Проходження випадкових процесів через лінійні та нелінійні ланцюги. Проходження випадкових сигналів через лінійні інерційні ланцюги Проходження випадкових сигналів через лінійні стаціонарні ланцюги

Мета роботи:

вивчення процесів проходження гармонійних сигналів та сигналів прямокутної форми через лінійні ланцюги, такі як диференціююча та інтегруюча ланцюга, послідовний та паралельний коливальні контури, трансформатор;

вивчення перехідних процесів у лінійних ланцюгах;

отримання досвіду роботи з вимірювальними приладами;

навчитися виконувати розрахунки RCL-ланцюгів, використовуючи символічний метод;

обробка та аналіз отриманих експериментальних даних.

Завдання:

виміряти амплітудно-частотні характеристики семи лінійних ланцюгів;

виміряти фазочастотні характеристики вище перелічених лінійних ланцюгів;

отримати та дослідити перехідні характеристики семи лінійних ланцюгів;

1 Лінійні ланцюги

У радіоелектроніці електричні ланцюги є сукупність з'єднаних схемних елементів, таких як резистори, конденсатори, котушки індуктивності, діоди, транзистори, операційні підсилювачі, джерела струму, джерела напруги та інші.

З'єднуються схемні елементи за допомогою дротів чи друкованих шин. Електричні ланцюги, складені з ідеалізованих елементів, класифікуються за низкою ознак:

За енергетичними особливостями:

активні (що містять джерела живлення);

пасивні ланцюги (не містять джерел струму та (або) напруги);

За топологічними особливостями:

планарні (плоскі);

непланарні;

розгалужені;

нерозгалужені;

прості (одно-, двоконтурні);

складні (багатоконтурні, багатовузлові);

За кількістю зовнішніх висновків:

двополюсники;

чотириполюсники;

багатополюсники;

Від частоти вимірювального поля:

ланцюга із зосередженими параметрами (у ланцюгах із зосередженими параметрами опором має тільки резистор, ємністю лише конденсатор, індуктивністю лише котушка індуктивності);

ланцюги з розподіленими параметрами (у ланцюгах з розподіленими параметрами навіть сполучні проводи мають ємність, провідність та індуктивність, які розподілені вздовж їх довжини; найбільш характерний такий підхід до ланцюгів в області надвисоких частот);

Від типу елементів:

лінійні ланцюги, якщо вони складаються з лінійних елементів, що ідеалізуються;

нелінійні ланцюги, якщо до складу ланцюга входить хоча б один нелінійний елемент;

У цьому роботі розглянуті пасивні ланцюга, які з трьох схемних елементів . Елементи
- Називають ідеалізованими схемними елементами. Струм, що протікає через такі елементи, є лінійною функцією від прикладеної напруги:

для резистора
:
;

для конденсатора :
;

для котушки індуктивності :

Тому ланцюги, що складаються з
елементів, називаються лінійними.

Строго кажучи, практично не все
елементи лінійні, але у багатьох випадках відхилення від лінійності невеликий і дійсний елемент можна сприймати як ідеалізований лінійний. Активний опір можна розглядати як лінійний елемент тільки в тому випадку, якщо поточний через нього струм настільки малий, що тепло, що виділяється, не призводить до помітної зміни величини його опору. Аналогічні міркування можна висловити щодо котушки індуктивності та конденсатора. Якщо параметри
ланцюги залишаються незмінними протягом часу, коли протікає електричний процес, що вивчається, то говорять про ланцюга з постійними параметрами.

Оскільки процеси в лінійних ланцюгах описуються лінійними рівняннями, до них застосовується принцип суперпозиції. Це означає, що результат дії в лінійному ланцюзі сигналу складної форми можна знайти як суму результатів дій сигналів простіших, на які розкладається вихідний складний сигнал.

Для аналізу лінійних ланцюгів використовується два методи: метод частотних характеристик та метод перехідних характеристик.

Для визначення стійкості годограф будувати необов'язково. Для цього достатньо проаналізувати АЧХ та ФЧХ. Отже, третє альтернативне формулювання критерію Найквіста: якщо АЧХ більше одиниці на частотах, за яких ФЧХ дорівнює 0 абоде n € z, то система зі зворотним зв'язком не стійка, інакше стійка (Малюнок 3.10).

Рис. 3.9 АЧХ та ФЧХ розімкнутої системи із зворотним зв'язком

4 Проходження випадкових сигналів через лінійні стаціонарні ланцюги

Основними характеристиками випадкового процесу є щільність ймовірності миттєвих значень сигналу, функція кореляційна і спектральна щільність потужності. Знаходження густини ймовірності миттєвих значень сигналу на виході лінійного ланцюга за відомою густиною ймовірності на вході ланцюга і відомим характеристикам ланцюга представляє дуже складне завдання. Однак, якщо вхідний сигнал є гаусовим, вихідний сигнал так само завжди буде гаусовим. Це означає, що розв'язання задачі спрощується і зводиться до знаходження параметрів вихідного сигналу (математичного очікування та дисперсії).

Завдання знаходження кореляційної функції та спектральної густини потужності вихідного сигналу значно простіше.

Зворотні перетворення Фур'є від спектральної щільності потужності згідно з теорією Вінера – Хінчина:

- Кореляційна функція сигналу

Зворотні перетворення Фур'є від коефіцієнта передачі за потужністю:

- Кореляційна функція імпульсної характеристики сигналу

Оскільки добуток спектрів двох сигналів дорівнює спектру згортки цих сигналів, можна записати:

Тобто кореляційна функція сигналу на виході лінійного ланцюга дорівнює згортку функції кореляційної сигналу на вході ланцюга і кореляційної функції імпульсної характеристики ланцюга.

При аналізі різних систем як перешкода часто виступає білий шум, що має спектральну щільність потужності постійну у всьому діапазоні частот:

та кореляційна функція

Отже, кореляційна функція вихідного сигналу дорівнює автокореляційної функції імпульсної характеристики коефіцієнтом .

5 Проходження сигналів через нелінійні ланцюги

Лінійні стаціонарні ланцюги не змінюють спектральний склад сигналу. Основні радіотехнічні перетворення, пов'язані зі зміною спектрального складу сигналу, здійснюється або за допомогою нелінійних ланцюгів або лінійних ланцюгів зі змінними параметрами.

Дослідження нелінійних ланцюгів є складне завдання, що полягає у вирішенні нелінійних диференціальних рівнянь. Аналіз нелінійних кіл спрощується, якщо нелінійний елемент є безінерційним, т. е. реакція зміну вхідного впливу відбувається миттєво. Строго кажучи, безінерційних елементів (БНЕ) немає, але у разі коли час зміни вхідного сигналу значно перевищує час встановлення процесу в нелінійному елементі, елемент може вважатися безінерційним. У радіотехніці як нелінійні елементи найчастіше використовують напівпровідникові прилади (діоди, транзистори). Для опису таких приладів використовують ВАХ, які пов'язують між собою напруги, прикладені до приладів та струми, що протікають через прилади.

У радіоелектроніці доводиться мати справу з різними сигналами та різними ланцюгами, при проходженні сигналів по таких ланцюгах виникають перехідні процеси, в результаті яких форма сигналу, що передається, може змінитися. Більшість пристроїв містить у собі сукупність лінійних та нелінійних елементів, що ускладнює суворий аналіз проходження сигналів. Однак є досить широке коло завдань, які успішно можна вирішувати лінійними методами, навіть якщо в ланцюзі є нелінійний елемент. Це відноситься до пристроїв, в яких сигнали настільки малі по амплітуді, що нелінійність характеристик нелінійного елемента можна знехтувати, так що його можна вважати лінійним.

Більшість методів аналізу проходження сигналів через лінійний ланцюг засноване на основному принципі - принципі суперпозиції, при якому реакція ланцюга на складний вплив може бути визначена як сума реакцій на простіші сигнали, на які можна розкласти складний вплив. Реакція лінійного ланцюга на відомий простий (тестовий) вплив називається системною (тобто залежить тільки від ланцюга) передавальноїхарактеристикою кола. Сама передавальна характеристика може бути визначена:

а) класичнимметодом, у якому ланцюг описується системою лінійних диференціальних рівнянь, у правій частині якої записано тестовий вплив; цим методом найчастіше визначаються реакції на одиничну ступінчасту функцію або дельта-функцію, так звані перехідна та імпульсна характеристики ланцюга, що є передатними характеристиками ланцюга для методу накладання (або методу інтеграла Дюамеля); класичним методом при досить нескладних ланцюгах і впливах може бути вирішена завдання аналізу, тобто. знаходження реакції ланцюга на вхідний сигнал;

б) комплекснимметодом, якщо як тестовий сигнал використовується гармонійне коливання; у цьому випадку визначається така передавальна характеристика ланцюга як частотнахарактеристика, що є основою частотного аналізу;

в) операторнимметодом, у якому використовується апарат перетворення Лапласа, у результаті визначається операторнапередавальна характеристика ланцюга, оскільки операторний метод використовує сигнал виду e pt, де p=s + jw, то при заміні в операторній передавальній характеристиці pна jwвиходить частотна передавальна характеристика, крім того, як показано нижче, оригінал від операторної передавальної характеристики є імпульсною характеристикою ланцюга.

Тому можна класифікувати методи аналізу проходження складних сигналів на

а) частотні, що застосовуються головним чином для аналізу процесів, що встановилися;

б) тимчасові, що використовують перехідну або імпульсну характеристику ланцюга, що застосовуються у випадках швидко мінливих (імпульсних) сигналів, коли важливими є перехідні процеси ланцюга.

При аналізі проходження сигналів через вузькосмугові виборчі ланцюги ці ж методи можна використовувати не для миттєвих значень сигналу, а для повільно огинальної.

У гол. 6 розглядалася передача різних сигналів через лінійні ланцюги із постійними параметрами. Зв'язок між вхідним і вихідним сигналами у таких ланцюгах визначалася за допомогою передавальної функції (спектральний метод) або за допомогою імпульсної характеристики (метод інтеграла накладання).

Аналогічні співвідношення можна скласти і для лінійних ланцюгів із змінними параметрами. Вочевидь, що у подібних ланцюгах характер залежності між вхідним і вихідним сигналами у процесі передачі змінюється. Інакше кажучи, передавальна функція ланцюга залежить тільки від а й від часу; імпульсна характеристика також залежить від двох змінних: від інтервалу між моментом застосування одиничного імпульсу і моментом спостереження вихідного сигналу t (як і для ланцюга з постійними параметрами) і, крім того, положення інтервалу на осі часу. Тому для ланцюга із змінними параметрами імпульсну характеристику слід записувати у загальній формі

Якщо на вході чотириполюсника з імпульсною характеристикою діє довільний сигнал s(t) (рис. 10.2), то, ґрунтуючись на принципі суперпозиції, вихідний сигнал за аналогією з виразом (6.11) можна визначити за допомогою виразу

(10.12)

Постараємося тепер запровадити передатну функцію для ланцюга зі змінними параметрами. Для цього уявімо функцію у вигляді інтеграла Фур'є:

(10.13)

де - спектральна густина сигналу s(t).

Тоді вираз (10.13) переходить у наступне:

Рис. 10.2. Параметричний чотириполюсник

Позначивши внутрішній інтеграл через перепишемо останній вираз так:

(10.14)

З (10.14) випливає, що функцію, що визначається виразом

Електричні ланцюги є невід'ємною складовою електронних елементів автоматики, що виконують велику кількість різних специфічних функцій. Основна відмінність електричних ланцюгів від електронних полягає в тому, що вони є сукупністю пасивних лінійних елементів, тобто таких, вольт-амперні характеристики яких підпорядковуються закону Ома, і вони не посилюють вхідні сигнали. Внаслідок цього електричні ланцюги електронних пристроїв частіше називають лінійними пристроями перетворення та формування електричних сигналів.

Функціонально лінійні пристрої формування та перетворення електричних сигналів можна поділити на такі основні групи:

Інтегруючі ланцюги, які застосовуються для інтегрування сигналів, і іноді для розширення (збільшення тривалості) імпульсів;

Диференціюючі (укорочуючі) ланцюги, що застосовуються для диференціювання сигналів, а також для укорочення імпульсів (отримання імпульсів заданої тривалості);

Резисторні та резисторно-ємні дільники, що застосовуються для зміни амплітуди електричних сигналів;

Імпульсні трансформатори, що застосовуються для зміни полярності та амплітуди імпульсів, для гальванічної розв'язки імпульсних ланцюгів, для формування позитивного зворотного зв'язку в генераторах і формувачах імпульсів, для узгодження ланцюгів навантаження, для отримання імпульсів з декількох вихідних обмоток;

Електричні фільтри, призначені для виділення зі складного за формою електричного сигналу частотних складових, розташованих у заданій області, і придушення частотних складових, розташованих у всіх інших областях частоти.

Залежно від елементів, на яких виконуються лінійні пристрої, їх можна розділити на RC-, RL- та RLC-ланцюги. При цьому лінійні пристрої можуть включати лінійний резистор R, лінійний конденсатор С, лінійну котушку індуктивності L, імпульсний трансформатор без насичення сердечника. Слово «лінійний» підкреслює, що маються на увазі лише ті різновиди елементів, які мають вольт-амперні характеристики лінійного типу, або, іншими словами, номінальне значення параметра (опору, ємності тощо) у яких постійно і не залежить від того, що протікає струму або напруги. Наприклад, звичайний конденсатор зі слюдяними діелектричними прокладками в широкому діапазоні напруг вважається лінійним, а значення ємності pn-переходу залежить від напруги, і її не можна віднести до лінійних елементів. Крім того, завжди є обмеження амплітуди або потужності сигналу, при яких елемент зберігає лінійні властивості. Наприклад, допустима напруга на конденсаторі не повинна перевищувати пробивного значення. Аналогічні обмеження є й в інших елементів, та їх доводиться враховувати, відносячи елемент до того чи іншого класу.

Найважливіша властивість лінійних пристроїв полягає в їх здатності накопичувати та віддавати енергію в ємнісних та індуктивних елементах і цим перетворювати вхідні сигнали на тимчасову зміну інтервалів на виході. Ця властивість є основою роботи генераторів, пристроїв придушення імпульсних перешкод і «змагань» у цифрових схемах, що у процесі проходження електричного сигналу через ланцюги з різної тимчасової затримкою.

Слід зазначити певні труднощі застосування лінійних електричних кіл в інтегральній технології. Це з наявністю низки технологічних труднощів виготовлення резисторів і конденсаторів, а про котушках індуктивності, в інтегральному виконанні.

Частотно незалежний дільник напруги призначений зменшення напруги джерела сигналу до необхідної величини. ДН застосовується для узгодження вхідного каскаду з джерелом сигналу по напрузі, для завдання робочої точки транзистора в підсилювачі, для формування еталонної (найчастіше говорять «опорної») напруги. Схема найпростішого дільника напруги наведена на малюнку трохи вище

При аналізі реальних електронних схем, щоб уникнути грубих помилок, завжди необхідно враховувати електричні характеристики джерела сигналу і навантаження. Найважливішими з них є:

Величина та полярність ЕРС джерела сигналу;

внутрішній опір джерела сигналу (Rг);

АЧХ та ФЧХ джерела сигналу;

Опір навантаження (Rн);

На наступному малюнку представлені різновиди дільників напруги.

На малюнку (а) представлено дільник напруги на змінному резистори. Використовується регулювання чутливості ЭУ. Там же, малюнок б зображує дільник з кількома вихідними напругами. Такий ДН використовується, наприклад, у каскодному підсилювачі. У ряді випадків, коли опір Rн мало, його використовують як нижнє плече дільника. Наприклад, при побудові підсилювача з ОЕ положення робочої точки задають дільником, утвореним Rб і опором базового переходу транзистора rбе.

Важливе місце в електроніці посідають дільники напруги, у яких верхнє або нижнє плече утворене змінним опором Якщо дільник запитати постійною стабільною напругою, і, скажімо, в нижньому плечі поставити опір, величина якого залежить від температури, тиску, вологості та інших фізичних параметрів, то з виходу дільника напруги можна знімати напругу, пропорційну температурі, тиску, вологості тощо. . Особливе місце займають дільники, у яких один із опорів залежить від частоти напруги живлення. Вони утворюють велику групу різноманітних фільтрів електричних сигналів.

Подальше удосконалення дільника напруги призвело до появи вимірювального моста, що складається із двох дільників. У такій схемі можна знімати сигнал між середньою точкою і загальним проводом, і між двома середніми точками. У другому випадку розмах вихідного сигналу при однаковій зміні змінних опорів подвоюється. Підсилювачі електричних сигналів також є дільником напруги, роль змінного опору в якому грає керований вхідною напругою транзистор

Найпростіша інтегруючий ланцюжокявляє собою дільник напруги, у якого роль нижнього плеча дільника виконує конденсатор

Лінійні ланцюги, що диференціюють

Найпростіша диференційний ланцюжокявляє собою дільник напруги, у якого роль верхнього плеча дільника виконує конденсатор

Інтегруюча та диференціююча ланки при впливі на них безперервними випадковими сигналами поводяться як, відповідно, фільтри нижніх та верхніх частот, елементи R1 та C2 утворюють фільтр нижніх частот, а C1 та R2 – фільтр верхніх частот