Що означає e x. Функція: область визначення та область значень функцій. Розкладання в статечний ряд

Експоненту позначають так, або.

Число e

Підставою ступеня експоненти є число e. Це ірраціональне число. Воно приблизно рівне
е ≈ 2,718281828459045...

Число e визначається через межу послідовності. Це так званий, друга чудова межа:
.

Також число e можна подати у вигляді ряду:
.

Графік експоненти

На графіці представлено експонента, еу ступені х.
y (x) = е х
На графіку видно, що експонент монотонно зростає.

Формули

Основні формули такі ж, як і для показової функції з основою ступеня е.

;
;
;

Вираз показової функції з довільною основою ступеня a через експоненту:
.

Приватні значення

Нехай y (x) = e x. Тоді
.

Властивості експоненти

Експонента має властивості показової функції з основою ступеня е > 1 .

Область визначення, безліч значень

Експонента y (x) = e xвизначена всім x .
Її область визначення:
- ∞ < x + ∞ .
Її безліч значень:
0 < y < + ∞ .

Екстремуми, зростання, спадання

Експонента є монотонно зростаючою функцією, тому екстремумів немає. Основні її властивості представлені у таблиці.

Зворотня функція

Зворотним для експонентів є натуральний логарифм.
;
.

Похідна експоненти

Похідна еу ступені хдорівнює еу ступені х :
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Інтеграл

Комплексні числа

Дії з комплексними числами здійснюються за допомогою формули Ейлера:
,
де є уявна одиниця:
.

Вирази через гіперболічні функції

; ;
.

Вирази через тригонометричні функції

; ;
;
.

Розкладання в статечний ряд

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

ймовірність (probability)- Число від 0 до 1, яке відображає шанси того, що випадкова подія відбудеться, де 0 - це повна відсутність ймовірності походження події, а 1 означає, що подія, що розглядається, безумовно відбудеться.

Імовірність події E є числом від 1 до 1.
Сума ймовірностей взаємовиключних подій дорівнює 1.

емпірична ймовірність- ймовірність, яка порахована як відносна частота події у минулому, вилучена з аналізу історичних даних.

Імовірність дуже рідкісних подій не можна вважати емпірично.

суб'єктивна ймовірність- ймовірність, заснована на особистій суб'єктивній оцінці події безвідносно історичних даних. Інвестори, які приймають рішення про купівлю та продаж акцій, часто діють саме виходячи з міркувань суб'єктивної ймовірності.

апріорна ймовірність -

Шанс 1 з ... (odds) те, що подія відбудеться через поняття ймовірності. Шанс появи події виражається через можливість так: P/(1-P).

Наприклад, якщо ймовірність події 0,5, то шанс події 1 із 2 т.к. 0,5/(1-0,5).

Шанс того, що подія не відбудеться, обчислюється за формулою (1-P)/P

Неузгоджена можливість- наприклад, у ціні акцій компанії А на 85% враховано можливу подію E, а в ціні акцій компанії Б лише на 50%. Це називається неузгоджена ймовірність. Відповідно до теореми голландських ставок, неузгоджена можливість створює можливості для отримання прибутку.

Безумовна ймовірність- це відповідь на запитання «Яка ймовірність того, що подія станеться?»

Умовна ймовірність- це відповідь на запитання: «Яка ймовірність події A, якщо подія Б відбулася». Умовна ймовірність позначається як P(A|B).

Спільна ймовірність- ймовірність того, що події А та Б відбудуться одночасно. Позначається як P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Правило підсумовування ймовірностей:

Імовірність того, що станеться або подія A або подія B -

P (A або B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Якщо події A та B взаємовиключні, то

P (A або B) = P(A) + P(B)

Незалежні події- події A та B незалежні якщо

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Тобто це послідовність результатів, де значення ймовірності завжди від одного події до іншого.
Кидок монети – приклад такої події, – результат кожного наступного кидка не залежить від результату попереднього.

Залежні події- Це такі події, коли ймовірність появи одного залежить від ймовірності появи іншого.

Правило множення ймовірностей незалежних подій:
Якщо події A та B незалежні, то

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Правило повної ймовірності:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)

S і S" - взаємовиключні події

математичне очікування (expected value)Довільною змінною є середнє можливих наслідків випадкової величини. Для події X маточування починається як E(X).

Допустимо у нас є 5 значень взаємовиключних подій з певною ймовірністю (наприклад, дохід компанії склав таку суму з такою ймовірністю). Маточенням буде сума всіх результатів помножених на їхню ймовірність:

Дисперсія випадкової величини - маточкування квадратних відхилень випадкової величини від її маточіння:

s 2 = E(2) (6)

Умовне маточування (conditional expected value) - маточіння випадкової величини X за умови того, що подія S вже відбулася.

Описувати її як «константу, приблизно рівну 2,71828…» - це все одно, що називати число пі «ірраціональним числом, приблизно рівним 3,1415…». Безперечно, так і є, але суть, як і раніше, вислизає від нас.

Число пі - це співвідношення довжини кола до діаметра, однакове для всіх кіл. Це фундаментальна пропорція, властива всім колам, а отже, вона бере участь у обчисленні довжини кола, площі, об'єму та площі поверхні для кіл, сфер, циліндрів тощо. Пі показує, що це кола пов'язані, не кажучи вже про тригонометричних функціях, що виводяться з кіл (синус, косинус, тангенс).

Число е є базовим співвідношенням зростання всім безперервно зростаючих процесів.Число е дозволяє взяти простий темп приросту (де різниця видно тільки в кінці року) і обчислити складові цього показника, нормальне зростання, при якому з кожною наносекундою (або навіть швидше) все зростає ще трохи.

Число е бере участь як у системах з експоненційним, так і постійним зростанням: населення, радіоактивний розпад, підрахунок відсотків, і багато інших. Навіть ступінчасті системи, які не ростуть рівномірно, можна апроксимувати за допомогою числа е.

Також, як будь-яке число можна розглядати у вигляді «масштабованої» версії 1 (базової одиниці), будь-яке коло можна розглядати у вигляді «масштабованої» версії одиничного кола (з радіусом 1). І будь-який коефіцієнт зростання може бути розглянутий у вигляді «масштабованої» версії е («одиничного» коефіцієнта зростання).

Отже число е – це випадкове, взяте навмання число. Число е втілює у собі ідею, що це безперервно зростаючі системи є масштабованими версіями однієї й тієї ж показника.

Поняття експоненційного зростання

Давайте почнемо з розгляду базової системи, яка подвоюєтьсяза певний період. Наприклад:

• Бактерії діляться і подвоюються в кількості кожні 24 години.
• Ми отримуємо вдвічі більше локшин, якщо розламуємо їх навпіл
• Ваші гроші щороку збільшуються вдвічі, якщо ви отримуєте 100% прибутку (щасливчик!)

І виглядає це приблизно так:

Розподіл на два чи подвоювання – це дуже проста прогресія. Звичайно, ми можемо потроїти або затвердити, але подвоєння зручніше для пояснення.

Математично, якщо у нас є їх поділів, ми отримуємо в 2^x разів більше добра, ніж було спочатку. Якщо зроблено лише 1 розбиття, отримуємо в 21 рази більше. Якщо розбиття 4, у нас вийде 2^4=16 частин. Загальна формула виглядає так:

зріст= 2 x

Інакше кажучи, подвоєння – це 100% зростання. Ми можемо переписати цю формулу так:

зріст= (1+100%) x

Це та ж рівність, ми лише розділили «2» на складові, якими по суті і є це число: початкове значення(1) Плюс 100%. Розумно, так?

Звичайно, ми можемо підставити будь-яке інше число (50%, 25%, 200%) замість 100% і отримати формулу зростання для цього нового коефіцієнта. Загальна формула для х періодів тимчасового ряду матиме вигляд:

зріст = (1+приріст) x

Це просто означає, що ми використовуємо норму повернення (1 + приріст), «х» разів поспіль.

Придивимося ближче

Наша формула передбачає, що приріст відбувається дискретними кроками. Наші бактерії чекають, чекають, а потім бац!, і в останню хвилину вони подвоюються у кількості. Наш прибуток за відсотками депозиту магічним чином з'являється рівно через 1 рік. На основі формули, написаної вище, прибуток зростає східчасто. Зелені крапки з'являються раптово.

Але світ не завжди такий. Якщо ми збільшимо картинку, побачимо, що наші друзі-бактерії діляться постійно:

Зелений малий не виникає з нічого: він повільно виростає із синього батька. Після 1 періоду часу (24 години в нашому випадку), зелений друг повністю дозрів. Подорослішавши, він стає повноцінним синім членом стада і може створювати нові зелені клітини сам.

Ця інформація якось змінить наше рівняння?

Не-а. У випадку з бактеріями, напівсформовані зелені клітини все ж таки не можуть нічого робити, поки не виростуть і зовсім не відокремляться від своїх синіх батьків. Отже, рівняння справедливе.

Хоча цей зв'язок на перший погляд цей зв'язок здається зовсім неочевидним (одна справа, здавалося б, наукова математика, і зовсім інша - економіка та фінанси), але варто вивчити історію "відкриття" цього числа, все стає очевидним. Справді, хоч би як ділили науки різні як незв'язані між собою гілки, але загальна парадигма однаково буде єдиної (зокрема, суспільству споживання - " споживча " і математика).

Спочатку визначення. e - основа натурального логарифму, математична константа, ірраціональне та трансцендентне число. Іноді число e називають числом Ейлера чи числом Непера. Позначається малою латинською літерою "e".

Оскільки функція експоненти e^x інтегрується і диференціюється «в саму себе», логарифми саме на підставі e приймаються як натуральні (хоча сама назва "натуральності" повинна бути під великим сумнівом, адже вся математика по суті влаштована на штучних придуманих, відірваних від природи вигаданих засадах, а зовсім не на природних).

Це число іноді називають неперовим на честь шотландського вченого Непера, автора роботи «Опис дивовижної таблиці логарифмів» (1614). Однак ця назва не зовсім коректна, оскільки Непер не використовував саме число.

Вперше константа негласно присутня у додатку до перекладу англійською мовою вищезгаданої роботи Непера, опублікованому в 1618 році. Негласно, оскільки там міститься лише таблиця натуральних логарифмів, визначених з КИНЕМАТИЧНИХ міркувань, сама константа немає.

Саму ж константу вперше вирахував швейцарський математик Бернуллі офіційної версіїв 1690 році) в ході вирішення задачі про граничну величину відсоткового доходу. Він виявив, що якщо вихідна сума $1 (валюта зовсім неважлива) і нараховується 100% річних один раз наприкінці року, то підсумкова сумабуде $2. Але якщо самі відсотки нараховувати двічі на рік, то $1 множиться на 1.5 двічі, отримуючи $1.00×1.5² = $2.25. Розрахунки відсотків разів у квартал призводять до $1.00×1.254 = $2.44140625, тощо. Бернуллі показав, що якщо частоту нарахування відсотків БЕЗКОШТОВНО ЗБІЛЬШУВАТИ, то відсотковий дохід у разі складного відсотка має межу - і ця межа дорівнює 2,71828…

$1.00×(1+1/12)12 = $2.613035…

$1.00×(1+1/365)365 = $2.714568… - у межі число е

Таким чином, число e насправді історично означає максимально можливий РІЧНИЙ ПРИБУТОК при 100% річних та максимальній частоті капіталізації відсотків. І до чого тут закони Всесвіту? Число е - одна з важливих цеглинок у фундаменті грошової економіки позичкового відсотка в суспільстві споживання, під яку з самого початку, навіть на розумовому філософському рівні, підганялася і заточувалася кілька століть тому вся математика, що використовується сьогодні.

Перше відоме використання цієї константи, де вона позначалася літерою b, трапляється у листах Лейбніца Гюйгенсу, 1690-1691 роки.

Букву e почав використовувати Ейлер в 1727 році, вперше вона зустрічається в листі Ейлера німецькому математику Гольдбаху від 25 листопада 1731, а першою публікацією з цією літерою була його робота "Механіка, або Наука про рух, викладена аналітично", 1736 рік. Відповідно, e зазвичай називають числом Ейлера. Хоча деякі вчені використовували літеру c, літера e застосовувалася частіше і в наші дні є стандартним позначенням.

Чому було обрано саме букву e, достеменно невідомо. Можливо, це з тим, що з неї починається слово exponential («показовий», «експоненційний»). Інше припущення полягає в тому, що літери a, b, c і d вже досить широко використовувалися з іншою метою, і e була першою «вільною» літерою. Також примітно, що буква e є першою у прізвищі Ейлер (Euler).

Але в будь-якому випадку, говорити про те, що число якихось чином відноситься до універсальних законів Всесвіту і природи, просто абсурдно. Це число самої концепцією спочатку прив'язувалося до кредитно-фінансової грошової системи, і зокрема через це число (але не тільки) ідеологія кредитно-фінансової системи опосередковано впливала і на формування та розвиток решти математики, а через неї і всіх інших наук (адже всі без винятку науки щось вважають, використовуючи у своїй правила і підходи математики). Число e грає важливу роль у диференціальному та інтегральному обчисленні, яке через неї фактично теж пов'язане з ідеологією та філософією максимізації відсоткового доходу (можна навіть сказати, пов'язане підсвідомо). Як і натуральний логарифм. Встановлення її як константи (разом з усім іншим) призвело до утворення неявних зв'язків у мисленні, відповідно до яких вся існуюча математика просто не може існувати у відриві від грошової системи! І в цьому світлі зовсім не дивно, що давні слов'яни (та й не тільки вони) чудово обходилися без констант, ірраціональних і трансцендентних чисел та й без чисел і цифр взагалі (як числа в давнину виступали літери), інша логіка, інше мислення в системі у відсутності грошей (а значить і всього, що з ними пов'язано) робить усе перераховане вище просто непотрібним.

Кожна з функцій Еперевіряє вказане значення та повертає залежно від результату значення ІСТИНА або БРЕХНЯ. Наприклад, функція ЄПУСТОповертає логічне значення ІСТИНА, якщо значення, що перевіряється, є посиланням на порожню комірку; в іншому випадку повертається логічне значення брехня.

Функції Евикористовуються для отримання відомостей про значення перед виконанням з ним обчислення чи іншої дії. Наприклад, для виконання іншої дії у разі виникнення помилки можна використовувати функцію ПОМИЛКАу поєднанні з функцією ЯКЩО:

= ЯКЩО( ПОМИЛКА(A1); "Виникла помилка."; A1 * 2)

Ця формула перевіряє наявність помилки в комірці A1. У разі виникнення помилки функція ЯКЩОповертає повідомлення "Відбулася помилка." Якщо помилок відсутні, функція ЯКЩОобчислює добуток A1*2.

Синтаксис

ЄПУСТО(значення)

ЕОШ(значення)

ПОМИЛКА (значення)

ЕЛОГІЧ(значення)

ЕНД (значення)

ЕНЕТЕКСТ(значення)

ЕТЕКСТ(значення)

аргумент функції Еописані нижче.

значенняОбов'язковий аргумент. Перевірене значення. Значенням цього аргументу може бути порожній осередок, значення помилки, логічне значення, текст, число, посилання на будь-який з перерахованих об'єктів або ім'я такого об'єкта.

Зауваження

Аргументи у функціях Ене перетворюються. Будь-які числа, укладені в лапки, сприймаються як текст. Наприклад, у більшості інших функцій, що вимагають числового аргументу, текстове значення "19" перетворюється на число 19. Однак у формулі ЧИСЛО("19") це значення не перетворюється з тексту на число, і функція ЧИСЛОповертає значення БРЕХНЯ.

За допомогою функцій Езручно перевіряти результати обчислень у формулах. Комбінуючи ці функції із функцією ЯКЩО, можна знаходити помилки у формулах (див. наведені нижче приклади).

Приклади

Приклад 1

Скопіюйте зразок даних з наступної таблиці та вставте їх у комірку A1 нового листа Excel. Щоб відобразити результати формул, виділіть їх та натисніть клавішу F2, а потім - клавішу ENTER. За потреби змініть ширину стовпців, щоб побачити всі дані.

Скопіюйте зразок даних із наведеної нижче таблиці та вставте його в комірку A1 нового аркуша Excel. Щоб відобразити результати формул, виділіть їх та натисніть клавішу F2, а потім - клавішу ENTER. За потреби змініть ширину стовпців, щоб побачити всі дані.