Виклад методів розрахунку та аналізу електричних ланцюгів, як правило, зводиться до знаходження струмів гілок при відомих значеннях ЕРС та опорів.

Методи розрахунку та аналізу електричних ланцюгів постійного струму, що розглядаються тут, придатні і для ланцюгів змінного струму.

2.1 Метод еквівалентних опорів

(метод згортання та розгортання ланцюга).

Цей метод застосовується тільки для електричних ланцюгів, що містять одне джерело живлення. Для розрахунку окремі ділянки схеми, що містять послідовні або паралельні гілки, спрощують, замінюючи їх еквівалентними опорами. Таким чином, ланцюг згортається до одного еквівалентного опору ланцюга, підключеного до джерела живлення.

Потім визначається струм гілки, що містить ЕРС, і схема розгортається у зворотному порядку. При цьому обчислюються падіння напруги ділянок і струми гілок. Так, наприклад, на схемі 2.1 А Опір R3 і R4 включені послідовно. Ці два опори можна замінити одним, еквівалентним

R3,4 = R3 + R4

Після такої заміни виходить простіша схема (Рис.2.1 Б ).

Тут слід звернути увагу на можливі помилкиу визначенні способу з'єднань опорів. Наприклад опору R1 і R3 не можна вважати з'єднаними послідовно, також як опору R2 і R4 не можна вважати з'єднаними паралельно, тому що це не відповідає основним ознакам послідовного і паралельного з'єднання.

Рис 2.1 До розрахунку електричного кола методом

Еквівалентних опорів.

Між опорами R1 і R2 , у точці У, є відгалуження зі струмом I2 . Тому струм I1 Не дорівнюватиме струму I3 , таким чином опору R1 і R3 не можна вважати включеними послідовно. Опір R2 і R4 з одного боку приєднані до спільної точки D, а з іншого боку - до різних точок Уі З.Отже, напруга, додана до опору R2 і R4 Не можна вважати включеними паралельно.

Після заміни опорів R3 і R4 еквівалентним опором R3,4 та спрощенням схеми (Рис. 2.1 Б), більш наочно видно, що опори R2 і R3,4 з'єднані паралельно і їх можна замінити одним еквівалентним, виходячи з того, що при паралельному з'єднанні гілок загальна провідність дорівнює сумі провідностей гілок:

GBD= G2 + G3,4 , Або = + Звідки

RBD=

І отримати ще простішу схему (Рис 2.1, У). У ній опори R1 , RBD, R5 з'єднані послідовно. Замінивши ці опори одним, еквівалентним опором між точками Aі F, отримаємо найпростішу схему(Рис 2.1, Г):

RAF= R1 + RBD+ R5 .

В отриманій схемі можна визначити струм у ланцюзі:

I1 = .

Струми в інших гілках неважко визначити, переходячи від схеми до схеми у зворотному порядку. Зі схеми на малюнку 2.1 УМожна визначити падіння напруги на ділянці B, Dланцюги:

UBD= I1 В·RBD

Знаючи падіння напруги на ділянці між точками Bі Dможна обчислити струми I2 і I3 :

I2 = , I3 =

приклад 1.Нехай (Рис 2.1 А) R0 = 1 Ом; R1 =5 Ом; R2 =2 Ом; R3 =2 Ом; R4 =3 Ом; R5 =4 Ом; Е=20 У. Знайти струми гілок, скласти баланс потужностей.

Еквівалентний опір R3,4 Рівно сумі опорів R3 і R4 :

R3,4 = R3 + R4 =2+3=5 Ом

Після заміни (Рис 2.1 Б) обчислимо еквівалентний опір двох паралельних гілок R2 і R3,4 :

RBD= ==1,875 Ом,

І схема ще спроститься (Рис 2.1 У).

Обчислимо еквівалентний опір всього ланцюга:

RЕкв= R0 + R1 + RBD+ R5 = 11,875 Ом.

Тепер можна обчислити загальний струм ланцюга, тобто виробляється джерелом енергії:

I1 = = 1,68 А.

Падіння напруги на ділянці BDбуде одно:

UBD= I1 · RBD= 1,68 · 1,875 = 3,15 В.

I2 = = =1,05 А;I3 ===0,63 А

Складемо баланс потужностей:

Е·I1 = I12· (R0+ R1+ R5) + I22· R2+ I32· R3,4,

20 · 1,68 = 1,682 · 10 +1,052 · 3 +0,632 · 5

33,6=28,22+3,31+1,98 ,

Мінімальна розбіжність обумовлена ​​заокругленням при обчисленні струмів.

У деяких схемах не можна виділити опорів, включених між собою послідовно або паралельно. У таких випадках краще скористатися іншими універсальними методами, які можна застосувати для розрахунку електричних кіл будь-якої складності та конфігурації.

2.2 Метод законів Кірхгофа.

Класичним методом розрахунку складних електричних кіл є безпосереднє застосування законів Кірхгофа. Всі інші способи розрахунку електричних кіл виходять із цих фундаментальних законів електротехніки.

Розглянемо застосування законів Кірхгофа визначення струмів складної ланцюга (Рис 2.2) якщо її ЕРС і опору задані.

Рис. 2.2. До розрахунку складного електричного ланцюга для

Визначення струмів за законами Кірхгофа.

Число незалежних струмів схеми дорівнює числу гілок (у разі m=6). Тому для вирішення завдання необхідно скласти систему з шести незалежних рівнянь, спільно за першим та другим законами Кірхгофа.

Кількість незалежних рівнянь складених за першим законом Кірхгофа завжди на одиницю менша за вузли,ознакою незалежності є наявність у кожному рівнянні хоча б одного нового струму.

Оскільки кількість гілок Mзавжди більше, ніж вузлів До, Та недостатня кількість рівнянь складається за другим законом Кірхгофа для замкнутих незалежних контурів,Т. е. щоб у кожне нове рівняння входила хоча б одна нова гілка.

У нашому прикладі кількість вузлів дорівнює чотирьом – A, B, C, DОтже, складемо лише три рівняння за першим законом Кірхгофа, для будь-яких трьох вузлів:

Для вузла A: I1+I5+I6=0

Для вузла B: I2+I4+I5=0

Для вузла C: I4+I3+I6=0

За другим законом Кірхгофа нам потрібно скласти також три рівняння:

Для контуру A, C,В, А:I5 · R5 — I6 · R6 — I4 · R4 =0

Для контуру D,A,В,D: I1 · R1 — I5 · R5 — I2 · R2 =Е1-Е2

Для контуру D,В, С,D: I2 · R2 + I4 · R4 + I3 · R3 =Е2

Вирішуючи систему із шести рівнянь можна знайти струми всіх ділянок схеми.

Якщо при розв'язанні цих рівнянь струми окремих гілок вийдуть негативними, це буде вказувати, що дійсний напрямок струмів протилежно довільно обраному напрямку, але величина струму буде правильною.

Уточнимо тепер порядок розрахунку:

1) довільно вибрати та нанести на схему позитивні напрямки струмів гілок;

2) скласти систему рівнянь за першим законом Кірхгофа – кількість рівнянь на одиницю менша за вузли;

3) довільно вибрати напрямок обходу незалежних контурів та скласти систему рівнянь за другим законом Кірхгофа;

4) вирішити загальну систему рівнянь, обчислити струми, і, у разі отримання негативних результатів, змінити напрями цих струмів.

Приклад 2. Нехай у нашому випадку (рис. 2.2.) R6 = ∞ , Що рівносильно обриву цієї ділянки ланцюга (рис. 2.3). Визначимо струми гілок ланцюга, що залишився. обчислимо баланс потужностей, якщо E1 =5 В, E2 =15 B, R1 =3 Ом, R2 = 5 Ом, R 3 =4 Ом, R 4 =2 Ом, R 5 =3 Ом.

Рис. 2.3 Схема вирішення задачи.

Рішення. 1. Виберемо довільний напрямок струмів гілок, їх у нас три: I1 , I2 , I3 .

2. Складемо лише одне незалежне рівняння за першим законом Кірхгофа, тому що у схемі лише два вузли Уі D.

Для вузла У: I1 + I2 — I3 =О

3. Виберемо незалежні контури та напрямок їхнього обходу. Нехай контури ДАВД і ДВСД обходимо за годинниковою стрілкою:

E1-E2 = I1 (R1 + R5) - I2 R2,

E2=I2· R2 + I3· (R3+R4).

Підставимо значення опорів та ЕРС.

I1 + I2 — I3 =0

I1 +(3+3)- I2 · 5=5-15

I2 · 5+ I3 (4+2)=15

Розв'язавши систему рівнянь, обчислимо струми гілок.

I1 =- 0,365А ; I2 = I22 — I11 = 1,536А ; I3 = 1,198А.

Як перевірку правильності рішення складемо баланс потужностей.

Σ EiIi =Σ Iy2·Ry

E1 · I1 + E2 · I2 = I12 · (R1 + R5) + I22 · R2 + I32 · (R3 + R4);

5(-0,365) + 15·1,536 = (-0,365)2·6 + 1,5632·5 + 1,1982·6

1,82 + 23,44 = 0,96 + 12,20 + 8,60

21,62 ≈ 21,78.

Розбіжності незначні, отже рішення правильне.

Одним із головних недоліків цього методу є велика кількість рівнянь у системі. Найбільш економічним при обчислювальній роботі є Метод контурних струмів.

2.3 Метод контурних струмів.

При розрахунку Методом контурних струміввважають, що у кожному незалежному контурі тече свій (умовний) Контурний струм. Рівняння становлять щодо контурних струмів за другим законом Кірхгофа. Таким чином, кількість рівнянь дорівнює кількості незалежних контурів.

Реальні струми гілок визначають як суму алгебри контурних струмів кожної гілки.

Розглянемо, наприклад, схему рис. 2.2. Розіб'ємо її на три незалежні контури: З ВАС; АВDА; НДDУі умовимося, що з кожного їх проходить свій контурний струм, відповідно I11 , I22 , I33 . Напрямок цих струмів виберемо у всіх контурах однаковим за годинниковою стрілкою, як показано малюнку.

Зіставляючи контурні струми гілок, можна встановити, що по зовнішніх гілках реальні струми дорівнюють контурним, а по внутрішнім гілкам вони дорівнюють сумі або різниці контурних струмів:

I1 = I22, I2 = I33 - I22, I3 = I33,

I4 = I33 - I11, I5 = I11 - I22, I6 = - I11.

Отже, за відомими контурними струмами схеми легко можна визначити дійсні струми її гілок.

Для визначення контурних струмів даної схеми достатньо скласти лише три рівняння кожного незалежного контуру.

Складаючи рівняння для кожного контуру необхідно врахувати вплив сусідніх контурів струмів на суміжні гілки:

I11(R5 + R6 + R4) - I22 R5 - I33 R4 = O,

I22 (R1 + R2 + R5) - I11 R5 - I33 R2 = E1 - E2,

I33 (R2 + R3 + R4 ) — I11 · R4 — I22 · R2 = E2 .

Отже, порядок розрахунку методом контурних струмів виконується у наступній послідовності:

1. встановити незалежні контури та вибрати напрями в них контурних струмів;

2. позначити струми гілок та довільно дати їм напрями;

3. встановити зв'язок дійсних струмів гілок та контурних струмів;

4. скласти систему рівнянь за другим законом Кірхгофа для контурних струмів;

5. розв'язати систему рівнянь, знайти контурні струми та визначити дійсні струми гілок.

приклад 3.Розв'яжемо задачу (приклад 2) методом контурних струмів, вихідні дані ті ж.

1. У задачі можливі лише два незалежні контури: виберемо контури АВDАі НДDУ, і приймемо напрямки контурних струмів до них I11 і I22 за годинниковою стрілкою (рис. 2.3).

2. Справжні струми гілок I1 , I2, I3 та їх напрямки також показано на (рис 2.3).

3. зв'язок дійсних та контурних струмів:

I1 = I11 ; I2 = I22 — I11 ; I3 = I22

4. Складемо систему рівнянь для контурних струмів за другим законом Кірхгофа:

E1 - E2 = I11 · (R1 + R5 + R2) - I22 · R2

E2 = I22 · (R2 + R4 + R3) - I11 · R2;

5-15 = 11 · I11 -5 · I22

15 = 11 · I22 -5 · I11 .

Розв'язавши систему рівнянь отримаємо:

I11 = -0,365

I22 = 1,197, тоді

I1 = -0,365; I2 = 1,562; I3 = 1,197

Як бачимо реальні значення струмів гілок збігаються з отриманими значеннями прикладі 2.

2.4 Метод вузлової напруги (метод двох вузлів).

Часто зустрічаються схеми, що містять всього два вузли; на рис. 2.4 зображено одну з таких схем.

Рис. 2.4. До розрахунку електричних кіл методом двох вузлів.

Найбільш раціональним методом розрахунку струмів у них є Метод двох вузлів.

Під Методом двох вузліврозуміють метод розрахунку електричних ланцюгів, в якому за потрібну напругу (з його допомогою потім визначають струми гілок) приймають напругу між двома вузлами Аі Усхеми – UАВ.

Напруга UАВможе бути знайдено з формули:

UАВ=

У чисельнику формули знак "+", для гілки містить ЕРС, береться якщо напрямок ЕРС цієї гілки направлено у бік підвищення потенціалу, і знак "-" якщо в бік зниження. У нашому випадку, якщо потенціал вузла А прийняти вище потенціалу вузла (потенціал вузла В прийняти рівним нулю), Е1G1 береться зі знаком «+», а Е2 ·G2 зі знаком «-»:

UАВ=

Де G- Проводимості гілок.

Визначивши вузлову напругу, можна обчислити струми в кожній галузі електричного ланцюга:

IДо=(Ек-UАВ) GДо.

Якщо струм має негативне значення, то дійсний напрямок є протилежним позначеним на схемі.

У цій формулі, для першої гілки, тому що струм I1 збігається з напрямком Е1, то її значення набуває зі знаком плюс, а UАВзі знаком мінус, тому що направлено назустріч струму. У другій гілки та Е2і UАВспрямовані назустріч струму та беруться зі знаком мінус.

Приклад 4. Для схеми рис. 2.4 якщо Е1 = 120В, Е2 = 5Ом, R1 = 2Ом, R2 = 1Ом, R3 = 4Ом, R4 = 10Ом.

UАВ=(120·0,5-50·1)/(0,5+1+0,25+0,1)=5,4 В

I1 = (E1-UАВ) · G1 = (120-5,4) · 0,5 = 57,3А;

I2 = (-E2-UАВ) · G2 = (-50-5,4) · 1 = -55,4А;

I3 = (О-UАВ) · G3 = -5,4 · 0,25 = -1,35А;

I4 = (О-UАВ) · G4 = -5,4 · 0,1 = -0,54А.

2.5. Нелінійні ланцюги постійного струму та їх розрахунок.

До цих пір ми розглядали електричні ланцюги, параметри яких (опору і провідності) вважалися не залежать від величини і напряму струму, що проходить по них, або прикладеного до них напруги.

У практичних умовах більшість елементів, що зустрічаються, мають параметри, що залежать від струму або напруги, вольт-амперна характеристика таких елементів має нелінійний характер (мал. 2.5), такі елементи називаються Нелінійними. Нелінійні елементи широко використовуються у різних галузях техніки (автоматики, обчислювальної техніки та інших).

Рис. 2.5. Вольт-амперні характеристики нелінійних елементів:

1 - напівпровідникового елемента;

2 - термоопір

Нелінійні елементи дозволяють реалізувати процеси, які неможливі в лінійних ланцюгах. Наприклад, стабілізувати напругу, посилювати струм та інші.

Нелінійні елементи бувають керованими та некерованими. Некеровані нелінійні елементи працюють без впливу керуючого впливу (напівпровідникові діоди, термоопір та інші). Керовані елементи працюють під впливом керуючого впливу (тиристори, транзистори та інші). Некеровані нелінійні елементи мають одну вольт-амперну характеристику; керовані – сімейство показників.

Розрахунок електричних ланцюгів постійного струму найчастіше виробляють графічними методами, які застосовуються за будь-якого виду вольт-амперних характеристик.

Послідовне поєднання нелінійних елементів.

На рис. 2.6 наведено схему послідовного з'єднання двох нелінійних елементів, а на рис. 2.7 їх вольтамперні характеристики – I(U1 ) і I(U2 )

Рис. 2.6 Схема послідовної сполуки

Нелінійні елементи.

Рис. 2.7 Вольтамперні властивості нелінійних елементів.

Побудуємо вольт-амперну характеристику I(U), що виражає залежність струму Iу ланцюзі від прикладеної до неї напруги U. Оскільки струм обох ділянок ланцюга однаковий, а сума напруги на елементах дорівнює прикладеному (рис. 2.6) U= U1 + U2 , то для побудови характеристики I(U) достатньо підсумувати абсциси заданих кривих I(U1 ) і I(U2 ) для певних значень струму Користуючись характеристиками (рис. 2.6), можна вирішити різні для цього ланцюга завдання. Нехай, наприклад, задана величина прикладеного до струму напруги Uі потрібно визначити струм у ланцюгу та розподіл напруг на її ділянках. Тоді на характеристиці I(U) відзначаємо точку Авідповідну доданій напрузі Uі проводимо від неї горизонталь, що перетинає криві. I(U1 ) і I(U2 ) до перетину з віссю ординат (точка D), яка показує величину струму в ланцюгу, а відрізки УDі ЗDвеличину напруги на елементах кола. І навпаки, по заданому струму можна визначити напругу як загальну, так і на елементах.

Паралельне з'єднання нелінійних елементів.

При паралельному з'єднанні двох нелінійних елементів (рис. 2.8) із заданими вольт-амперними характеристиками у вигляді кривих I1 (U) і I2 (U) (рис. 2.9) напруга Uє загальним, а струм I в нерозгалуженій частині ланцюга дорівнює сумі струмів гілок:

I = I1 + I2

Рис. 2.8 Схема паралельного з'єднання нелінійних елементів.

Тому для отримання загальної характеристики I(U) достатньо довільних значень напруги U на рис. 2.9. підсумувати ординати характеристик окремих елементів.

Рис. 2.9 Вольт-амперні властивості нелінійних елементів.

(див. завданняКР6 - 1)

П1.1. Основні визначення. Електричний ланцюг - це сукупність пристроїв і об'єктів, що утворюють шлях для електричного струму, електромагнітні процеси в яких можуть бути описані за допомогою понять про електрорушійну силу, електричний струм і електричну напругу.

Електричний струм- це явище спрямованого руху вільних носіїв електричного заряду qв речовині або в порожнечі, що кількісно характеризується скалярною величиною, що дорівнює похідній за часом від електричного заряду, що переноситься вільними носіями заряду через поверхню, що розглядається, тобто.

З виразу (1.1) одержують одиницю струму

[I] = [q]/[t] = Кл / с = А × c / с = А (ампер).

Постійний електричний струм(надалі струм) – це постійне і односпрямоване рух заряджених частинок (зарядів). При постійному струмі протягом кожного однакового проміжку часу D tпереноситься однаковий заряд D q. Тому струм де q -весь заряд (Кл) за час t(с) .

Умовний позитивний напрямок струму Iу зовнішній (від джерела енергії) ланцюга протилежно напрямку руху потоку електронів (електрон – частка, що має найменший негативний заряд ( q e= -1,602×10 - 19 Кл, тоді 1 Кл = 6,24×10 18 електронів), тобто він протікає від точки аз великим потенціалом до точки bз меншим потенціалом, викликаючи падіння напруги(надалі напруга) на опорі цієї ділянки

U ab= j а– j b. (1.2)

Е електрична напруга – це робота, що витрачається на перенесення одиниці заряду (1 Кл) з точки ав точку bелектричного поля по довільному шляху. Однозначно визначають лише різницю потенціалів (напруга) між відповідними точками. Коли говорять про потенціал точки електричного ланцюга, то мають на увазі різницю потенціалів між цією точкою та іншою (зазвичай заземленою), потенціал якої приймають рівним нулю.

Електрорушійна силаE(надалі ЕРС Eу вольтах) джерела енергії чисельно дорівнює роботі (енергії) Wу джоулях (Дж), що витрачається стороннім та індуктованим електричними полями на переміщення одиниці заряду (1 Кл) з однієї точки поля в іншу.

П1.2. Склад електричного кола.Будь-який електричний ланцюг складається з наступних елементів:

· джерел енергії(Активнихелементів), що перетворюють різні види енергії в електричну. Це генератори електричних станцій, акумуляторні та сонячні батареї, термопари та ін;

· приймачів електричної енергії (пасивнихелементів), у яких електрична енергія перетворюється на інші види: теплову (нагрівальні елементи), механічну (електричні двигуни), світлову ( люмінісцентні лампи), хімічну (гальванічні ванни) та ін;

· допоміжних елементів (проводів, вимикачів, запобіжників, резистивних регуляторів струму, вимірювальних приладів, роз'ємів та ін.).

Електричні ланцюги прийнято зображати як електричних схем: принципових, монтажних, схем заміщення та ін. Схема електричного кола - це її графічне зображеннямістить умовні позначення елементів ланцюга і показує з'єднання цих елементів.

При аналізі електричних кіл їх замінюють схемами заміщення. Схема заміщення електричного ланцюга – це її розрахунково-математична модель, що містить ідеальні пасивні (резистивні, індуктивні та ємнісні) та активні (джерела напруги та джерела струму) елементи. Елементом Електричні ланцюги називають окремий пристрій, що виконує в ланцюгу певну функцію Ці елементи є еквівалентами (моделями) реальних пристроїв ланцюга, яким теоретично приписують певні електричні та магнітні властивості, що відображають головні (домінуючі) процеси в елементах ланцюга.

Пасивними називають елементи електричного кола, які здатні генерувати електричну енергію. До пасивних елементів відносять резистори, індуктивні котушки та конденсатори (табл. П1.1).

Резистор– це пасивний елемент електричного ланцюга, призначений для використання його електричного опору R. Резистор не може накопичувати енергію: отримана ним електрична енергія необоротно перетворюється в ньому на теплову енергію.

Таблиця П1.1. Пасивні елементи ланцюгів та їх характеристики

Індуктивна котушка – це пасивний елемент ланцюга, призначений для використання його власної індуктивності Lта/або його магнітного поля. При наростанні струму в індуктивній котушці відбувається перетворення електричної енергії на магнітну та її накопичення в магнітному полі котушки, а при спаданні струму – зворотне перетворення енергії магнітного поля на електричну енергію, що повертається джерелу.

Конденсатор– це пасивний елемент ланцюга, призначений для використання його електричної ємності З. При наростанні напруги на затискачах конденсатора у ньому відбувається перетворення електричної енергії. зовнішнього джерелав енергію електричного поля рахунок накопичення зарядів протилежних знаків на двох його електродах (пластинах). При зменшенні напруги відбувається зворотне перетворення енергії електричного поля на електричну енергію, що повертається джерелу.

Активні елементи - це джерела електричної енергії (акумулятори, генератори та ін.). Розрізняють: джерела напруги (ІН) та джерела струму (ІТ) залежно від їх внутрішнього опору (табл. П1.2). У джерелі напругивнутрішній опір Rвт значно менше опору Rнавантаження (в ідеальному ІН Rвт = 0), а в джерелі струму Rвт значно більше опору Rнавантаження (в ідеальному ІТ Rвт = ¥), а провідність (у сименсах)

Gвт = 1/ Rвт<< G = 1/R.

Таблиця П1.2. Активні елементи ланцюгів та їх характеристики

I

2 (-)

Rвт

+

1 (+)

R

U

U 12

Rвт I

Iн

Iдо

I,А

U, В

E

Uн

3

1

2

E

ІН

В, Джерело струму (ІТ)

I, A

Iвт

Gвт

U

U 12

I

0 Iн J

2

ІT

Iвт

Uн

П1.3. Топологічні параметри схем ланцюгів. Під час аналізу електричних схем користуються такими топологічнимипараметрами схем:

· гілка (У) - ділянка електричного ланцюга, вздовж якого протікає один і той же електричний струм;

· вузол (У) - місце з'єднання гілок електричного кола. Зазвичай місце, де з'єднані дві гілки, називають не вузлом, а з'єднанням(або усувним вузлом), а вузол з'єднує не менше трьох гілок;

· контур - Послідовність гілок електричного ланцюга, що утворює замкнутий шлях, в якому один з вузлів одночасно є початком і кінцем шляху, а решта зустрічається тільки один раз. В електричному ланцюзі виділяють лінійно незалежні контури kн, які відрізняються один від одного хоч би однією гілкою. Число незалежних контурів залежить від кількості гілок Ута числа вузлів Уу ланцюгу:

kн = В – (У – 1). (1.3)

Так, у схемі електричного кола (рис. П1.1) гілок В = 5, вузлів У = 3, 2 з'єднань, незалежних контурів kн = 3.

Примітки.

1. Крапки 5 , 6 , 7 і 8 мають однаковий електричний потенціал, тому вони можуть бути геометрично об'єднані в одну загальну точку - вузол.

2. Крапки 1 і 4 з'єднують по два елементи, тому їх називають точками з'єднань двох елементів, а чи не вузлами.

Е 1

П1.4. Завдання розрахунку ланцюга. Розрахунок електричного ланцюга полягає в описі її схеми заміщення математичними рівняннями та у вирішенні системи рівнянь щодо електричних величин. Теорія електричних та магнітних ланцюгів базується на введенні параметрів окремих ділянок ланцюга, з яких основними є опори, індуктивності та ємності. Крім цих параметрів, вводять у розгляд ще безліч інших (наприклад, магнітний опір магнітного ланцюга, реактивні опори та провідності ланцюга змінного струму, та ін), що перебувають у відомому зв'язку з ними або мають самостійне значення.

Завданнямрозрахунку електричного ланцюга є, насамперед, визначення струмів і напруг гілок при заданих значеннях параметрів активних та пасивних елементів схеми ланцюга.

Для розрахунку електричних ланцюгів (точніше, їх схем заміщення) розроблено кілька методів, найбільш загальними є метод безпосереднього застосування законів Кірхгофа, метод вузлових напруг, метод змінних стану, метод контурних струмів.

Примітка. Поняття «електричний ланцюг» та «схема електричного ланцюга» часто ототожнюють.

П1.5. Закони Ома та Кірхгофа.Розв'язання задач аналізу електромагнітних процесів у відомій схемі електричного ланцюга із заданими параметрами джерел енергії та резистивних елементів базується на застосуванні закону Ома, першого та другого законів Кірхгофа, які записують відповідно для гілок, вузліві контурів(Табл. П1.3).

Закон Омавстановлює залежність між струмом і напругою на пасивної гілкипри збігу напрямків струму та напруги на ній. (Див. табл. П1.3, другий рядок). Для гілки із джерелами напруги використовують узагальнений закон Ома: (Див. табл. П1.3, третій рядок). Знак плюс перед ЕРС Eта напругою U 12 записують при збігу їх напрямів з умовно позитивним напрямом струму Iта знак мінус - при не збігу їх напрямків із напрямком струму.

Перший закон Кірхгофа(1ЗК) записують для вузлівелектричної схеми (див. табл. П1.3, четвертий рядок). Закон формулюється так: алгебраїчна сума струмів у будь-якому вузлі схеми ланцюга дорівнює нулю.При цьому струми, спрямовані до вузла, прийнято записувати зі знаком плюс, а ті, що йдуть від вузла, зі знаком мінус.

Другий закон Кірхгофа(2ЗК) застосовується до контурамелектричного ланцюга (див. табл. П1.3, п'ятий рядок) і формулюється таким чином: в будь-якому контурі схеми алгебраїчна сума ЕРС дорівнює сумі алгебри напруг на всіх ділянках з опорами, що входять в цей контур.При цьому ЕРС і напруги на елементах контуру записують зі знаком плюс, якщо обраний напрямок обходу контуру (наприклад, по ходу годинної стрілки) збігається з напрямом напруги (струмів) на цих елементах, і зі знаком мінус при розбіжності.

Таблиця П1.3. Топологічні параметри схем ланцюгів та їх опис

J

k

I 2

I 3

Перший закон Кірхгофа (1ЗК) å I k = 0, I 1 - J-I 2 -I 3 = 0 Контур

I 1

Е 2

Е 3

I 2

I 3

R 1

R 3

R 2

U 12

1

2

Другий закон Кірхгофа (2ЗК) å E k = å U k, E 2 - E 3 = R 1 I 1 + +R 2 I 2 -R 3 I 3 -U 12

П1.6. Метод розрахунку, що ґрунтується на законах Кірхгофа. Аналіз та розрахунок будь-якого електричного ланцюга постійного струму можна провести в результаті спільного вирішення системи рівнянь, складених за допомогою першого та другого законів Кірхгофа. Число рівнянь у системі дорівнює числу гілок у ланцюгу ( NМЗК = У), причому число незалежних рівнянь, які можна записати по 1ЗК, на одне рівняння менше числа вузлів, тобто.

N 1ЗК = У - 1, (1.4)

а число незалежних рівнянь, що записуються по 2ЗК,

N 2ЗК = B - (У - 1), (1.5)

де У- Число гілок з невідомими струмами (без гілок з джерелами струму); У- Число вузлів.

Складемо за допомогою законів Кірхгофа необхідну кількість рівнянь визначення струмів гілок схеми (рис. П1.2), якщо задані ЭРС E 1 і E 2 джерел напруги, струм Jджерела струму та опору R 1 ,…, R 5 резисторів.

NМЗК = N 1ЗК + N 2ЗК = У.

З цією метою:

1. Проведемо топологічний аналіз схеми визначення числа незалежних рівнянь. У схемі B 1 = 6 гілок, У= 3 вузли. Однак у галузі з ІТ струм Jзаданий, тому кількість незалежних гілок У= 5. Число незалежних рівнянь для вирішення задачі за методом законів Кірхгофа

NМЗК = В = 5.

3. Складемо рівняння по 1ЗК ( N 1ЗК = У - 1 = 3 - 1 = 2):

для вузла 1 : I 1 - I 2 - J - I 3 = 0, (1)

для вузла 2 : I 3 - I 4 + I 5 = 0. (2)

4. Виберемо незалежні контури та напрямок обходу контурів, наприклад, під час годинникової стрілки. У нашому випадку є три незалежні контури, оскільки гілка із заданим струмом JІТ у рівняннях, що складаються по 2ЗК, не враховується:

N 2ЗК = B - (У - 1) = 5 – (3 – 1) = 3.

5. Складемо три рівняння по 2ЗК:

для контуру 1"-1-0-1" : E 1 = R 1 I 1 + R 2 I 2 , (3)

для контуру 1-2-0-1 : 0 = R 3 I 3 + R 4 I 4 - R 2 I 2 , (4)

для контуру 2-2"-0-2 : -E 2 = -R 5 I 5 -R 4 I 4 . (5)

6. Розв'язавши систему рівнянь (1)…(5), наприклад, методом Гауса чи з використанням формул Крамера можна визначити всі невідомі струми гілок ланцюга.

П1.6. Структурні перетворення схем заміщення ланцюгів.Розрахунок електричних ланцюгів можна спростити шляхом перетворення їх схем заміщення в простіші та зручніші для розрахунку. Такі перетворення призводять, як правило, до зменшення числа вузлів схеми і, отже, необхідної кількості вихідних рівнянь для розрахунку.

Так, гілка з послідовноз'єднаними резисторами R 1 , R 2 , … , R nможе бути перетворена на просту схему з одним резистивним елементом (рис. П1.4 а), еквівалентний опір якого дорівнює сумі опорів:

а гілка з кількома послідовно з'єднаними джерелами напруги та резисторами (рис. П1.4 б) також може бути перетворена на гілку з одним еквівалентним ІН з параметрами Rе і Ее. (рис. П1.4 в):

1

б)

R 1

а)

в)

Рис. П1.4

1

2

Rе

R 1

R 2

R n

1

2

R 2

R 3

Rе

E 1

E 2

E 3

Eе

1

2

2

2

U

Рис. П1.5

R 1

R 2

U

Gе

а)

б)

1

2

R n

1

I 1

I n

I 2

I

I

Паралельносполучені резистори з опорами R 1 , R 2 ,…, R n(Мал. П1.5 а) можна замінити одним резистором з провідністю Gе. (рис. П1.5 б).

Так як напруга на всіх гілках одна і та сама, рівна Uто струми гілок

де , - Проводимості гілок в сименсах.

У схемі із двома вузлами 1 і 2 (Див. рис. П1.5 а) струм на вході ланцюга

а еквівалентна провідність і еквівалентний опір пасивної ділянки ланцюга між вузлами 1 і 2 рівні

3

2

U

Рис. П1.6

R 2

R 1

R 3

U

R 1

U

R 1-4

R 2-4

а)

б)

в)

1

2

3

R 4

1

1

3

Електричні схеми, що мають поєднання послідовного та паралельного з'єднань ділянок ланцюга ( змішане з'єднання), можуть бути перетворені на простіші еквівалентні схеми шляхом заміни паралельних гілок однією гілкою, а послідовно з'єднані ділянки ланцюга – однією ділянкою. Приміром, для схеми рис. П1.6 аспочатку потрібно знайти еквівалентний опір паралельної ділянки 2 -3 з трьома паралельно увімкненими резисторами

а потім скласти його з опором R 1 (рис. П1.6 б, в):

В електричних ланцюгах елементи можуть бути з'єднані за схемою трикутникабо за схемою зірка(Рис. П1.7). Трикутникомназивають з'єднання трьох елементів, в якому кінець першого елемента з'єднаний з початком другого, кінець другого з початком третього, а кінець третього з початком першого (рис. П1.7 а). Зіркоюназивають з'єднання, в якому кінці трьох елементів з'єднані в одну загальну точку п(Мал. П1.7 б).

Рис. П1.7

б)

1

2

I 2

R 3

R 1

R 2

3

I 3

I 1

I 1

а)

1

2

3

I 2

I 3

R 1 2

R 23

R 31

n

З метою зменшення числа вузлів у схемі ланцюга з'єднання елементів трикутником перетворюють на еквівалентне з'єднання зіркою за допомогою наступних формул:

, , (1.10)

т. е. опір променя еквівалентної зірки дорівнює дробу, в чисельнику якої добуток двох опорів сторін трикутника, що примикають до розглянутого вузла, поділеного на суму всіх опорів сторін трикутника.

П1.7. Правило дільника напруги.У галузі, що складається з двох послідовно з'єднаних резисторів (рис. П1.8 а), напруга на одному з резисторів дорівнює прикладеному до гілки напруги, помноженому на опір даного резистора і поділеному на суму опорів обох резисторів , тобто.

U

б)

R 1

R 2

а)

U 1

U 2

I 2

R 2

I 1

U

Рис. П1.8

R 1

I

та (1.11)

П1.8. Правило дільника струму. Для ланцюга із двома паралельно з'єднаними резисторами (рис. П1.8 б) Струм однієї з двох паралельних гілок ланцюга дорівнює відповідному до розгалуження струму I, помноженому на опір інший (протилежної) гілки і поділеному на суму опорів обох гілок, тобто.

П1.9. Метод вузлових напруг.Метод вузлових напруг (МУН) базується на першому законі Кірхгофа та узагальненому законі Ома. У ньому за допоміжні розрахункові величини приймають так звані вузлова напруга U k 0 - напруги між кожним k-м вузлом схеми та обраним базиснимвузлом (його позначатимемо цифрою 0 ), потенціал якого приймають рівним нулю. Число рівнянь для розрахунку схеми за МУН

NМУН = У - 1. (1.13)

До кожного вузла, крім базисного, становлять рівняння по 1ЗК. В отриманих рівняннях струми гілок, приєднаних до базисного вузла, виражають через вузлові напруження та провідності за допомогою узагальненого закону Ома:

де G k = 1/R k- провідність k-ї гілки.

Токв гілки, підключеної до вузлів kі j,

= (E kj - U k 0 + U j 0)G kj, (1.15)

де U kj = U k 0 - U j 0 – міжвузловенапруга; G kj = 1/R kj - міжвузловапровідність.

Після групування членів при відповідних вузлових напругах та перенесення E k G kі струмів J kджерел струму в праву частину, одержують систему рівнянь щодо невідомих вузлових напруг.

Структура кожного рівняння однакова, наприклад, рівняння щодо вузла 1 :

G 11 U 10 -G 12 U 20 - ... -G 1n U n 0 = + (1.16)

де G 11 = G 1 + G 2 + ... + G n - власна провідність вузла1, що дорівнює сумі провідностей гілок, приєднаних до вузла 1 (провідності гілок з ІТ не враховуються, оскільки G j = 1/R j= 0 (R j = ¥)); G 12 , ... , G 1 n– міжвузлові провідності; + - вузловий струмвузла 1 ; - алгебраїчна сума творів ЕРС гілок, приєднаних до вузла 1 , на провідності цих гілок, причому зі знаком плюс (мінус) записують твори, якщо ЕРС спрямована до вузла 1 (від вузла 1 ); - алгебраїчна сума струмів джерел струму гілок, підключених до вузла 1 , причому струми J kзаписують зі знаком плюс (мінус), якщо вони спрямовані до вузла 1 (від вузла 1 ).

Вирішивши систему рівнянь щодо вузлових напруг, визначають міжвузлові напруги та струми гілок за допомогою співвідношень (1.14) та (1.15).

Рис. П1.9

2

I 1

R 1

R 3

R 5

R 2

R 4

I 2

J

I 3

U 10

E 5

I 4

I 5

1

0

E 1

U 12

U 20

Приклад П1.1.Користуючись методом вузлових напруг, визначити струми гілок схеми (рис. П1.10), якщо E 1 = 12В , E 5 = 15В, J = 2А, R 1 = 1 Ом, R 2 = 5 Ом, R 3 = = R 4 = 10Ом, R 5 = 1 Ом . У схемі 6 гілок та 3 вузли.

Рішення. 1. Вибираємо базовий вузол 0 та напрямки вузлових напруг U 10 і U 20 від вузлів 1 і 2 до базисного (див. рис. П1.9).

2. Складаємо ( NМУН = У- 1 = 3 - 1 = 2) рівняння з МУН:

для вузла 1 : G 11 U 10 -G 12 U 20 = E 1 G 1 - J,

для вузла 2 : -G 21 U 10 + G 22 U 20 = E 5 G 5 ,

де G 11 = G 1 + G 2 + G 3 , G 12 = G 3 = 1/R 3 , G 22 = G 3 + G 4 + G 5 , G 21 = G 12 = G 3 .

3. Після підстановки числових значень ( G 1 = 1/R 1 = 1 Див, G 2 = 0,2 Див, G 3 = G 4 = = 0,1 Див, G 5 = 1 Див) маємо:

1,3U 10 - 0,1U 20 = 12 - 2 = 10,

0,1U 10 + 1,2U 20 = 15.

4. Скориставшись формулами Крамера, знаходимо вузлові напруження:

Примітка. Обчислення вузлових напруг слід проводити з великою точністю. У цьому прикладі достатньо округлити четвертий знак після коми.

5. Міжвузлова напруга

U 12 = U 10 - U 20 = 8,7097 – 13,226 = – 4,5163 B.

6. Шукані струми гілок (див. вибрані напрями струмів гілок на рис. П1.9):

I 1 = (E 1 - U 10)G 1 = 3,29 A, I 2 = U 10 G 2 = 1,754 A,

I 3 = U 12 G 3 = - 0,452 A, I 4 = U 20 G 4 = 1,323 A,

I 5 = (-E 5 + U 20)G 5 = -1774 A.

7. Перевіримо результати розрахунку струмів. Відповідно до 1ЗК для вузла 2 :

= I 3 - I 4 - I 5 = - 0,452 - 1,323 + 1,774 = 0.

П1.10. Метод двох вузлів. Метод двох вузлів є окремим випадком методу вузлових напруг і застосовується для розрахунку схем, що містять (після перетворення) два вузли та довільне число паралельних пасивних та активних гілок. Для розрахунку струмів гілок ланцюга складають та вирішують однерівняння вузлового напруги , рівне алгебраїчної сумі струмів, створюваних усіма джерелами напруги і джерелами струму ланцюга, поділеної на власну провідність вузла , тобто.

а струми гілок визначають за узагальненим законом Ома (див. (1.14)).

Приклад П1.2.Спростити схему ланцюга (рис. П1.10 а) за допомогою перетворення пасивного трикутника на еквівалентну зірку і знайти струми в перетвореній схемі метотом двох вузлів. Струми гілок пасивного трикутника вихідної схеми знайти зі складених рівнянь 1ЗК для вузлів трикутника і (при необхідності) рівняння 2ЗК для контуру, який входить одна з гілок трикутника з шуканим струмом. Параметри схеми заміщення ланцюга: E 5 = 20 В, E 6 = 36; R 1 = 10 Ом, R 2 = 12 Ом, R 3 = 4 Ом, R 4 = 8 Ом, R 5 = 6 Ом, R 6 = 5 Ом.

Рішення. 1. Позначимо вузли та пунктирними лініями промені (гілки) еквівалентної зірки R 1 n, R 2 n, R 3 n(Мал. П1.10 б), рівні (див. (1.10))

2. В результаті перетворень отримали схему з двома вузлами: nта 4 (рис. П1.11), в якій вузли вихідної схеми 1 , 2 і 3 стали з'єднаннями.

3. Розрахунок схеми (рис. П1.11) методом двох вузлом проведемо у три етапи:

а) вибираємо базовий вузол 4 та прирівнюємо його потенціал нулю (j 4 = 0);

а) б) Рис. П1.10. Розрахункові схеми ланцюга

б) направимо вузлову напругу U n 4 від вузла nдо вузла 4 і знайдемо його значення (див. (П1.11):

РЕФЕРАТ ПО ТЕМІ:

МЕТОДИ РОЗРАХУНКУ ЕЛЕКТРИЧНИХ ЛАНЦЮГІВ ПОСТОЯННОГО СТРУМУ

Вступ

Загальне завдання аналізу електричної ланцюга у тому, що у заданим параметрам (ЭДС, ТДС, опорам) необхідно розрахувати струми, потужність, напруга окремих ділянках.

Розглянемо докладніше методи розрахунку електричних кіл.

1. Метод рівнянь Кірхгофа

Цей метод є найбільш загальним методом розв'язання задачі аналізу електричного кола. Він заснований на вирішенні системи рівнянь, складених за першим і другим законами Кірхгофа щодо реальних струмів у гілках ланцюга, що розглядається. Отже, загальна кількість рівнянь pдорівнює числу гілок з невідомими струмами. Частина цих рівнянь складається за першим законом Кірхгофа, решта – за другим законом Кірхгофа. У схемі містить qвузлів, за першим законом Кірхгофа можна скласти qрівнянь. Однак, одне з них (будь-яке) є сумою всіх інших. Отже, незалежних рівнянь, складених за першим законом Кірхгофа, буде .

За другим законом Кірхгофа повинні бути складені відсутні mрівнянь, кількість яких дорівнює .

Для запису рівнянь за другим законом Кірхгофа необхідно вибрати mконтурів те щоб у них увійшли у результаті всі гілки схеми.

Розглянемо цей спосіб з прикладу конкретної схеми (рис. 1).

Насамперед, вибираємо та вказуємо на схемі позитивні напрямки струмів у гілках та визначаємо їх число p. Для аналізованої схеми p= 6. Слід зазначити, що напрями струмів у гілках вибираються довільно. Якщо прийнятий напрямок будь-якого струму відповідає дійсному, то числове значення даного струму виходить негативним.

Отже, кількість рівнянь за першим законом Кірхгофа дорівнює q – 1 = 3.

Число рівнянь, складених за другим законом Кірхгофа

m = p - (q – 1) = 3.

Вибираємо вузли та контури, для яких складатимемо рівняння, і позначаємо їх на схемі електричного ланцюга.

Рівняння за першим законом Кірхгофа:

Рівняння за другим законом Кірхгофа:

Вирішуючи отриману систему рівнянь, визначаємо струми гілок. Розрахунок електричного кола не обов'язково полягає у обчисленні струмів за заданими ЕРС джерел напруги. Можлива й інша постановка завдання – обчислення ЕРС джерел із заданих струмів у гілках схеми. Завдання може мати і змішаний характер – задані струми в деяких гілках та ЕРС деяких джерел. Потрібно знайти струми в інших гілках та ЕРС інших джерел. У всіх випадках число складених рівнянь має дорівнювати числу невідомих величин. До складу схеми можуть входити джерела енергії, задані у вигляді джерел струму. При цьому струм джерела струму враховується як струм гілки під час складання рівнянь за першим законом Кірхгофа.

Контури для складання рівнянь за другим законом Кірхгофа мають бути обрані так, щоб жоден розрахунковий контур не проходив через джерело струму.

Розглянемо схему електричного кола, подану на рис. 2.

Вибираємо позитивні напрями струмів та наносимо їх на схему. Загальна кількість гілок схеми дорівнює п'яти. Якщо рахувати струм джерела струму Jвідомою величиною, то число гілок з невідомими струмами p = 4.

Схема містить три вузли ( q= 3). Отже, за першим законом Кірхгофа необхідно скласти q- 1 = 2 рівняння. Позначимо вузли на схемі. Число рівнянь складених за другим законом Кірхгофа m = p - (q – 1) =2.

Вибираємо контури таким чином, щоб жоден з них не проходив через джерело струму і позначаємо їх на схемі.

Система рівнянь, складена за законами Кірхгофа, має вигляд:

Вирішуючи отриману систему рівнянь, знайдемо струми у гілках. Метод рівнянь Кірхгофа застосуємо до розрахунку складних як лінійних, і нелінійних ланцюгів, й у його гідність. Недолік методу полягає в тому, що при розрахунку складних ланцюгів необхідно складати і вирішувати кількість рівнянь, що дорівнює кількості гілок p .

Заключний етап розрахунку – перевірка рішення, яка може бути виконана шляхом складання рівняння балансу потужності.

Під балансом потужностей електричної ланцюга розуміється рівність потужностей, що розвивається всіма джерелами енергії даного ланцюга, і потужності, що споживається всіма приймачами того ж ланцюга (закон збереження енергії).

Якщо ділянці ланцюга ab є джерело енергії з ЕРС і з цій ділянці протікає струм , то потужність, що розвивається цим джерелом, визначається добутком .

Кожен із множників цього твору може мати позитивний або негативний знак щодо спрямування ab. Твір матиме позитивний знак, якщо знаки розрахункових величин і збігаються (потужність, що розвивається даним джерелом, надається приймачам ланцюга). Твір матиме негативний знак якщо знаки та протилежні (джерело споживає потужність, що розвивається іншими джерелами). Прикладом може бути акумулятор, що знаходиться в режимі заряджання. У цьому випадку потужність даного джерела (доданок ) входить в суму алгебри потужностей, що розвиваються всіма джерелами ланцюга, з негативним знаком. Аналогічно визначається величина та знак потужності, що розвивається джерелом струму. Якщо ділянці ланцюга mn є ідеальне джерело струму зі струмом , то потужність що розвивається цим джерелом, визначається твором . Як і джерелі ЕРС знак твору визначається знаками множників.

Тепер можна записати загальний вигляд рівняння балансу потужностей

Для ланцюга, представленого на рис2.2 рівняння балансу потужності має вигляд

2. Метод контурних струмів

p align="justify"> Метод контурних струмів зводиться до складання рівнянь тільки за другим законом Кірхгофа. Число цих рівнянь, що дорівнює , на рівнянь менше числа рівнянь, необхідних для розрахунку електричних кіл за методом законів Кірхгофа.

У цьому припускаємо, що у кожному обраному контурі протікає незалежні друг від друга розрахункові струми, звані контурними. Струм кожної галузі визначається як алгебраїчна сума контурних струмів, що замикаються через цю галузь, з урахуванням прийнятих напрямків контурних струмів та знаків їх величин.

Число контурних струмів дорівнює числу «осередків» (елементарних контурів) схеми електричного кола. Якщо схема, що розглядається, містить джерело струму, то незалежні контури необхідно вибирати так, щоб гілка з джерелом струму входила тільки в один контур. Для цього контуру розрахункове рівняння не складається, оскільки контурний струм дорівнює струму джерела.

Канонічна форма запису рівнянь контурних струмів для n незалежних контурів має вигляд

де

Контурний струм n-го контуру;

Алгебраїчна сума ЕРС, що діють у n-му контурі, звана контурна ЕРС;

Власний опір n-го контуру, рівна сумі всіх опорів, що входять до контуру, що розглядається;

Опір що належать одночасно двом контурам (в даному випадку контуром nі i) і зване загальним чи взаємним опором цих контурів. Першим ставиться індекс контуру, котрим складається рівняння. З визначення взаємного опору слід, що опори, відмінні порядком індексів, рівні, тобто. .

Взаємним опором приписується знак плюс, якщо контурні струми, що протікають по них, і мають однакові напрямки, і знак мінус, якщо їх напрямки протилежні.

Таким чином, складання рівнянь контурних струмів може бути зведено до запису симетричної матриці опорів

та вектор контурних ЕРС

При введенні вектора контурних струмів, що шукаються || рівняння (5) можна записати у матричній формі

Рішення системи лінійних рівнянь рівнянь алгебри (5) для струму n -го контуру може бути знайдено за правилом Крамера

де - головний визначник системи рівнянь, що відповідає матриці контурних опорів

Визначник отримуємо з головного визначника шляхом заміни n-го стовпця опорів на стовпець (вектор) контурних ЕРС.

Розглянемо метод контурних струмів з прикладу конкретної схеми електричної ланцюга (рис. 3).

Схема складається з трьох елементарних контурів (осередків). Отже, незалежних контурних струмів три. Вибираємо довільний напрямок контурних струмів і наносимо їх на схему. Контури можна вибирати і не по осередках, але їх обов'язково має бути три (для цієї схеми) і всі гілки схеми повинні увійти до складу обраних контурів.

Для 3-х контурної схеми рівняння контурних струмів у канонічній формі мають вигляд:

Знаходимо власні та взаємні опори та контурні ЕРС.

Власні опори контурів

Нагадаємо, що власні опори завжди позитивні.

Визначимо взаємні опори, тобто. опори, загальні двох контурів.

Негативний знак взаємних опорів обумовлений тим, що контурні струми, що протікають цими опорами, протилежно спрямовані.

Контурні ЕРС

Підставляємо значення коефіцієнтів (опорів) до рівнянь:

Вирішуючи систему рівнянь (7), визначаємо контурні струми.

Для однозначного визначення струмів гілок вибираємо їх позитивні напрями та вказуємо на схемі (рис. 3).

Струми гілок

3. Метод вузлових напруг (потенціалів)

Сутність методу полягає в тому, що як невідомі приймаються вузлові напруги (потенціали) незалежних вузлів ланцюга щодо одного вузла, обраного як опорного або базисного. Потенціал базисного вузла приймається рівним нулю, і розрахунок зводиться до визначення (q -1) вузлових напруг, що існують між іншими вузлами та базисним.

Рівняння вузлових напруг у канонічній формі при числі незалежних вузлів n =q -1 мають вигляд

Коефіцієнт називається власною провідністю n-го вузла. Власна провідність дорівнює сумі провідностей усіх гілок, приєднаних до вузла n .

Коефіцієнт називається взаємною чи міжвузловою провідністю. Вона дорівнює взятій зі знаком «мінус» сумі провідностей усіх гілок, що з'єднують безпосередньо вузли. iі n .

Права частина рівнянь (9) називається вузловим струмом, Вузловий струм дорівнює сумі алгебри всіх джерел струму, підключених до аналізованого вузла, плюс алгебраїчна сума творів ЕРС джерел на провідність гілки з ЕРС

При цьому зі знаком «плюс» доданки записуються в тому випадку, якщо струм джерела струму та ЕРС джерела напруги спрямовані до вузла, для якого складається рівняння.

Наведена закономірність визначення коефіцієнтів суттєво спрощує складання рівнянь, що зводиться до запису симетричної матриці вузлових параметрів

та вектора вузлових струмів джерел

Рівняння вузлових напруг можна записати у матричній формі

.

Якщо в будь-якій гілки заданої схеми містяться тільки ідеальне джерело ЕРС (опір цієї гілки дорівнює нулю, тобто провідність гілки дорівнює нескінченності), доцільно в якості базового вибрати один з двох вузлів, між якими включена ця гілка. Тоді потенціал другого вузла стає відомим і рівним за величиною ЕРС (з урахуванням знака). У цьому випадку для вузла з відомою вузловою напругою (потенціалом) рівняння складати не слід і загальна кількість рівнянь системи зменшується на одиницю.

Вирішуючи систему рівнянь (9), визначаємо вузлові напруження, а потім за законом Ома визначаємо струми у гілках. Так для гілки, включеної між вузлами mі nструм дорівнює

При цьому з позитивним знаком записуються ті величини (напруги, ЕРС), напрямок яких збігається з обраним координатним напрямком. У нашому випадку (11) – від вузла mдо вузла n. Напруга між вузлами визначається через вузлові напруження

.

Розглянемо метод вузлових напруг з прикладу електричної ланцюга, схема якої представлено на рис. 4.

Визначаємо число вузлів (у цьому прикладі число вузлів q =4) і позначаємо їх у схемі.

Так як схема не містить ідеальних джерел напруги, то в якості базисного може бути обраний будь-який вузол, наприклад, вузол 4.

При цьому .

Для решти незалежних вузлів схеми (q -1=3) складаємо рівняння вузлових напруг у канонічній формі.

Визначаємо коефіцієнти рівнянь.

Власні провідності вузлів

Взаємні (міжвузлові) провідності

Визначаємо вузлові струми.

Для одного вузла

Для 2-го вузла

.

Для 3-го вузла

Підставивши значення коефіцієнтів (провідностей) та вузлових струмів у рівняння (12), визначаємо вузлові напруження

Перш ніж перейти до визначення струмів гілок, задаємося їх позитивним напрямом та наносимо на схему (рис. 5).

Струми визначаємо за законом Ома. Так, наприклад, струм спрямований від вузла 3 до вузла 1. Також направлена ​​і ЕРС цієї гілки. Отже

Струми інших гілок визначаємо за тим самим принципом

Бо те

4. Принцип та метод накладання

Принцип накладання (суперпозиції) є виразом однієї з основних властивостей лінійних систем будь-якої фізичної природи і стосовно лінійних електричних ланцюгів формулюється наступним чином: струм у будь-якій гілки складного електричного ланцюга дорівнює алгебраїчній сумі часткових струмів, викликаних кожним діючим в ланцюгу джерелом електричної окремо.

Використання принципу накладання дозволяє у багатьох схемах спростити завдання розрахунку складного ланцюга, оскільки він замінюється декількома відносно простими ланцюгами, у кожному з яких діє одне джерело енергії.

З принципу накладення випливає метод накладання, застосовуваний до розрахунку електричних ланцюгів.

При цьому метод накладання можна застосовувати не тільки до струмів, але і до напруги на окремих ділянках електричного ланцюга, лінійно пов'язаних із струмами.

Принцип накладання не можна використовуватиме потужностей, т.к. вони не лінійними, а квадратичними функціями струму (напруги).

Принцип накладання не застосовується і до нелінійних ланцюгів.

Розглянемо порядок розрахунку шляхом накладання з прикладу визначення струмів у схемі рис. 5.

Вибираємо довільний напрямок струмів і наносимо їх на схему (рис. 5).

Якби запропонована задача вирішувалася будь-яким із методів (МЗК, МКТ, МУН), необхідно було б складати систему рівнянь. Метод накладання дозволяє спростити розв'язання задачі, звівши його фактично до рішення за законом Ома.

Розбиваємо цю схему на дві підсхеми (за кількістю гілок із джерелами).

У першій підсхемі (рис. 6) вважаємо, що діє тільки джерело напруги, а струм джерела струму J = 0 (це відповідає розриву гілки з джерелом струму).

У другій підсхемі (рис. 7) діє лише джерело струму. ЕРС джерела напруги приймаємо рівною нулю E = 0 (це відповідає закороченню джерела напруги).

Вказуємо напрямок струмів на підсхемах. При цьому слід звернути увагу на наступні: всі струми, вказані на вихідній схемі, повинні бути вказані на підсхемах. Наприклад, у підсхемі рис.6 опору і включені послідовно і по них протікає один і той самий струм. Однак на схемі необхідно вказувати струми та . ланцюгів ЕЛЕКТРИЧНІ Ланцюги ПОСТОЯННОГО СТРУМУ 1.1 Основні...

Розрахунокрозгалужених ланцюгів постійного струму

Контрольна робота >> Фізика

Завдання Необхідно вирішити задачу розрахунку струміву всіх гілках електричної ланцюги постійного струму. Завдання складається з двох частин. Перша частина завдання Розрахувати струмигілок методом ...

Міністерство освіти та науки Російської Федерації

ФДБОУ ВПО «МАТІ – Російський державний технологічний університет імені К.Е. Ціолковського" (МАТІ)

Кафедра “Прикладна математика, інформаційні

технології та електротехніка”

Курсова робота з модулю 1 "Електротехніка"

базової дисципліни для вузів "Електротехніка та електроніка"

Аналіз та розрахунок електричних кіл

1МТМ-2ДБ-035

Прокопенко Д.О. КР6-25

Виконав: "___" _______2017р.

Здано викладачеві на перевірку "___" червня 2017р.

Перевірила: Орешіна М.М. (____________) "___" _______ 2017р.

Москва 2017

1.1. Скласти систему розрахункових рівнянь для визначення струмів у гілках схеми, використовуючи обидва закони Кірхгофа безпосередньо (метод законів Кірхгофа);

1.1.1 На рис. 1 наведено вихідну Рис. 1

схем заміщення ланцюга постійного

струму, параметри якого задані

1.1.2. Перетворимо схему до зручного вигляду і довільно поставимо позитивні напрями струмів у гілках схеми (рис.2).

1.1.3.Складаємо частину рівнянь розрахункової системи, використовуючи лише перший закон Кірхгофа. Вибираємо q-1 вузлів на схемі (дана схема містить q=4 вузли, які відзначені арабськими цифрами) і для кожного з них складаємо рівняння за першим законом Кірхгофа

(вузол 1) I 3 -I 5 -I 6 =0

(вузол 2) I 5 -I 2 -I 4 =0

(вузол 3)I 6 +I 4 +I 1 =0

1.1.4.1. Усього необхідно скласти pрівнянь у розрахунковій системі ( p- Число невідомих струмів, рівне числу гілок на схемі). Тому кількість рівнянь, яку необхідно скласти, використовуючи другий закон Кірхгофа, дорівнює p-(q-1)(Для цієї схеми p=6і p-(q-1) = 3).

1.1.4.2. Вибираємо p-(q-1)незалежних контурів на схемі, у кожному їх довільно задаємо напрям обходу контуру (позначено круглими стрілками на рис.2).

1.1.4.3. Для кожного з вибраних контурів складаємо рівняння, використовуючи другий закон Кірхгофа, а також закон Ома ( U=IR)

(контур I). I 3 R 3 +I 5 R 5 +I 2 R 2 =-E 5

(контур II). -I 4 R 4 -I 5 R 5 +I 6 R 6 =E 5 -E 6

(контур III). I 2 R 2 +I 1 R 1 -I 4 R 4 =0

1.1.5. Отримані рівняння об'єднуємо в систему, яку впорядковуємо та підставляємо відомі параметри

0+0+I 3 +0-I 5 -I 6 =0

0-I 2 +0-I 4 +I 5 +0=0

I 1 +0+0+I 4 +0+I 6 =0

0+12I 2 +20I 3 +0+10I 5 +0=-50

0+0+0-8I 4 -10I 5 +15I 6 =-50

16I 1 +12I 2 +0-8I 4 +0+0=0

Знайдемо за допомогою калькулятора матриць значення струмів

I 1 = I 2 =I 3 = I 4 =I 5 =

I 6 =

Перший пункт завдання1.1. виконаний.

1.2.1. Використовуючи еквівалентно перетворену схему (рис.2), довільно задаємо позитивний напрямок реальних струмів у кожній галузі схеми (рис.3) (у даному прикладі вони залишені без зміни).

1.2.2. Вибираємо p-(q-1)=3 незалежних контурів на схемі, у кожному їх довільно задаємо напрям контурного струму I K1 ,I K2 ,I K3 (позначено круглими стрілками на рис.3).

1.2.3. Складемо систему рівнянь для контурів, у кожному з яких алгебраїчна сума ЕРС (контурна ЕРС) дорівнює добутку контурного струму даного осередку на суму всіх

опорів осередку, мінус добутку контурних струмів сусідніх осередків на відповідні опори загальних гілок.

(К1): -E 5 =(R 2 +R 3 +R 5 )I К1 -R 5 I К2 -R 2 I K3

(К2): E 5 -E 6 =(R 4 +R 5 +R 6 )I K2 -R 4 I K3 -R 5 I K1

(К3): 0=(R 1 +R 2 +R 4 )I K3 -R 2 I K1 -R 4 I K2

1.2.4. Після підстановки числових значень маємо

-50 = 42I K1 -10I K 2 -12I K3

-50=-10I K1 +33I K2 -8I K3

0=-12I K1 -8I K2 +36I K3

1.2.5. Вирішивши цю систему, знайдемо контурні струми:

I K1 =-2,14 A, I K2 =-2,47 A, I K3 =-1,26 A.

1.2.6. Струми гілок визначимо, керуючись обраними напрямками струмів гілок та правилами:

а)струми зовнішніх (що не мають сусідніх контурів) гілок рівні відповідним контурним струмам;

б)струми гілок рівні різниці контурних струмів сусідніх контурів осередків:

I 1 =I K3 =-1,26 A,

I 3 =I K1 =-2,14 A,

I 6 =I K2 =-2,47 A,

I 2 =I K1 -I K3 =-2,14-(-1,26)=-0,88

I 4 =I K3 I K2 =-1,26-(-2,47)=1,21

I 5 =I K1 - I K2 =-2,14-(-2,47)=0,33

Другий пункт завдання виконано.

1.3.Перевірити правильність розрахунку, визначивши струми методом двох вузлів (методом вузлової напруги)

Розглянута схема заміщення містить чотири вузли, тому до заданої схеми метод двох вузлів безпосередньо не застосовується.

1.3.1. Використовуючи еквівалентне перетворення ділянки схеми R 2 , R 4 , R 1 з'єднаного за схемою «трикутник», ділянка R 7 , R 8 , R 9 , з'єднаний за схемою «зірка» (відзначений на рис. 4 пунктиром), наводимо початкову схему до схемою, що містить два вузли (рис.5).

Рис. 4 Мал. 5

Еквівалентно поєднуючи послідовно з'єднані R-елементи в кожній гілки, отримуємо вихідну схему для розрахунку методом двох вузлів (рис. 6).

При цьому R 37 =R 3 +R 7 =20+5.3=25.3333 Ω, R 69 =R 6 +R 9 =15+3.5555=18.5555Ω

1.3.2. Довільно задаємо позитивний напрямок струмів у гілках схеми та позитивний напрямок вузлової напруги U 51 (рис. 6)

1.3.3. Розраховуємо провідність гілок схеми

.

1.3.4. Використовуючи основну формулу методу, визначаємо вузлову напругу

Знак доданків чисельника визначається розбіжністю(+) або збігом

(–) позитивного спрямування та позитивного спрямування ЕРС розглянутої гілки.

1.3.5. Розраховуємо невідомі струми у гілках, використовуючи узагальнений закон Ома

I 37 =-U 51 G 37 =-(-54.1676) * 0.03947 = 2.1379 A,

I 58 =(U 51 +E 5)G 85 =(-54.1676+50)*0.07964=0.33 A,

I 69 =(U 51 +E 6)G 69 =(-54.1676+100)*0.5389=2.4699 A.

Проаналізуємо результати розрахунку. На рис. 5 в кожній галузі джерело ЕРС і -елементи з'єднані послідовно. Тому струми у цих гілках дорівнюють розрахованим. Проте ділянки схеми на околиці джерел були охоплені перетворенням. Отже, відповідно до умови еквівалентності перетворення ділянок схем величина цих струмів має залишитися такою самою, як і до перетворення. Порівнюємо за модулем значення струмів, розрахованих цим методом та методом контурних струмів

Видно, що значення струмів практично збігаються. Отже, обидва розрахунки проведені коректно. Третій пункт завдання виконано.

1.4.Визначити струм, що протікає через R 2 методом еквівалентного генератора;

1. Розриваємо шосту гілку (рис. 7)

Рис.7. Рис. 8.

і довільно задаємо позитивний напрямок струмів в інших гілках, позитивний напрямок напруги холостого ходу і напруги між вузлами 1 і 3 (рис. 8)

2. Визначаємо величину. Для цього попередньо розраховуємо методом двох вузлів.

Використовуючи основну формулу методу, визначаємо вузлову напругу

.

Розраховуємо струми та, використовуючи узагальнений закон Ома

Для контуру, що включає , складаємо рівняння за другим законом Кірхгофа (напрямок обходу контуру вказано круглою стрілкою) та розраховуємо

3. Визначаємо вхідний опір схеми з боку затискачів розімкнутої гілки. Для цього еквівалентно перетворимо ділянку схеми, з'єднану зіркою, на ділянку, з'єднану трикутником.

Перетворена схема матиме вигляд (рис. 10)

Рис. 9. Мал. 10.

.

Використовуючи властивості паралельної послідовної сполуки - елементів, визначаємо

.

4. Визначаємо шуканий струм, використовуючи закон Ома для замкнутого ланцюга

.

Аналогічний струм, розрахований методом контурних струмів, становить

Вони практично збігаються. Розрахунок проведено правильно. Четвертий пункт завдання виконано.

Залежно від кількості джерел ЕРС (живлення) у схемі, її топології та інших ознак ланцюга аналізуються та розраховуються різними методами. При цьому відомими зазвичай є ЕРС (напруги) джерел електроенергії та параметри ланцюга, розрахунковими – напруги, струми та потужності.

У цьому розділі ми ознайомимося з методами аналізу та розрахунку ланцюгів постійного струму різної складності.

Розрахунок ланцюгів з одним джерелом живлення

Коли ланцюга є один активний елемент (джерело електроенергії), інші є пасивними, наприклад резистори /? t, R 2 ,..., то ланцюги аналізуються та розраховуються методом перетворення схем, Суть якого полягає в перетворенні (згортці) вихідної схеми в еквівалентну і подальшому розгортанні, в процесі яких визначаються шукані величини. Проілюструємо цей метод для розрахунку ланцюгів із послідовним, паралельним та змішаним з'єднанням резисторів.

Ланцюг з послідовним з'єднанням резисторів. Розглянемо це питання на такому якісному прикладі. Від ідеалізованого джерела ЕРС Е (R 0 = 0), на вихідних затискачах якого є напруга U,тобто. коли E=Uчерез послідовно з'єднані опори R ( , R 2 ,..., R nживиться навантаження (приймач) з опором R H(Рис. 2.1, а).

Рис. 2.1

Потрібно знайти напругу, опір і потужність ланцюга еквівалентного заданого, зображеного на рис. 2.1, б, роблячи відповідні висновки та узагальнення.

Рішення

А. При відомих опорах та струмі напруги на окремих елементах ланцюга, згідно із законом Ома, знаходилися б так:

Б. Загальна напруга (ЕРС) ланцюга, згідно з другим законом Кірхгофа, запишеться так:

Г. Помноживши всі члени (2-2) на струм/або (2-5) на Р,матимемо звідки

В. Розділивши всі члени (2-2) на струм /, отримаємо де

Формули (2-3), (2-5), (2-7) показують, що в ланцюзі з одним джерелом живлення і послідовним з'єднанням опорів еквівалентні напруга, опір і потужність дорівнюють арифметичним сум напруг, опорів і потужностей елементів ланцюга.

Наведені співвідношення та висновки свідчать про те, що вихідну схему за рис. 2.1, аз опорами/? 2 , R„можна замінити (згорнути) найпростішою за рис. 2.1 б з еквівалентним опором R 3 ,що визначається за виразом (2-5).

а) для схеми за рис. 2.1 б справедливі співвідношення U 3 = U = RI, де R = R 3 + R u.Виключивши з них струм /, отримаємо вираз

яке показує, що напруга U 3на одному з опорів ланцюга, що складається з двох, з'єднаних послідовно, дорівнює добутку загальної напруги Uна відношення опору цієї ділянки R 3до спільного опору ланцюга R.Виходячи з цього

б) струм і напруги в ціні та рис. 2.2, бможна записати в різних варіантах:

Вирішені завдання

Завдання 2.1. Чому рівні опір, напруга та потужність ланцюга за рис. 2.1, а якщо I= 1 A, R x= 1 Ом, Д 2 = 2 Ом, = 3 Ом, R u= 4 Ом?

Рішення

Напруги на резисторах, очевидно, дорівнюватимуть: U t =IR^= 1 1 = 1, U 2 = IR2 = = 1 2 = 2, U n= /Л я = 1 3 = 3 В, t/ H = ZR H = 1 4 = 4 В. Еквівалентний опір ланцюга: R 3 = R ( + /? 9 + R n = 1 + 2 + 3 = 6 Ом. Опір, напруга та потужність ланцюга: /? = &, + /?„ = 6 + 4 = 10 Ом; U = U (+ U 2 + U„+U n = 1+2 + 3 + 4 = 10 В, або U=IR == 110 = 10 В; Р = Ш = 10 - 1 = 10 Вт, або Р=UJ+ U 2 I + U n I+ U U I= 11+21+31 + + 4 1 = 10 Вт, або Р = PR X + PR 2 + PR a + PR n = 12 1 + 12 2 + 12 3 + 12 4 = 10 Вт, або Р = Щ/R x + U? 2 /R 2 +UZ /R n +1/2 /R n = 12/1+22/2+32/3+42/4=10 Вт.

Завдання 2.2. У ланцюзі за рис. 2.1, а відомі: U = МО, R ( =Ом, R 2 = 2 Ом, = = 3 Ом, R H = 4 Ом. Визначити U 2 .

Рішення

R =/?! + /?, + Л 3 + Л 4 = Л, + Л Н = 1+2 + 3 + 4 = 6 + 4 = 10 Ом, 1=11/R= 110/10 = = 11 А, // 2 = Л? 2 = 11 2 = 22 В абоU 2 = UR 2 / R =110 2/10 = 22 В.

Завдання, що потребують вирішення

Завдання 2.3. У ланцюзі за рис. 2.1, авідомі: U = МО, R^ =Ом, R 2 = 2 Ом, R n= = 3 Ом, R u= 4 Ом. Визначити Р„.

Завдання 2.4. У ланцюзі за рис. 2.1 б відомі: U= 110, U H= 100, = 2 Ом. Визначити Ре.

Завдання 2.5. У ланцюзі за рис. 2.1,6 відомі: U= 110, R t= 3 Ом, Д н = 2 Ом. Визначити)