеми, які реалізують логічні операції (схеми 1 – 3). На схемах 1 – 3 контакти позначені латинськими літерами A та B.
Схема 1 – Кон'юнкція Схема 2 – Диз'юнкція Схема 3 – Інверсія
(Автоматичний ключ)
Схема 4 – Кон'юнктор Схема 5 – Диз'юнктор Схема 6 – Інвертор
Ланцюг на схемі 1 з послідовним з'єднанням контактів відповідає логічній операції «І» і представляється кон'юнктором (схема 4). Ланцюг на схемі 2 з паралельним з'єднанням контактів відповідає логічній операції «АБО» і представляється диз'юнктором (схема 5). Ланцюг на схемі 3 (електромагнітне реле) відповідає логічній операції «НЕ» і представляється інвертором (схема 6).
Саме такі електронні схемизнайшли своє застосування як елементну базу ЕОМ. Елементи, що реалізують базові логічні операції, назвали базовими логічними елементами або вентилямиі характеризуються вони станом контактів, а наявністю сигналів на вході і виході елемента. Їх назви та умовні позначення є стандартними та використовуються при складанні та описі логічних схем комп'ютера.
Логічні схеми необхідно будувати з мінімально можливої кількості елементів, що, своєю чергою, забезпечує велику швидкість роботи та збільшує надійність пристрою.
Правило побудови логічних схем:
Визначити кількість логічних змінних.
Визначити кількість базових логічних операцій та їх порядок.
Зобразити для кожної логічної операції відповідний вентиль.
З'єднати вентилі у порядку виконання логічних операцій.
Контрольний приклад.Нехай X = Істина (1), Y = Брехня (0). Складіть логічну схему для наступного логічного виразу: F = X V Y & X.
1) Дві змінні -X та Y.
2) Дві логічні операції: X V Y & X.
3) Будуємо схему (рисунок 3).
4) Відповідь: 1 V 0 & 1 = 1.
Рисунок 3 – Логічна схема для логічного вираження F = X V Y & X