Прохождение случайных процессов через линейные и нелинейные цепи. Прохождение случайных сигналов через линейные инерционные цепи Прохождение случайных сигналов через линейные стационарные цепи
Цель работы:
изучение процессов прохождения гармонических сигналов и сигналов прямоугольной формы через линейные цепи, такие как дифференцирующая и интегрирующая цепи, последовательный и параллельный колебательные контуры, трансформатор;
изучение переходных процессов в линейных цепях;
получение навыка работы с измерительными приборами;
научиться выполнять расчеты RCL–цепей, используя символический метод;
обработка и анализ полученных экспериментальных данных.
Задачи:
измерить амплитудно-частотные характеристики семи линейных цепей;
измерить фазочастотные характеристики выше перечисленных линейных цепей;
получить и исследовать переходные характеристики семи линейных цепей;
1 Линейные цепи
В радиоэлектронике электрические цепи представляют собой совокупность соединенных схемных элементов, таких как резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, диоды, транзисторы, операционные усилители, источники тока, источники напряжения и другие.
Соединяются схемные элементы с помощью проводов или печатных шин. Электрические цепи, составленные из идеализированных элементов, классифицируются по ряду признаков:
По энергетическим особенностям:
активные (содержащие источники питания);
пассивные цепи (не содержат источников тока и (или) напряжения);
По топологическим особенностям:
планарные (плоские);
непланарные;
разветвленные;
неразветвленные;
простые (одно-, двухконтурные);
сложные (многоконтурные, многоузловые);
По числу внешних выводов:
двухполюсники;
четырехполюсники;
многополюсники;
От частоты измерительного поля:
цепи с сосредоточенными параметрами (в цепях с сосредоточенными параметрами сопротивлением обладает только резистор, емкостью только конденсатор, индуктивностью только катушка индуктивности);
цепи с распределенными параметрами (в цепях с распределенными параметрами даже соединительные провода обладают емкостью, проводимостью и индуктивностью, которые распределены вдоль их длины; наиболее характерен такой подход к цепям в области сверхвысоких частот);
От типа элементов:
линейные цепи, если они состоят из линейных идеализированных элементов;
нелинейные цепи, если в состав цепи входит хотя бы один нелинейный элемент;
В
данной работе рассмотрены пассивные
цепи, состоящие из трех схемных элементов
.
Элементы
– называют идеализированными схемными
элементами. Ток, протекающий через такие
элементы, представляет собой линейную
функцию от приложенного напряжения:
для
резистора
:
;
для
конденсатора
:
;
для
катушки индуктивности
:
Поэтому
цепи, состоящие из
элементов,
называютсялинейными
.
Строго
говоря, на практике не все
элементы
линейны, но во многих случаях отклонения
от линейности невелико и действительный
элемент можно принимать как идеализированный
линейный. Активное сопротивление можно
рассматривать как линейный элемент
только в том случае, если текущий через
него ток настолько мал, что выделяющееся
тепло не приводит к заметному изменению
величины его сопротивления. Аналогичные
соображения можно высказать в отношении
катушки индуктивности и конденсатора.
Если параметры
цепи остаются неизменными в течение
времени, когда протекает изучаемый
электрический процесс, то говорят о
цепи с постоянными параметрами.
Поскольку процессы в линейных цепях описываются линейными уравнениями, к ним применим принцип суперпозиции. Это значит, что результат действия в линейной цепи сигнала сложной формы можно найти как сумму результатов действий сигналов более простых, на которые разлагается исходный, сложный сигнал.
Для анализа линейных цепей используется два метода: метод частотных характеристик и метод переходных характеристик.
Для определения устойчивости годограф строить необязательно. Для этого достаточно проанализировать АЧХ и ФЧХ. Следовательно, третья альтернативная формулировка критерия Найквиста: если АЧХ больше единице на частотах, при которых ФЧХ равна 0 или где n € z , то система с обратной связью не устойчива, в противном случае устойчива (Рисунок 3.10).
 |
Рис. 3.9 АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы с обратной связью
4 Прохождение случайных сигналов через линейные стационарные цепи
Основными характеристиками случайного процесса является плотность вероятности мгновенных значений сигнала, корреляционная функция и спектральная плотность мощности. Отыскание плотности вероятности мгновенных значений сигнала на выходе линейной цепи по известной плотности вероятности на входе цепи и известным характеристикам цепи представляет весьма сложную задачу. Однако, если входной сигнал является гауссовым, то выходной сигнал так же всегда будет гауссовым. Это означает, что решение задачи упрощается и сводится к нахождению параметров выходного сигнала (математического ожидания и дисперсии).
Задача нахождения корреляционной функции и спектральной плотности мощности выходного сигнала значительно проще.
Обратные преобразования Фурье от спектральной плотности мощности согласно теории Винера – Хинчина:
– корреляционная функция сигнала
Обратные преобразования Фурье от коэффициента передачи по мощности:
– корреляционная функция импульсной
характеристики сигнала
Так как произведение спектров двух сигналов равно спектру свёртки этих сигналов, то можно записать:
То есть корреляционная функция сигнала на выходе линейной цепи равна свёртке корреляционной функции сигнала на входе цепи и корреляционной функции импульсной характеристики цепи.
При анализе различных систем в качестве помехи часто выступает белый шум, имеющий спектральную плотность мощности постоянную во всём диапазоне частот:
и
корреляционная функция 
Следовательно, корреляционная функция выходного сигнала равна автокорреляционной функции импульсной характеристики с коэффициентом .
5 Прохождение сигналов через нелинейные цепи
Линейные стационарные цепи не изменяют спектральный состав сигнала. Основные радиотехнические преобразования, связанные с изменением спектрального состава сигнала, осуществляется либо с помощью нелинейных цепей, либо линейных цепей с переменными параметрами.
Исследование нелинейных цепей представляет собой сложную задачу, состоящую в решении нелинейных дифференциальных уравнений. Анализ нелинейных цепей упрощается, если нелинейный элемент является безынерционным, т. е. реакция на изменение входного воздействия происходит мгновенно. Строго говоря, безынерционных элементов (БНЭ) нет, но в случае, когда время изменения входного сигнала значительно превышает время установления процесса в нелинейном элементе, элемент может считаться безынерционным. В радиотехнике в качестве нелинейных элементов чаще всего используют полупроводниковые приборы (диоды, транзисторы). Для описания таких приборов используют ВАХ, которые связывают между собой напряжения, приложенные к приборам и токи, протекающие через приборы.
В радиоэлектронике приходится иметь дело с различными сигналами и разными цепями, при прохождении сигналов по таким цепям возникают переходные процессы, в результате которых форма передаваемого сигнала может измениться. Большинство устройств содержит в себе совокупность линейных и нелинейных элементов, что усложняет строгий анализ прохождения сигналов. Однако имеется достаточно широкий круг задач, которые успешно можно решать линейными методами, даже если в цепи имеется нелинейный элемент. Это относится к устройствам, в которых сигналы настолько малы по амплитуде, что нелинейностью характеристик нелинейного элемента можно пренебречь, так что его также можно считать линейным.
Большинство методов анализа прохождения сигналов через линейную цепь основано на основополагающем принципе - принципе суперпозиции, при котором реакция цепи на сложное воздействие может быть определена как сумма реакций на более простые сигналы, на которые можно разложить сложное воздействие. Реакция линейной цепи на известное простое (тестовое) воздействие называется системной (т.е. зависящей только от цепи) передаточной характеристикой цепи. Сама передаточная характеристика может быть определена:
а) классическим методом, при котором цепь описывается системой линейных дифференциальных уравнений, в правой части которой записано тестовое воздействие; этим методом чаще всего определяются реакции на единичную ступенчатую функцию или дельта-функцию, так называемые переходная и импульсная характеристики цепи, являющиеся передаточными характеристиками цепи для метода наложения (или метода интеграла Дюамеля); классическим методом при достаточно несложных цепях и воздействиях может быть сразу решена задача анализа, т.е. нахождения реакции цепи на входной сигнал;
б) комплексным методом, если в качестве тестового сигнала используется гармоническое колебание; в этом случае определяется такая передаточная характеристика цепи как частотная характеристика, являющаяся основой частотного метода анализа;
в) операторным методом, при котором используется аппарат преобразования Лапласа, в результате чего определяется операторная передаточная характеристика цепи, так как операторный метод использует сигнал вида e pt , где p =s +jw , то при замене в операторной передаточной характеристике p на jw получается частотная передаточная характеристика, кроме того, как будет показано ниже, оригинал от операторной передаточной характеристики является импульсной характеристикой цепи.
Поэтому можно классифицировать методы анализа прохождения сложных сигналов на
а) частотные , применяющиеся главным образом для анализа установившихся процессов;
б) временные , использующие переходную или импульсную характеристику цепи, применяющиеся в случаях быстро меняющихся (импульсных) сигналов, когда важными являются переходные процессы в цепи.
При анализе прохождения сигналов через узкополосные избирательные цепи эти же методы можно использовать не для мгновенных значений сигнала, а для медленноменяющейся огибающей.
В гл. 6 рассматривалась передача различных сигналов через линейные цепи с постоянными параметрами. Связь между входным и выходным сигналами в таких цепях определялась с помощью передаточной функции (спектральный метод) или с помощью импульсной характеристики (метод интеграла наложения).
Аналогичные соотношения можно составить и для линейных цепей с переменными параметрами. Очевидно, что в подобных цепях характер зависимости между входным и выходным сигналами в процессе передачи изменяется. Иными словами, передаточная функция цепи зависит не только от но и от времени; импульсная характеристика также зависит от двух переменных: от интервала между моментом приложения единичного импульса и моментом наблюдения выходного сигнала t (как и для цепи с постоянными параметрами) и, кроме того, от положения интервала на оси времени. Поэтому для цепи с переменными параметрами импульсную характеристику следует записывать в общей форме
Если на входе четырехполюсника с импульсной характеристикой действует произвольный сигнал s(t) (рис. 10.2), то, основываясь на принципе суперпозиции, выходной сигнал по аналогии с выражением (6.11) можно определить с помощью выражения
(10.12)
Постараемся теперь ввести передаточную функцию для цепи с переменными параметрами. Для этого представим функцию в виде интеграла Фурье:
(10.13)
где - спектральная плотность сигнала s(t).
Тогда выражение (10.13) переходит в следующее:
Рис. 10.2. Параметрический четырехполюсник
Обозначив внутренний интеграл через перепишем последнее выражение следующим образом:
(10.14)
Из (10.14) следует, что функцию определяемую выражением
Электрические цепи являются неотъемлемой составной частью электронных элементов автоматики, выполняющие большое количество различных специфических функций. Основное отличие электрических цепей от электронных состоит в том, что они представляют собой совокупность пассивных линейных элементов, т. е. таких, вольт-амперные характеристики которых подчиняются закону Ома, и они не усиливают входные сигналы. В силу этого электрические цепи электронных устройств чаще называют линейными устройствами преобразования и формирования электрических сигналов.
Функционально линейные устройства формирования и преобразования электрических сигналов можно разделить на следующие основные группы:
Интегрирующие цепи, применяемые для интегрирования сигналов, и иногда для расширения (увеличения длительности) импульсов;
Дифференцирующие (укорачивающие) цепи, применяемые для дифференцирования сигналов, а также для укорочения импульсов (получения импульсов заданной длительности);
Резисторные и резисторно-емкостные делители, применяемые для изменения амплитуды электрических сигналов;
Импульсные трансформаторы, применяемые для изменения полярности и амплитуды импульсов, для гальванической развязки импульсных цепей, для формирования положительной обратной связи в генераторах и формирователях импульсов, для согласования цепей по нагрузке, для получения импульсов с нескольких выходных обмоток;
Электрические фильтры, предназначенные для выделения из сложного по форме электрического сигнала частотных составляющих, расположенных в заданной области, и для подавления частотных составляющих, расположенных во всех других областях частоты.
В зависимости от элементов, на которых выполняются линейные устройства, их можно разделить на RC-, RL- и RLC-цепи. При этом линейные устройства могут включать в себя линейный резистор R, линейный конденсатор С, линейную катушку индуктивности L, импульсный трансформатор без насыщения сердечника. Слово «линейный» подчеркивает, что имеются в виду только те разновидности элементов, которые имеют вольт-амперные характеристики линейного типа, или, иными словами, номинальное значение параметра (сопротивления, емкости и т. д.) у которых постоянно и не зависит от протекающего тока или приложенного напряжения. Например, обычный конденсатор со слюдяными диэлектрическими прокладками в широком диапазоне напряжений считается линейным, а значение емкости pn- перехода зависит от приложенного напряжения, и ее нельзя отнести к линейным элементам. Кроме того, всегда имеются ограничения по амплитуде или мощности сигнала, при которых элемент сохраняет линейные свойства. Например, допустимое напряжение на конденсаторе не должно превышать пробивного значения. Аналогичные ограничения имеются и у других элементов, и их приходится учитывать, относя элемент к тому или иному классу.
Важнейшее свойство линейных устройств заключается в их способности накапливать и отдавать энергию в емкостных и индуктивных элементах и этим преобразовывать входные сигналы во временное изменение интервалов на выходе. Это свойство лежит в основе работы генераторов, устройств подавления импульсных помех и «состязаний» в цифровых схемах, возникающих в процессе прохождения электрического сигнала через цепи с различной временной задержкой.
Следует отметить определенные трудности применения линейных электрических цепей в интегральной технологии. Это связано с наличием ряда технологических трудностей изготовления резисторов и конденсаторов, не говоря уже о катушках индуктивности, в интегральном исполнении.
Частотно независимый делитель напряжения предназначен для уменьшения напряжения источника сигнала до требуемой величины. ДН применяется для согласования входного каскада с источником сигнала по напряжению, для задания рабочей точки транзистора в усилителе, для формирования эталонного (чаще говорят «опорного») напряжения. Схема простейшего делителя напряжения приведена на рисунке чуть выше
При анализе реальных электронных схем, для исключения грубых ошибок, всегда необходимо учитывать электрические характеристики источника сигнала и нагрузки. Важнейшими из них являются:
Величина и полярность ЭДС источника сигнала;
Внутреннее сопротивление источника сигнала (Rг);
АЧХ и ФЧХ источника сигнала;
Сопротивление нагрузки (Rн);
На следующем рисунке представлены разновидности делителей напряжения.
На рисунке (а) представлен делитель напряжения на переменном резисторе. Используется для регулирования чувствительности ЭУ. Там же, рисунок б изображает делитель с несколькими выходными напряжениями. Такой ДН используется, например, в каскодном усилителе. В ряде случаев, когда сопротивление Rн мало, его используют в качестве нижнего плеча делителя. Например, при построении усилителя с ОЭ, положение рабочей точки задают делителем, образованным Rб и сопротивлением базового перехода транзистора rбэ.
Важное место в электронике занимают делители напряжения , у которых верхнее или нижнее плечо образовано переменным сопротивлением. Если делитель запитать постоянным стабильным напряжением, и, скажем, в нижнем плече поставить сопротивление, величина которого завит от температуры, давления, влажности и прочих физических параметров, то с выхода делителя напряжения можно снимать напряжение, пропорциональное температуре, давлению, влажности и т.д. Особое место занимают делители, у которых одно из сопротивлений зависит от частоты питающего напряжения. Они образуют большую группу разнообразных фильтров электрических сигналов.
Дальнейшее усовершенствование делителя напряжения привело к появлению измерительного моста, который состоит из двух делителей. В такой схеме можно снимать сигнал и между средней точкой и общим проводом, и между двумя средними точками. Во втором случае размах выходного сигнала при одинаковом изменении переменных сопротивлений удваивается. Усилители электрических сигналов также представляют собой делитель напряжения, роль переменного сопротивления в котором играет управляемый входным напряжением транзистор
Простейшая интегрирующая цепочка представляет собой делитель напряжения, у которого роль нижнего плеча делителя выполняет конденсатор С
Дифференцирующие линейные цепи
Простейшая дифференцирующая цепочка представляет собой делитель напряжения, у которого роль верхнего плеча делителя выполняет конденсатор С
Интегрирующее и дифференцирующее звенья при воздействии на них непрерывными случайными сигналами ведут себя как, соответственно, фильтры нижних и верхних частот , элементы R1 и C2 образуют фильтр нижних частот, а C1 и R2 – фильтр верхних частот