Активні фільтри 3 порядку з розрахунками. Кросовер, порядки фільтрів – на пальцях. Фільтри нижніх частот

Опис

Будь-який фільтр, по суті, робить зі спектром сигналу те, що Роден з мармуром. Але на відміну від творчості скульптора, задум належить не фільтру, а нам з вами.

Нам із вами зі зрозумілих причин найбільше знайома одна сфера застосування фільтрів - поділ спектру звукових сигналівдля подальшого відтворення їх динамічними головками (нерідко ми говоримо «динаміками», але сьогодні матеріал серйозний, тому до термінів теж підходитимемо з усією строгістю). Але ця область використання фільтрів, напевно, все ж таки не основна і абсолютно точно, що не перша в історичному плані. Не забуватимемо, що електроніка колись називалася радіоелектронікою, і початковим її завданням було обслуговування потреб радіопередачі та радіоприймання. І навіть у ті дитячі роки радіо, коли сигнали суцільного спектра не передавалися, а радіомовлення ще називалося радіотелеграфією, виникла потреба підвищення помехозащищенности каналу, і вирішено це завдання було за рахунок використання фільтрів у приймальних пристроях. На передавальній стороні фільтри застосовувалися для обмеження спектру модульованого сигналу, чим також вдалося підвищити надійність передачі. Зрештою, наріжний камінь усієї радіотехніки тих часів, резонансний контур - не що інше, як окремий випадок смугового фільтра. Тому можна сказати, що вся радіотехніка розпочалася з фільтра.

Звісно, ​​перші фільтри були пасивними, складалися з котушок і конденсаторів , а з допомогою резисторів вдавалося отримати нормовані характеристики. Але всі вони мали загальним недоліком- їх характеристики залежали від імпедансу того ланцюга, який стоїть за ними, тобто ланцюга навантаження. У найпростіших випадках імпеданс навантаження можна було підтримувати досить високим, щоб цим впливом можна було знехтувати, в інших випадках взаємодія фільтра та навантаження доводилося враховувати (між іншим, розрахунки часто велися навіть без логарифмічної лінійки, просто в стовпчик). Позбутися впливу імпедансу навантаження, цього прокляття пасивних фільтрів вдалося з появою активних фільтрів.

Спочатку передбачалося присвятити цей матеріал цілком і повністю пасивним фільтрам, їх у практиці інсталяторів доводиться розраховувати і виготовляти самотужки незрівнянно частіше, ніж активні. Але логіка зажадала, щоб ми все ж таки почали з активних. Як не дивно, тому що вони простіше, що б не здавалося при першому погляді на ілюстрації.

Хочу бути зрозумілим правильно: відомості про активні фільтри не покликані служити виключно посібником з їх виготовлення, така потреба з'являється далеко не завжди. Набагато частіше виникає потреба зрозуміти, як працюють існуючі фільтри (головним чином - у складі підсилювачів) і чому вони не завжди працюють так, як нам би хотілося. І тут справді може прийти думка про ручну роботу. Принципові схеми активних фільтрів

У найпростішому випадку активний фільтр є пасивним фільтром, навантаженим на елемент з одиничним коефіцієнтом передачі і високим вхідним імпедансом - або на емітерний повторювач, або на операційний підсилювач, що працює в режимі повторювача, тобто з одиничним посиленням. (Можна реалізувати і катодний повторювач на лампі, але ламп я, з вашого дозволу, торкатися не буду, якщо комусь цікаво - зверніться до відповідної літератури). По ідеї, можна таким чином побудувати активний фільтр будь-якого порядку. Оскільки струми у вхідних ланцюгах повторювача дуже малі, то, здавалося б, елементи фільтра можуть бути дуже компактними. Чи все? Уявіть собі, що навантаженням фільтра є резистор 100 Ом, ви хочете зробити фільтр НЧ першого порядку, що складається з єдиної котушки, на частоту 100Гц. Яким має бути номінал котушки? Відповідь: 159 мГн. Яка тут компактність. І головне, що омічний опір такої котушки може виявитися цілком порівнянним із навантаженням (100 Ом). Тому про котушки індуктивності у схемах активних фільтрів довелося забути, іншого виходу просто не було.

Фільтр першого порядку

Для фільтрів першого порядку (рис. 1) я наведу два варіанти схемної реалізації активних фільтрів - з ОУ та з емітерним повторювачем на транзисторі n-p-n типу, а ви вже самі при нагоді оберете, з чим вам простіше буде працювати. Чому n-p-n? Тому що їх більше, і тому, що за інших рівних умов у виробництві вони виходять дещо «кращими». Моделювання проводилося для транзистора КТ315Г - єдиного, напевно, напівпровідникового приладу, ціна на який до останнього часу була така сама, як і чверть століття тому - 40 копійок. Фактично ви можете використовувати будь-який n-p-n транзистор, Коефіцієнт посилення якого (h21е) не набагато нижче 100.

Рис. 1. Фільтри ВЧ першого порядку

// Що таке порядок фільтра та крутість зрізу?

Що таке порядок фільтра та крутість зрізу?

Всім привіт!

У цьому відео відповідаємо на питання, що таке порядок фільтра та крутість зрізу. Дивимося

Для тих, хто не може подивитися відео є текстова версія:

Сьогодні ми поговоримо з вами про те, що таке крутість зрізу, порядок фільтра і так далі. Ви напевно багато разів бачили такий запис що ну припустимо що в мануалі від підсилювача що фільтри там 12дб на октаву або 24дб на октаву або що фільтр першого порядку або другого порядку, давайте поговоримо з вами про те, що ж це таке.

Для початку давайте, як взагалі працює у нас фільтр у принципі

Тобто. на картинці ви бачите ачх, за вертикальною шкалою у нас амплітуда в дБ по горизонтальній частота буде в гц. Допустимо нам треба відрізати якийсь діапазон, припустимо мідбасове ачх і скажемо 80гц і нам треба цю справу відрізати і ми ріжемо підсилювачем або пасивним кросовером активним кросовером, процесором, чим завгодно. І у нас ось така ачх виходить. Треба розуміти що фільтр не відрізає вертикально, що якщо ми на 80 гц відрізали, то нижче нічого не грає – ні грає, кожен фільтр ріже з певною крутістю спаду, графічно видно що таке крутість спаду.

У цифрах це означає:

Є й вищі порядки, але вони застосовуються рідше, основне це ось це.

Тепер давайте зрозуміємо з вами, що таке октава і що взагалі цей запис означає.

Ну друзі мої, якщо ми представимо з вами, ось наша шкала, зміна частоти в 2 рази це буде октава, 40гц-80гц це октава, від 80 до 160 це октава, від 160 до 320 це октава.

Тепер дивіться, що означає цей запис, допустимо фільтр першого порядку в нас, 6дб/октаву, допустимо в нас сигнал там 120дб, ми беремо октаву вниз і виходить на 40гц ми будемо на 6дб нижче, тобто. буде 114дб. Таким чином, відрізав фільтр першого порядку. Якщо ми ріжемо фільтром другого порядку, тут у нас буде – 12дб, тобто. буде 108 дБ. Щоб зрозуміти багато це чи мало і наскільки серйозно відрізає фільтр треба просто уявити собі, що 3 дб це в 2 рази, 6 дб від вихідного це в 4 рази ну і так далі. Тобто. навіть фільтр 6 дБ на октаву робить звук на октаву нижче в 4 рази тихіше. Тобто. треба розуміти що вище порядок фільтра тим більше відрізає, тим паче жорстко відрізає фільтр усе що лежить у межах дії цього фільтра. Ну, тобто. якщо це у нас хай пас фільтр як тут тобто. те що відрізає знизу це означає, що все що нижче він відрізає з певною крутістю зрізу. Якщо говоримо про лоу пасе тобто. фільтр який ріже зверху означає все, що вище воно відрізається абсолютно за тими ж законами. Які фільтри куди застосовуються, як це використовується, які є плюси та мінуси та недоліки у кожного фільтра, про все це ми говоримо в інтенсивності «автозвук від А до Я» який у нас вже зовсім скоро буде, приходьте туди і там ви дізнаєтеся все на багато докладніше, а для такого оглядового відео я думаю достатньо. На цьому все, з вами був Сергій Туманов, якщо відео було вам корисно, ставте пальці вгору, підписуйтесь на наш канал, ділитеся цим відео з друзями і приходьте на наш інтенсив, радий вас усіх бачити. Всім поки що, побачимось!

Б. Успенський

Простим прийомом поділу каскадів за частотною ознакою є встановлення розділових конденсаторів або RC-цежі, що інтегрують. Однак часто виникає необхідність у фільтрах з крутішими схилами, ніж у RС-ланцюжка. Така потреба існує завжди, коли треба відокремити корисний сигнал від близької за частотою перешкоди.

Рис. 1. Ідеальна частотна характеристика ФНЧ

Рис. 2. Структура фільтра другого порядку:

Виникає питання: чи можна, з'єднуючи каскадно інтегруючі RС-ланцюжки, отримати, наприклад, складний фільтр нижніх частот (ФНЧ) з характеристикою, близькою до ідеальної прямокутної, як на рис. 1? Існує проста відповідь на таке питання: навіть якщо розділити окремі RС-секції буферними підсилювачами, все одно з багатьох плавних перегинів частотної характеристики не зробити одного крутого. В даний час в діапазоні частот 0 ... 0.1 МГц подібне завдання вирішують за допомогою активних R-фільтрів, що не містять індуктивностей.

Інтегральний операційний підсилювач (ОУ) виявився дуже корисним елементом для реалізації активних R-фільтрів. Чим нижчий частотний діапазон, тим різкіше виявляються переваги активних фільтрів з погляду мікромініатюризації електронної апаратури, оскільки навіть за дуже низьких частотах(До 0,001 Гц) є можливість використовувати резистори і конденсатори не дуже великих номіналів.

Таблиця 1

Порівняння характеристик фільтрів нижніх частот (розрахункова межа смуги пропускання 1 Гц)

В активних фільтрах забезпечується реалізація частотних характеристик всіх типів: нижніх і верхніх частот, смугових з одним елементом налаштування (еквівалент одиночного LC-контуру), смугових з кількома сполученими елементами налаштування, режекторних, фазових фільтрів та інших спеціальних характеристик.

Створення активних фільтрів починають з вибору за графіками або функціональними таблицями того виду частотної характеристики, яка забезпечить бажане придушення перешкоди щодо одиничного рівня на потрібній частоті, що відрізняється в задане число разів від межі смуги пропускання або від середньої частоти для резонансного фільтра. Нагадаємо, що смуга пропускання ФНЧ тягнеться за частотою від 0 до граничної частоти f гр, фільтра високої частоти (ФВЧ) - від f rp до нескінченності. При побудові фільтрів найбільшого поширення набули функції Баттерворта, Чебишева і Бесселя. На відміну від інших характеристика фільтра Чебишева у смузі пропускання коливається (пульсує) біля заданого рівня у встановлених межах, що виражаються в децибелах.

Рис. 3. Структура фільтра третього порядку:

а – нижніх частот; б - верхніх частот

Ступінь наближення характеристики того чи іншого фільтра до ідеальної залежить від порядку математичної функції (що вищий порядок - тим ближче). Зазвичай, використовують фільтри трохи більше 10-го порядку. Підвищення порядку ускладнює налаштування фільтра та погіршує стабільність його параметрів. Максимальна добротність активного фільтра досягає кількох сотень на частотах до 1 кГц.

Однією з найпоширеніших структур каскадних фільтрів є ланка з багатопетльовим зворотним зв'язком, побудована на базі інвертуючого ОУ, який у розрахунках прийнятий за ідеальний. Ланка другого порядку показано на рис. 2. Для простоти реалізації приймаємо: для ФНЧ – R1 = R2 = R3 = R, R4 = 1,5 R; для ФВЧ – С1 = С2 = СЗ = С, R2 = R3. Для ФНЧ визначимо розрахункову ємність О = 1/2пf rp R, де f гр - гранична частота. Для ФВЧ визначимо R o – 1/2пf гр С. Розміри у розрахунках – Ом, Ф, Гц. Коефіцієнт передачі ланки дорівнює 1.

Значення C1, C2 для ФНЧ і Rl, R2 для ФВЧ тоді визначаються множенням або розподілом С і R o на коефіцієнти з табл. 2 за правилом:

С1 = т 1 0 ,R1 = R o/ m 1 С2 = т 2 0 ,R2 = R Q/ m 2 .

Ланки третього порядку ФНЧ та ФВЧ показані на рис. 3. У смузі пропускання коефіцієнт передачі ланки дорівнює 0,5. Визначення елементів зробимо за тим самим правилом:

С1 = т 1 0 ,Rl = R/ m 1

С2 = т 2 0 ,R2 = R 0 / m 2

СЗ = т 3 З 3 ,R3 = R 0 / m 3 .

Таблиця коефіцієнтів виглядає так.

Таблиця 2

Порядок фільтра треба визначити розрахунковим шляхом, задавшись відношенням U BU /U BX на частоті f поза смугою пропускання при відомій граничній частоті f гр. Для фільтра Баттерворта існує залежність

звідки можна знайти n, округляючи його до цілого числа у бік. Якщо порядок великий, треба перейти до фільтра Чебишева, якщо малий, то слід оцінити можливість використання фільтра Бесселя, що найменше спотворює корисний сигнал у смузі пропускання і має лінійну фазову характеристику.

Реалізація фільтрів парного порядку здійснюється шляхом каскадного включення кількох ланок другого порядку. Якщо необхідна сума порядків ланок є непарною, то при розрахунку фільтрів індекси т1, тг, т3 відносяться до однієї ланки третього порядку, а інші - до ланок другого порядку. Для кращого придушення шумів каскади включають зі зростанням добротності Q 0 = 0,33 (C1/C2) -2 для ФНЧ - ланки другого порядку, т. е. починаючи з останніх ланок, якщо слідувати табл. 2.

Вкажемо розрахункові значення добротності Q o ланок з найбільшими резонансними властивостями фільтрів шостого порядку Бесселя, Баттерворта, Чебишева з нерівномірністю 1 дБ та 2 дБ:

Q o = 1,023; 1,932; 8,004; 10,462.

Ці величини зменшуються, якщо ОУ має кінцевий коефіцієнт посилення К:

Q = Qпро/(1 + 3 Q 2 про/ K).

Отже, необхідно забезпечити на граничній частоті фільтра > 3Q 2 o інакше характеристика фільтра в смузі затримування буде відрізнятися в гірший бік. Неважко підрахувати для ланки фільтра Чебишева шостого порядку з нерівномірністю 2 дБ: К > 328,4. На стандартному ОУ К14ОУД7 із частотою одиничного посилення до 1 МГц така ланка забезпечить десятивідсоткову похибку добротності на частоті 106/328,4 = 304,5 Гц. Застосовуючи швидкісні ОУ, можна відсунути ЕТ у кордон в область вищих частот.

Для ілюстрації на рис. 4 наведено порівняння характеристик трьох фільтрів нижніх частот шостого рядка з характеристикою загасання RC-ланцюга. Усі пристрої мають те саме значення f гр.

Смужний активний фільтр можна побудувати однією ОУ за схемою рис. 5. Розглянемо числовий приклад. Нехай необхідно побудувати селективний фільтр з резонансною частотою f 0 – 10 Гц та добротністю Q ~ 100.

Рис. 4. Порівняння показників ФНЧ шостого порядку:

1 - фільтр Бесселя; 2 - фільтр Еаттер-ворта; 3 – фільтр Чебишева (пульсації 0,5 дБ)

Рис. 5. Смужний фільтр

Його смуга знаходиться в межах 9,95 ... 10,05 Гц. На рг-зонансій частоті коефіцієнт передачі В о = 10. Задамо ємність конденсатора С = 1 мкФ. Тоді за формулами для аналізованого фільтра:

Рис. 6. Полосно-пропускний фільтр Мал. 7. Активний фільтр другого порядку

Пристрій залишається працездатним, якщо виключити R3 і використовувати ОУ з посиленням, що дорівнює 2Q 2 . Але тоді добротність залежить від властивостей ОУ і буде нестабільною. Тому коефіцієнт посилення ОУ на резонансній частоті має значно перевищувати 2Q2 = 20000 на частоті 10 Гц. Якщо посилення ОУ перевищує 200 000 на частоті 10 Гц, можна збільшити R3 на 10%, щоб досягти розрахункового значення добротності. Не всякий ОУ має частоті 10 Гц посилення 20 000, тим більше 200 000. Наприклад, ОУ К14ОУД7 не підходить для такого фільтра; знадобиться КМ551УД1А (Б).

Використовуючи ФНЧ та ФВЧ, включені каскадно, одержують смугово-пропускний фільтр (рис. 6). Крутизна схилів характеристики такого фільтра визначається порядком вибраних ФНЧ та ФВЧ. Здійснюючи рознесення граничних частот високодобротних ФВЧ і ФНЧ можна розширити смугу пропускання, але при цьому погіршується рівномірність коефіцієнта передачі в межах смуги. Цікавить отримати плоску амплітудно-частотну характеристику в смузі пропускання.

Взаємне розлад кілька резонансних смугових фільтрів (ПФ), кожен з яких може бути побудований за схемою рис. 5 дає плоску частотну характеристику з одночасним збільшенням вибірковості. При цьому вибирають одну з відомих функцій для реалізації заданих вимог до частотної характеристики, а потім перетворюють НЧ-функцію в полосно-пропускаючу для визначення добротності Q p і резонансної частоти f p кожної ланки. Ланки включають послідовно, причому нерівномірність характеристики у смузі пропускання та вибірковість покращуються зі збільшенням числа каскадів резонансних ПФ.

Для спрощення методики створення каскадних ПФ у табл. 3 представлені оптимальні значення смуги частот Аf р (за рівнем - 3 дБ) та середньої частоти f р резонансних ланок, виражені через загальну смугу частот Аf (за рівнем - 3 дБ) та середню частоту f 0 складеного фільтра.

Точні значення середньої частоти та меж за рівнем - 3 дБ найкраще підбирати експериментально, підлаштовуючи добротність.

На прикладі ФНЧ, ФВЧ та ПФ ми бачили, що вимоги до коефіцієнта посилення або широкосмугового ЗУ можуть бути надмірно великі. Тоді слід перейти до ланок другого порядку на двох або трьох ОУ. На рис. 7 представлений цікавий фільтр другого порядку, що поєднує в собі функції трьох фільтрів: з виходу DA1 отримаємо сигнал ФНЧ, з виходу DA2 - ФВЧ сигнал, е з виходу DA3 - сигнал ПФ. Граничні частоти ФНЧ, ф ВЧ та центральна частота ПФ одна й та сама. Добротність також однакова всім фільтрів. За умови С1 = С2 - С, R1 - R2, R3 = R5 = Rб вибираємо вільно f rp , Qo, С. Тоді розрахунок фільтрів простий: R1 = R2 = = 1/2пf Г P C, R4 = (2Q 0 - 1) R 3. Коефіцієнт передачі вхідного сигналу

ФНЧ, ФВЧ: О = 2 - 1 / Q o в смузі пропускання, ПФ: В o = 2Q 0 - 1 на резонансній частоті.

Всі фільтри можна настроювати за допомогою одночасної зміни R1, R2 або C1, C2. Добротність незалежно від цього можна регулювати за допомогою R4. Кінцевість посилення ОУ визначає справжню добротність Q = Qo (1 + 2Q 0 / K).

Таблиця 3Параметри ПФ на каскадах із взаємним розладом

Необхідно вибрати ОУ з коефіцієнтом посилення K>2Q0 на граничній частоті. Ця умова є значно менш категоричною, ніж для фільтрів на одному ОУ. Отже, на трьох ОУ порівняно невисокої якості можна зібрати фільтр із кращими характеристиками.

Полосно-загороджувальний (режекторний) фільтр часом необхідний для вирізання вузькосмугової перешкоди, наприклад частоти мережі або її гармонік. Використовуючи, наприклад, чотириполюсні ФНЧ та ФВЧ Баттерворта з граничними частотами 25 Гц та 100 Гц (рис. 8) та окремий суматор на ОУ, отримаємо фільтр на частоту 50 Гц із добротністю Q = 5 та глибиною редекції – 24 дБ. Перевагою такого фільтра є те, що його характеристика в смузі пропускання - нижче 25 Гц і вище 100 Гц виявляється ідеально плоскою.

Як і смуговий фільтр, режекторний фільтр можна зібрати однією ОУ. На жаль, характеристики таких фільтрів не відрізняються стабільністю. Тому рекомендуємо застосовувати гіраторний фільтр на двох ОУ (рис. 9). Резонансна схема на підсилювачі DA2 не схильна до створення. При виборі опорів слід витримати співвідношення R1/R2 = R3/2R4. Встановивши ємність конденсатора С2 зміною ємності конденсатора С1 можна налаштувати фільтр на необхідну частоту f 2 про (Гц) = 400/С (мкФ). У невеликих межах добротність можна регулювати підстроюванням резистора R5. Використовуючи цю схему, можна отримати глибину редекції до 40 дБ, проте амплітуду вхідного сигналу слід зменшувати, щоб зберегти лінійність гіратора на елементі DA2.

В описаних вище фільтрах коефіцієнт передачі та фазовий зсув залежали від частоти вхідного сигналу. Існують схеми активних фільтрів, коефіцієнт передачі яких залишається незмінним, а фазовий зсув залежить від частоти. Такі схеми називають фазовими фільтрами. Вони використовуються для фазової корекції та затримки сигналів без спотворень.

Рис. 8. Полосно-загороджувальний фільтр

Рис. 9. Режекторний гіраторний фільтр

Найпростіший фазовий фільтр першого порядку показано на рис. 10. На низьких частотах, коли ємність конденсатора С працює, коефіцієнт передачі дорівнює +1, але в високих - 1. Змінюється лише фаза вихідного сигналу. Ця схема успішно може бути використана як Фазовращатель. Змінюючи опір резистора R, можна регулювати на виході фазовий зсув вхідного синусоїдального сигналу.

Рис. 10. Фазовий фільтр першого порядку

Існують також фазові ланки другого порядку. Поєднуючи їх каскадно, будують фазові фільтри високих порядків. Наприклад, для затримки вхідного сигналу з частотним спектром 0...1 кГц на 2 мс потрібен фазовий фільтр сьомого порядку, параметри якого визначаються за таблицями.

Слід зазначити, що будь-яке відхилення номіналів використовуваних RC-елементів від розрахункових призводить до погіршення параметрів фільтра. Тому бажано застосовувати точні чи підібрані резистори, а нестандартні номінали утворювати паралельним включенням кількох конденсаторів. Електролітичні конденсатори не слід застосовувати. Крім вимог щодо посилення ОУ повинен мати високий вхідний опір, що значно перевищує опір резисторів фільтра. Якщо цього забезпечити не можна, підключіть перед входом підсилювача, що інвертує, повторювач на ОУ.

Вітчизняна промисловість випускає гібридні інтегральні схеми серії К298, яка включає RС-фільтри верхніх та нижніх частот шостого порядку на базі підсилювачів з одиничним посиленням (повторювачів). Фільтри мають 21 номінал граничної частоти від 100 до 10 000 Гц з відхиленням трохи більше ± 3 %. Позначення фільтрів К298ФН1…21 та К298ФВ1…21.

Принципи конструювання фільтрів не обмежуються наведеними прикладами. Менш поширені активні R-фільтри без зосереджених ємностей та індуктивностей, що використовують інерційні властивості ОУ. Гранично високі значення добротності, аж до 1000 на частотах до 100 кГц забезпечують синхронні фільтри з комутованими ємностями. Нарешті, методами напівпровідникової технології із зарядовим зв'язком створюють активні фільтри на приладах із переносом 3aj ряду. Такий фільтр ерхних частот 528ФВ1 з граничною частотою 820 ... 940 Гц є у складі серії 528; динамічний фільтр нижніх частот 1111ФН1 є однією з нових розробок.

Література

Грем Дж., Тобі Дж., Хьюлсмаї Л. Проектування та застосування операційних підсилювачів. - М.: Світ, 1974, е. 510.

Марше Ж. Операційні підсилювачі та їх застосування. - Л.: Енергія, 1974, с. 215.

Гарет П. Аналогові пристрої для мікропроцесорів та міні-ЕОМ. - М.: Світ, 1981, с. 268.

Тітце У., Шенк К. Напівпровідникова схемотехніка. - М.: Світ, 1982, с. 512.

Хоровіц П., Хілл У. Мистецтво схемотехніки, т. 1. - М.: Світ, 1983, с. 598.

6.5.2.1. Фільтри нижніх частот.

Фільтр нижніх частот є схемою, яка без змін передає сигнали нижніх частот, а на високих частотахзабезпечує загасання сигналів та запізнювання їх по фазі щодо вхідних сигналів.

Пасивні фільтри нижніх частот першого порядку

На рис.2.25 зображено схему простого RС-фільтра нижніх частот першого порядку. Коефіцієнт передачі у комплексному вигляді може бути виражений формулою:

. (2.45)
Рис. 2.25 Звідси отримаємо формули для АЧХ та ФЧХ

, . (2.46)

Поклавши отримаємо вираз для частоти зрізу ωСР

Фазове зрушення на цій частоті становить - 450 .
| До | = 1 = 0 дБ на нижніх частотах f<< fCР .
На високих частотах f >> fСР згідно з формулою (2.46), | До | ≈ 1/ (ωRC),
тобто. коефіцієнт передачі обернено пропорційний частоті. При збільшенні частоти в 10 разів коефіцієнт посилення зменшується в 10 разів, тобто він зменшується на 20 дБ на декаду або 6 дБ на октаву. | До | = 1/√2 = -ЗдБ при f= fСР .
Для швидкого зменшення коефіцієнта передачі можна увімкнути n фільтрів нижніх частот послідовно. При послідовному з'єднаннікількох фільтрів нижніх частот частота зрізу приблизно визначається як

. (2.48)

Для випадку n фільтрів із рівними частотами зрізу

При частоті вхідного сигналу fВХ>> fСРдля схеми (рис. 2.25) отримаємо

. (2.50)

З 2.50 видно, що ФНЧ може бути як інтегруюча ланка.
Для змінної напруги, що містить постійну складову вихідну напругу можна подати у вигляді

, (2.51)

Де – середнє значення
Фільтр нижніх частот може виступати як детектор середніх значень.
Для реалізації загального підходу до опису фільтрів необхідно нормувати комплексну змінну нар.

. (2.52)

Для фільтру рис. 2.25 отримаємо Р = р RC та

Використовую передатну функцію для оцінки амплітуди вихідного сигналу від частоти, отримаємо

. (2.54)

Передатна функція ФНЧ у загальному вигляді може бути записана у вигляді

, (2.55)

Де з 1, с2, ..., зn- Позитивні дійсні коефіцієнти.
Порядок фільтра визначається максимальною мірою змінної Р. Для реалізації фільтра необхідно розкласти поліном знаменника на множники. Якщо серед коренів полінома є комплексні, у цьому випадку слід записати поліном у вигляді добутку співмножників другого порядку

Де аiі bi- Позитивні дійсні коефіцієнти. Для непарних порядків полінома коефіцієнт b1 дорівнює нулю.

Активні фільтри нижніх частот першого порядку

Простий фільтр, зображений на рис. 2.26, має недолік: властивості фільтра залежать від навантаження. Для усунення цього недоліку фільтр необхідно доповнити перетворювачем повного опору. Схема фільтра з перетворювачем повного опору показано на рис. 2.27. Коефіцієнт передачі постійного сигналу може бути заданий вибором значень резисторів R2 та R3.

Для спрощення схеми ФНЧ можна використовувати RC-ланцюг для зворотного зв'язку операційного підсилювача. Подібний фільтр показано на рис. 2.27.

Рис. 2.26 Мал. 2.27

Передатна функція фільтра (рис. 2.27) має вигляд

. (2.58)

Для розрахунку фільтра необхідно задати частоту зрізу fСР (ω СР), коефіцієнт передачі постійного сигналу К0 (для схеми на рис. 2.27 він повинен бути заданий зі знаком мінус) та ємність конденсатора С1. Прирівнявши коефіцієнти отриманої передавальної функції коефіцієнтам виразу 2.56 для фільтра першого порядку, отримаємо

та . (2.59)

Пасивний фільтр нижніх частот другого порядку

. (2.60)

Така функція передачі не може бути реалізована за допомогою пасивних RC-ланцюгів. Подібний фільтр може бути реалізований із застосуванням індуктивностей. На рис. 2.28 показано схему пасивного ФНЧ другого порядку.
Передатна функція фільтра має вигляд
. (2.61)
Розрахувати фільтр можна, скориставшись формулами
Рис. 2.28
та . (2.62)
Наприклад, для ФНЧ другого порядку типу Баттерворта з коефіцієнтами а1= 1,414 та b1 = 1,000, задавши частоту зрізу fСР= 10 Гц та ємність С = 10мкФ, з (2.62) отримаємо R = 2,25 кОм та L = 25,3 Гн.
Подібні фільтри незручні для реалізації через занадто велику індуктивність. Задану передатну функцію можна реалізувати за допомогою операційного підсилювача з відповідними RC – ланцюгами, що дозволяє виключити індуктивності.

Активні ФНЧ другого порядку

Прикладом активного ФНЧ другого порядку є фільтр зі складною негативною зворотним зв'язкомсхема якого показана на рис. 2.29.
Передатна функція цього фільтра має вигляд

Рис. 2.29
Для розрахунку фільтра можна записати

,
, (2.63)

При розрахунку схеми краще задавати значення ємностей конденсаторів та обчислювати необхідні значення опорів.

.
, (2.64)
.

Щоб значення опору R2 було дійсним, має виконуватися умова